评价指标:六维打分卡

评价一个 QRAM 方案至少需同时报告六个维度:保真度及其标度、查询深度、物理资源、噪声表现、带宽并行与容错接口——单一维度的宣称皆有误导性。

打分卡:六个维度与度量口径

(i) 查询保真度及其随 $N$ 的标度。 理想为 polylog 标度:Hann 等证明一般噪声下 $1-F\le 4\epsilon T\log N$ Hann 2021;资源态 QRAM 数值给出 ${\log }^{\alpha }N$ 标度,$\alpha \approx 3.8$(去极化)或 $\approx 1.9$(Z 偏置)Cesa 2026;浙大实验两层/三层 QRAM 误差缓解后保真度分别为 $0.800\pm 0.026$ 与 $0.604\pm 0.005$ Shen 2026。

(ii) 查询深度/时间。 含地址流水线化后的摊销延迟:bucket-brigade 检索需 $O(n^2)$ 步,流水线化后摊销为 $O(n)$ 层 Paler 2020;Fat-Tree 摊销单查询时延 8.25 层、带宽 $1.21\times 10^5$ qubit/s 与 $N$ 无关 Xu 2025;资源态 QRAM 对 1 kB 存储查询约 13 ms、工厂速率约 0.1 kHz Cesa 2026。

(iii) 物理资源。 量子比特数、门数、T-count/T-depth:QRAM_poly 以 T-depth $O(\log \log N)$ 换来 CNOT $O(N^{1.6})$ Mukhopadhyay 2025;Di Matteo 核算 8 GB 毫秒级查询需 $1.5\times 10^{15}$ 物理比特 Di Matteo 2020。

(iv) 噪声模型下的不保真度标度与可检测错误比例。 浙大错误注入实验:被查询路径保真度斜率 $-0.255$,最远分支几乎免疫($-0.005$)Shen 2026;中科大两层路由网络擦除后选择保真度 82.40% Zhang 2025。

(v) 带宽与并行查询能力。 共享场景下的多查询流水:Fat-Tree 以 $16N$ 比特支持 $\log N$ 路独立查询 Xu 2025;量子数据中心进一步把 QRAM 当网络化基础设施核算 Liu 2023。

(vi) 与纠错层的接口成本。 在线 Clifford 化 Cesa 2026、异构变码距 Singal 2025、蒸馏–传态 Dalzell 2025 给出三种答案;Gottesman–Knill 类论证则排除常见码上的横向 QRACM 门 Jaques-Rattew。

六个维度各有对应的数学工具:维度 (i) 建立在保真度-迹距离不等式链上,噪声端由 union bound 与 Hann 界两个支柱支撑;(ii)(iii)(v) 是组合记账;(iv)(vi) 是把 (i)(iii) 放到真实器件与纠错层上的修正。以下按推导为主、数值验算为锚展开。

保真度:定义、操作语义与 $1-F$ 的地位

秩一保真度的定义

理想 QRAM 查询是幺正变换:对输入叠加态 ${\sum }_{\mathbf{x}}{\psi }_{\mathbf{x}}|\mathbf{x}⟩|0⟩$,理想输出是纯态

$$|{\psi }_{\mathrm{id}}⟩=\sum _{\mathbf{x}}{\psi }_{\mathbf{x}}|\mathbf{x}⟩|D_{\mathbf{x}}⟩.$$

真实器件的输出是密度算符 $\rho$(路由器初态不完美、门错误、退相干都使 $\rho$ 混合)。查询保真度(query fidelity)取秩一保真度

$$F(\psi ,\rho )=⟨{\psi }_{\mathrm{id}}|\rho |{\psi }_{\mathrm{id}}⟩.$$

本站与 QRAM 文献一致采用”平方”口径(部分教材取其平方根)。三条基本性质,均给出证明:

1. $0\le F\le 1$。由 $\rho ⪰0$ 得 $⟨\psi |\rho |\psi ⟩\ge 0$;由 $I-\rho ⪰0$(密度算符本征值不超过 1)得 $⟨\psi |\rho |\psi ⟩\le ⟨\psi |I|\psi ⟩=1$。
2. $F=1$ 当且仅当 $\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$。设 $A=I-\rho ⪰0$,则 $A=B^{†}B$(取 $B=\sqrt{I-\rho }$),于是 $0=⟨\psi |A|\psi ⟩=\Vert B|\psi ⟩{\Vert }^2$ 推出 $A|\psi ⟩=0$,即 $\rho |\psi ⟩=|\psi ⟩$;$\rho$ 的支撑整个落在 $|\psi ⟩$ 上,再由 $\mathrm{Tr}\rho =1$ 得 $\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$。因此 $1-F=0$ 恰好刻画”输出即理想态”,没有过冲。
3. 谱分解读法:取 $\rho ={\sum }_i{p}_i|{\phi }_i⟩⟨{\phi }_i|$,则

$$F=\sum _i{p}_i|⟨{\psi }_{\mathrm{id}}|{\phi }_i⟩{|}^2,$$

即 $F$ 是”每个本征分支与理想态的重叠”按布居 $p_i$ 的加权平均:布居错误(对角)与相干错误(非对角)都进入 $F$,但进入方式不同——这一点在下面”相干错误二次律”里会变成可计算的差别。

迹距离与可观测偏差

保真度本身不是可观测量,需要一条通往”测量读数差多少”的桥,这就是迹距离(trace distance):

$$D(\rho ,\sigma )=\frac{1}{2}\Vert \rho -\sigma {\Vert }_1=\frac{1}{2}\sