成本口径:激活门、干预与能量

QRAM 文献的著名公案:教程综述宣称经典 RAM 需 Θ(2^n) 次门激活而量子 RAM 仅 Θ(n),被 Jaques–Rattew 指出方向可疑——口径之别是理解 QRAM 全部争论的钥匙。

机制回顾:一次叠加查询与四本账

所有成本讨论的原型是同一个语义映射。设表 $D:\{0,1{\}}^n\to \{0,1{\}}^m$ 存储 $N=2^n$ 个 $m$ 比特条目,QRAM(更准确地说是 QRACM,量子地址-经典数据,见 分类学:四分类与主动/被动)承诺实现

$Q_D:{\sum }_{x\in \{0,1{\}}^n}{\alpha }_x|x⟩|0⟩⟼{\sum }_{x\in \{0,1{\}}^n}{\alpha }_x|x⟩|D_x⟩.$

映射本身不花任何东西;花东西的是实现它的物理过程。本词条把成本拆成四个账本,记为成本向量

$\mathbf{c}=(G,\Delta ,W,E),$

四个分量分别是:门数账 $G$——单次查询中实际发生的两比特(纠缠)门次数;深度账 $\Delta$——关键路径长度,决定查询延迟;宽度账 $W$——占用的物理量子比特与元件数;能量-干预账 $E$——单次查询耗散的能量与所需的外部控制动作次数。前两个是”流量”口径的明星,后两个最常被静默省略。

四个账本都必须区分存量(build once,搭建时的固定投入)与流量(per query,每次查询的重复支付)。跑 $k$ 次查询的总账与摊销单价为

$\mathbf{C}(k)={\mathbf{C}}_{\mathrm{build}}+k\cdot {\mathbf{c}}_{\mathrm{query}},\bar{\mathbf{c}}(k)=\frac{{\mathbf{C}}_{\mathrm{build}}}{k}+{\mathbf{c}}_{\mathrm{query}}.$

这个看似平庸的分解正是后面全部争论的舞台:QRAM 器件路线的全部赌注,就是把 $\Theta (N)$ 量级的成本从流量栏搬进存量栏;而 Jaques–Rattew 的批判则主张,有一项成本(干预)怎么搬都搬不动 Jaques-Rattew。

公案:同一语义,方向相反的两本账

教程综述 “QRAM for dummies” 给出过一张著名对照表:经典 RAM 访问需 $\Theta (2^n)$ 次晶体管激活,量子 RAM 仅需 $\Theta (n)$ 次量子开关激活 Phalak 2023。Jaques–Rattew 点名批评这一比较:它不定义”门激活”是什么,且方向可以说反了 Jaques-Rattew。拆开看,这张表把两个不同账本的数字放进了同一列:

• 经典 RAM 的”低功耗”来自三维事实:地址译码只给 $O(\log N)$ 个门供能、其余晶体管处于漏电极低的待机态、且经典访问允许泄露访问路径——功耗表读的是”实际供能的门”。
• 量子叠加访问受路径独立(path independence)约束:查询前后的控制系统状态若依赖走了哪条路径,路径信息就泄露进了环境,相干性即告破坏。若把”供能/干预”的口径照搬到叠加访问上,每个可能被激活的节点都必须先供能,总干预次数反而是 $\Omega (N)$。

所以 ”$\Theta (2^n)$ vs $\Theta (n)$” 不是谁算错了,而是两个口径各念各的经:激活门口径对 QRAM 有利(器件建好后每次调用只动 $O(n)$ 个元件,Casares 的电路版 qRAM “搭建一次 $O(2^n)$、此后每次使用 $O(n)$” 的账正是这一口径的产物 Casares 2020);干预与能量口径则对 QRAM 不利甚至反向。下面的推导把两本账都算清楚。

推导一:fanout 账本——$\Theta (N)$ 门数与 $O(2^{-n})$ 精度要求

fanout(扇出)架构把经典译码器直接量子化:第 $k$ 层有 $2^{k-1}$ 个开关、全部由地址比特 $a_k$ 控制($k=1,\dots ,n$),合计 ${\sum }_{k=1}^n{2}^{k-1}=N-1$ 个开关 GLM 2008 (PRA)。它的门数账分两层。

第一层:地址扇出。 让单个控制比特的取值”复制”到 $m$ 个目标上,至少需要 $m-1$ 个两比特门——因为每个 CNOT 至多把”已携带该比特”的量子比特数增加一,从 1 数到 $m$ 至少要走 $m-1$ 步。于是第 $k$ 层的扇出成本为 $2^{k-1}-1$,全树合计

${\sum }_{k=1}^n(2^{k-1}-1)=(N-1)-n=\Theta (N).$

第二层:总线读出。 每个存储单元都必须具备与总线寄存器相干交换数据的能力,即电路中要出现 $N$ 个受控交换型门(即便每次只有一条真正起作用,门也都要”在场”)。两层相加,单次查询的两比特门数满足下界

$G_{\mathrm{fanout}}\ge (N-1-n)+N=2N-n-1=\Theta (N),$

再加上查询结束后的逆序 uncompute(把扇出全部撤掉)大约再翻一倍。GLM 的原始账目与此一致:fanout 查询深度 $O(n)$、量子比特与门数均为 $O(N)$ GLM 2008 (PRA)。

精度要求。 设单门错误率为 $\epsilon$,用 union bound(逐门错误概率相加)估计单次查询的不保真度上界:$1-F\lesssim G_{\mathrm{fanout}}\cdot \epsilon \approx 2N\epsilon$。要求 $1-F\le \delta$,就得

$\epsilon \le \frac{\delta }{2N}=O\left(2^{-n}\right),$

正是 GLM “单门误差必须随规模按 $O(2^{-n})$ 缩小、大规模下必然屈服于噪声与退相干” 论断的来源 GLM 2008 (PRA)。代入数字:$n=20$ 时 $G\approx 2.1\times 10^6$(含 uncompute 约 $4\times 10^6$),取 $\delta =0.1$ 得 $\epsilon \lesssim 4.8\times 10^{-8}$;$n=40$ 时 $G\approx 2.2\times 10^{12}$,同样 $\delta$ 下 $\epsilon \lesssim 4.5\times 10^{-14}$——比当前最好门快十几个数量级,而且每加一位地址再乘二。

直觉。 经典寻址里”把地址铺满一层”是一根金属导线的事;量子化后复制必须由两体门逐个建立,于是全部 $2^n$ 条分支的身份信息以纠缠形式摊在 $N-1$ 个开关上。门数是 $\Theta (N)$ 还在其次,致命的是这 $N$ 个组件同时处于宏观叠加——任何一颗出错都直接进入干涉路径,这就是深度浅($O(n)$)的 fanout 反而最脆的原因(见 fanout 架构)。

推导二:bucket-brigade 账本——从 $\Theta (N)$ 压到 $\Theta ({\log }^{2}N)$

bucket-brigade(桶队)架构把”每层全扳”改成”逐级接力”:节点是三能级 qutrit,地址比特依次进树,沿途只激活一条从根到叶的路径(机制详见 桶队架构)。这个改动如何变成门数账上的指数改善,值得逐步数清。

三个计数口径

口径 A:任意时刻的激活节点数。 计算基址下,深度 $k$ 恰有一个节点被激活,全树任意时刻至多 $n+1$ 个节点处于激活态(含根与总线),$O(\log N)$。均匀叠加下这仍是平均图像:深度 $k$ 的节点被激活的概率是 $2^{-k}$,该层共 $2^k$ 个节点,期望激活数为 ${\sum }_{k=1}^n{2}^k\cdot 2^{-k}=n$。

口径 B:被激活过的元件总数(GLM PRL 口径)。 GLM 的摘要原文是:qRAM 虽然”需要 $O(2^n)$ 个量子逻辑门,但每次存储调用只有 $O(n)$ 个(两体物理相互作用)需要被激活” GLM 2008 (PRL)——数的是从等待态被拉起来干活的位点个数,即路径上的 $n$ 个节点。

口径 C:串行调度下的基本两体门数(电路口径)。 第 $i$ 个地址比特要经过 $i$ 层接力才安顿到位,总线读出又要逐层走 $n$ 步;在”每步一个基本两体相互作用”的严格串行调度下,铺通整条路径的步数是三角和

$T_{\mathrm{BB}}={\sum }_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}=\Theta (n^2)=\Theta ({\log }^{2}N).$

这就是站内各词条反复出现的两个数字——“纠缠两体门从 $O(N)$ 降至 $O({\log }^{2}N)$” 与 “相干检索一次需 $O(n^2)$ 步”——的同一来源:它们是同一本账的两种叫法 GLM 2008 (PRA)。口径 B 与口径 C 相差一个”每节点平均参与的门数 $\times$ 调度串行度”因子:激活的位点只有 $O(n)$ 个,但严格串行调度把这些操作拉长成 $\Theta (n^2)$ 步。引用文献时必须分清数的是哪一个;GLM 的名句”只需激活 $O(n)$“属口径 B,电路级核算属口径 C。

误差标度:$\log N\cdot \epsilon$ 及其严格化

激活集小,误差面就小。单开关错误率 $\epsilon$ 下,GLM 对每次查询总错误率的估算是

$\mathrm{Pr}(\text{查询出错})\approx (\text{激活节点数})\times \epsilon ={\log }_{2}N\cdot \epsilon .$

GLM 的著名数字全部由这一行生成:$\epsilon =0.1\%$ 时对 $2^{100}$ 个地址做叠加寻址总误差仅 $100\times 10^{-3}=10\%$;$\epsilon =1\%$ 时 $2^{10},2^{20},2^{30}$ 个地址对应 $10\%,20\%,30\%$ GLM 2008 (PRA)。Hann 等随后在完全一般的噪声信道(含去极化与相干误差)下证明了严格版本 $1-F\le 4\epsilon T\log N$,并指出韧性的真正来源是路由器之间的有限纠缠而非”激活门少” Hann 2021——$\log N$ 标度是真的,但理由与 GLM 的原始直觉不同(见 噪声韧性)。

直觉。 同样一棵 $N-1$ 节点的树,fanout 把 $2^n$ 条分支的身份写在全部 $N-1$ 个开关上,bucket-brigade 只写在 $O(n)$ 个节点上,其余节点永远停在等待态。宏观叠加从 $O(N)$ 个组件收缩到 $O(\log N)$ 个,这是器件层面唯一已被严格证明并实验证实的误差局域化(浙江大学的错误注入实验:被查询路径保真度斜率 $-0.255$,最远分支 $-0.005$)Shen 2026。

推导三:干预与能量——“激活门少”不等于”便宜”

口径 A–C 数的都是量子相互作用;Jaques–Rattew 的核心主张是:有一本账藏在背后,数的是经典控制必须覆盖多少节点 Jaques-Rattew。

路径独立性与 $\Omega (N)$ 干预

把两本账并排算。相干侧(口径 A):均匀叠加下期望激活节点数是 $n$——上一节的求和。控制侧:外部控制系统(供电线、控制线、偏置源)在查询开始前必须决定给哪些节点供能。路径独立性要求控制系统的状态不依赖将走哪条路径,否则路径信息在查询开始前就已泄露;因此控制系统不能只给”将要被激活的 $n$ 个节点”供能——它不知道也不允许知道是哪 $n$ 个。它只能给全部 $N-1$ 个可能被激活的节点供能:

$I_{\mathrm{query}}\ge N-1=\Omega (N)\text{(叠加查询、每个节点需外部干预时).}$

两个视角的差——“量子动力学只访问 $O(n)$ 个节点,经典控制必须覆盖 $\Omega (N)$ 个节点”——就是激活门口径失真的几何来源。这也解释了 active/passive 二分的由来:active QRAM 每次查询需 $\Omega (N)$ 次外部干预;passive QRAM 由不含时哈密顿量 $U=e^{iHt}$ 自主演化,理想干预为零 Jaques-Rattew。被动这条逃生口本身也被收窄:Jaques–Rattew 证明,凡由 $n$ 项 $m$ 比特 Pauli 串加权之和实现的 QRACM 哈密顿量,可服务的表规模受 $N\in \tilde{O}(W\Vert a{\Vert }_{1}t)$ 约束($W$ 为比特数、$\Vert a{\Vert }_1$ 为系数范数、$t$ 为演化时间)——“每次访问前重建哈密顿量”的成本同样是 $\Omega (N)$(定理级讨论见 机会成本定理)。

能量账的线性律

能量账与干预账同构:单次查询能耗是供能功率对时间的积分 $E={\sum }_{t}P(t)\Delta t$,而 $P(t)$ 正比于当时刻必须供能的组件数。active 方案里这个数恒为 $\Theta (N)$,与路由多聪明无关——能耗随 $N$ 线性增长是结构性的,不随深度优化而消失。Jaques–Rattew 给出量级锚点:若每比特每次访问耗散一个可见光子的能量,访问 $2^{50}$ bit 约 $1$ kJ、$2^{80}$ bit 约 $1$ GJ Jaques-Rattew。对照需求侧——格密码筛选需 $2^{49}$–$2^{78}$ bit 的 QRACM、SHA-256 碰撞搜索需 $2^{93}$ bit——密码分析级 QRAM 的能耗图景是 kJ 到 GJ 量级,而且每跑一次算法就要重付一遍。经典内存的 flash/DRAM 有低功耗待机、ECC 与检查点重启,量子内存受不可克隆定理限制无法冗余备份与回滚,一次访问被形容为 “takes the mother of all cache misses” Jaques-Rattew。

器件路线对干预账的两条最新回应都只是转移而非消除:资源态 QRAM 把在线干预 Clifford 化、把批量制备推给离线工厂 Cesa 2026;蒸馏–传态把纠错负担换成指数级经典自适应计算 Dalzell 2025。两案详见 资源态 QRAM 与 蒸馏–传态协议;“被动到什么程度才算真优势”仍是开放的标准问题。

推导四:流水线与摊销深度

深度账有一个门数账没有的自由度:延迟可以摊销。串行跑 $k$ 次查询的总深度是 $k\cdot T_{\mathrm{BB}}\approx k{n}^2/2$,但相邻查询的地址本可以像流水线一样错拍进树——树是 $n$ 级移位结构,第 $j+1$ 个地址可以在第 $j$ 个查询尚在读出时就开始进树。设第一查询的延迟为 $L=T_{\mathrm{BB}}=\Theta (n^2)$,流水线填满后每 $p=\Theta (n)$ 层完成一个查询,则

$T_{\mathrm{pipe}}(k)=L+(k-1)p,\bar{\Delta }(k)=\frac{T_{\mathrm{pipe}}(k)}{k}=p+\frac{L-p}{k}.$

只要 $k\gg L/p\approx n/2$,摊销深度 $\bar{\Delta }\to p=\Theta (\log N)$:$O(n^2)$ 的串行延迟被摊成了 $O(n)$。代入数字($n=20$,$L=210$,$p=20$):$k=1$ 时 $\bar{\Delta }=210$;$k=100$ 时 $23.8$;$k=804$(恰为 $n=20$ 的 Grover 查询数,见下节)时约 $20.4$;$k=10^6$ 时 $20.0004$。流水线的代价是路由器必须被连续占满,且相邻查询要相互独立——有经典前馈依赖的算法吃不到这个便宜。

门级并行化把同一思想做进了 Clifford+T 电路:Paler 等以保 Toffoli 并行性的分解,把查询区深度从顺序版的 $21\cdot 2^q+2q-26$ 压到 $14q+10$($q$ 为地址位数),不引入额外辅助比特、与表面码兼容;$q=12$ 时深度从约 $8\times 10^4$ 层降到 $150$ 层,4 KB 表的容错查询按同一逻辑从 $0.35$ ms 缩到约 $11$ ns——作者称之为”理论上以经典 RAM 的速度执行” Paler 2020(电路族背景见 Di Matteo 2020 与 电路级优化)。

必须强调:摊销只作用于深度账,不作用于误差账。 每次查询的不保真度仍是 $\epsilon {\log }_{2}N$,$k$ 次查询累计 $\approx k\epsilon {\log }_{2}N$;要求全程不保真度 $\le \delta$,则单门精度要求随 $k$ 线性收紧,

$\epsilon \le \frac{\delta }{k{\log }_{2}N}.$

查询越多、跑得越快的方案,对每个门的要求反而越苛——这条倒数律是下一节总账的主角。

推导五:算法层乘法——总账 = 查询数 × 单查询成本

器件账单只有乘上算法的查询次数才是真实账单。

Grover 的查询数

以无结构搜索为基准:表 $D$ 中恰有一个标记项,Naimi–Grover 迭代的几何是把标记振幅角每轮推进 $2\theta$,其中 $\sin \theta =1/\sqrt{N}$。$k$ 轮后成功概率为 $p_k={\sin }^2((2k+1)\theta )$,令 $(2k+1)\theta =\pi /2$ 得最优迭代数

$k_{\ast }=\lfloor \frac{\pi }{4\theta }\rfloor \approx \frac{\pi }{4}\sqrt{N}(\theta \approx 1/\sqrt{N}\text{时}).$

代入:$N=2^{20}$ 时 $\theta =\arcsin (2^{-10})\approx 9.77\times 10^{-4}$,$k_{\ast }\approx 804$;$N=2^{40}$ 时 $k_{\ast }\approx 8.24\times 10^5$。

三条路线的总账

把 $Q=k_{\ast }$ 次查询乘上各路线的单查询账本:

路线	单查询成本	Grover 全程总账
fanout 器件	$\Theta (N)$ 纠缠门	$\Theta \left(N^{3/2}\right)$
bucket-brigade 器件	$\Theta ({\log }^{2}N)$ 两体门(口径 C)	$\Theta \left(\sqrt{N}{\log }^{2}N\right)$
qROM 电路	$\Theta (N)$ T 门(unary iteration $4L-4$)	$\Theta \left(N^{3/2}\right)$ T 门

qROM 电路一行来自 Babbush 等的 unary iteration:T-count $4L-4$、与字长无关($L$ 为表长) Babbush 2018。于是出现本节最重要的结构性对比:电路路线与 fanout 器件的总账同为 $N^{3/2}$,只是货币不同(T 门 vs 纠缠门);bucket-brigade 器件把单查询压到 ${\log }^{2}N$,总账改善因子为 $N^{3/2}/(\sqrt{N}{\log }^{2}N)=N/{\log }^{2}N$——$n=20$ 时约 $\times 2600$,$n=40$ 时约 $\times 10^9$。但同一篇 Babbush 等指出:bucket-brigade 即便路由深度是对数的,在容错口径下 T 复杂度仍是 $O(L)$——“对数深度 ≠ 对数成本” Babbush 2018(口径之辨见 边界:qROM 电路与 QROM 模型)。

误差预算:从摊销账复现 Arunachalam 判据

第四节的倒数律乘上 Grover 的查询数,能得到一个教科书级推论。bucket-brigade 用作搜索预言机时,单查询不保真度 $\lesssim \epsilon {\log }_{2}N$,全程 $Q$ 次累计 $\lesssim Q\epsilon {\log }_{2}N$;要求 $\le O(1)$:

$\epsilon \lesssim \frac{1}{Q{\log }_{2}N}=\frac{4}{\pi }\cdot \frac{2^{-n/2}}{n}=\tilde{O}\left(2^{-n/2}\right).$

这正是 Arunachalam 等由 Regev–Schiff 论证得到的结论:bucket-brigade 用作 Grover 预言机时每门错误率必须 $o(2^{-n/2})$;且对超多项式次查询的算法,精度要求超多项式地严,纠错由此不可回避 Arunachalam et al. 2015——他们还证明,一旦施加传统 CSS 纠错,全部 $N$ 个节点都须被主动纠正,桶队退化为 fanout 式架构,“激活门少”的优势消失。fanout 的对应预算更糟:单查询 $\approx 2N\epsilon$,全程要求 $\epsilon \lesssim O(N^{-3/2})=O(2^{-3n/2})$:$n=20$ 时约 $9\times 10^{-10}$,$n=40$ 时约 $9\times 10^{-19}$。数值上两条判据同量级:$n=20$、$Q=804$ 时桶队的倒数律给出 $\epsilon \lesssim 6.2\times 10^{-5}$,与 $o(2^{-10})\approx 10^{-3}$ 同域(union bound 略保守)。

与 QROM 摊销的对比

两条路线的成本结构在”存量/流量”栏里位置相反:

• 器件路线(fanout/bucket-brigade):把 $\Theta (N)$ 记入存量——$O(N)$ 个比特与开关搭建一次,此后每查询只付 $O({\log }^{2}N)$ 的流量,且延迟可流水线摊销到 $O(\log N)$(第四节)。Casares 的表述就是这套结构:“搭建一次 $O(2^n)$、此后每次使用 $O(n)$” Casares 2020。
• 电路路线(qROM):没有存量可摊——$\Theta (N)$ 个 T 门是每次查询重复支付的流量,查多少次付多少次;换来的是确定性(不赌任何硬件)与可控宽度(数据编译在电路里而非 $O(N)$ 个存储单元中,宽度可按电路族权衡 Di Matteo 2020;预译码可再换深度 Phalak 2022)。

盈亏平衡点因此由查询数与货币共同决定:纯门数货币下,只要查询次数 $k\gtrsim 1$,器件路线就占优;T 门货币下器件路线优势归零(Babbush 的 $O(L)$ 论证);干预与能量货币下,器件路线每查询仍欠 $\Omega (N)$(第三节),除非做到真 passive。四本账对”哪条路线赢”给出不同答案——这个分歧本身,就是成本口径词条存在的理由。Jaques–Rattew 的下界把这组张力推到极致:任何以 $G$ 个门、误差 $\le 1/\sqrt{2}$ 实现任意分数 $\tau$ 表的电路,都有 $G\in \tilde{\Omega }(N+\log \tau )$——电路式 QRAM 的 $\tilde{\Theta }(N)$ 门数本质最优,器件路线的全部赌注因此压在”电路下界管不到的专用物理器件”上;其结论写作 “cheap QRAM should be considered infeasible until shown otherwise” Jaques-Rattew。

数值算例:$N=2^{20}$ 与 $N=2^{40}$

下表把前四节公式代入两个规模。约定:常数取单位近似($G_{\mathrm{fanout}}\approx 2N$ 含 uncompute $\approx 4N$;口径 C 下 $T_{\mathrm{BB}}=n(n+1)/2$;$Q\approx (\pi /4)\sqrt{N}$),只校准数量级,不充当工程估计;能量账因锚点数据未覆盖这两个规模,只给标度 $E\propto N$(见第三节)。

$N=2^{20}$(1 MiB 表,$n=20$,$\sqrt{N}=1024$,$Q=804$):

账目	fanout 器件	bucket-brigade 器件	qROM 电路
单查询纠缠门/T 门	$\approx 4.2\times 10^6$	$\approx 2.1\times 10^2$	$\approx 4.2\times 10^6$ T
单查询深度	$O(n)$(需全局多目标门 [[sources/QR022	Gokhale 2020]])	串行 $\approx 210$ 步;流水线摊销 $\to 20$
宽度 $W$	$\approx 10^6$	$\approx 10^6$ qutrit	非 $O(N)$(数据在电路里)
Grover 全程账	$\approx 1.7\times 10^9$	$\approx 1.7\times 10^5$	$\approx 3.4\times 10^9$ T
全程精度要求 $\epsilon$	$\lesssim 6\times 10^{-10}$	$\lesssim 6\times 10^{-5}$(Arunachalam 口径 $o(10^{-3})$)	由 T 工厂保证
每查询干预	$\Omega (N)\approx 10^6$	$\Omega (N)\approx 10^6$(active 口径)	0(代价在 T 门)

$N=2^{40}$(1 TiB 表,$n=40$,$\sqrt{N}=2^{20}$,$Q\approx 8.24\times 10^5$):

账目	fanout 器件	bucket-brigade 器件	qROM 电路
单查询纠缠门/T 门	$\approx 4.4\times 10^{12}$	$\approx 8.2\times 10^2$	$\approx 4.4\times 10^{12}$ T
单查询深度	$O(n)$	串行 $\approx 820$ 步;流水线摊销 $\to 40$	$O(N)$
宽度 $W$	$\approx 1.1\times 10^{12}$	$\approx 1.1\times 10^{12}$ qutrit	非 $O(N)$
Grover 全程账	$\approx 1.8\times 10^{18}$	$\approx 6.8\times 10^8$	$\approx 3.6\times 10^{18}$ T
全程精度要求 $\epsilon$	$\lesssim 6\times 10^{-19}$	$\lesssim 3\times 10^{-8}$(Arunachalam 口径 $o(10^{-6})$)	由 T 工厂保证
每查询干预	$\Omega (N)\approx 10^{12}$	$\Omega (N)\approx 10^{12}$(active 口径)	0(代价在 T 门)

三张注脚把表格钉回现实。其一,宽度账: $2^{40}$ 个相干 qutrit 远超任何布图设想;表面码容错口径下 Di Matteo 等对 $n=36$ 并行桶队电路的核算是 $1.5\times 10^{15}$ 物理比特换 $2.13$ ms 查询 Di Matteo 2020(完整表见 容错资源红线)。其二,深度账有物理下界:局域相互作用系统中 $O(\log N)$ 深度服务 $O(N)$ 数据渐近违反因果性,容量受 $N/{\log }^{2}N\lesssim v\Delta T/a$ 约束 Wang et al. 2024,大规模方案被迫走向 2D/3D 布局或传送型架构(见 因果律极限)。其三,能量账: Jaques–Rattew 的锚点($2^{50}$ bit 约 $1$ kJ、$2^{80}$ bit 约 $1$ GJ Jaques-Rattew)恰好夹住 $N=2^{40}$ 这个规模——上表两行 $N=2^{40}$ 的器件账,其干预需求正落在该能耗图景的门前。

边界与讨论

四本账为什么必须同时报。 每个账本都有”单维冠军”:fanout 深度 $O(n)$ 最浅,但精度要求 $O(2^{-n})$ 最苛;QRAM_poly 把 T-depth 压到 $O(\log \log N)$,代价是 CNOT 数涨到 $O(N^{1.6})$ Mukhopadhyay 2025;qROM 电路宽度可控、确定可编译,但每查询恒付 $\Theta (N)$ T 门。只报一个分量的宣称默认不完整,多维打分卡见 评价指标:六维打分卡。

账本常数本身在漂移。 表面码红线基于 2018–2020 年的成本假设;Google 的 FLASQ 模型(魔态 cultivation、流体式辅助比特时空、QEC+QEM 混合)把同类容错任务估计压低一个数量级以上 Huggins 2025。本词条的公式(标度律)比常数更耐用,但引用任何具体数字都应核对成本模型的年代。

口径纪律。 回到公案:激活门口径下经典 $\Theta (2^n)$ vs 量子 $\Theta (n)$ 的对照之所以可疑,是因为它把”实际供能的门”(经典侧的低功耗口径)与”可能被激活的门”(量子侧在路径独立性下必须全部覆盖的干预口径)放进同一列 Jaques-Rattew。本词条的建议是:任何 QRAM 成本宣称,先问三个问题——数的是哪本账(门/深度/宽度/能量)、记在存量还是流量、active 还是 passive。三问过后,大多数”指数优势”会自己站到正确的账本栏里去。

延伸阅读

• 机会成本定理
• 被动性论证
• 分类学:四分类与主动/被动
• 评价指标:六维打分卡
• 桶队架构
• fanout 架构
• 电路级优化
• 边界:qROM 电路与 QROM 模型
• 容错资源红线
• 因果律极限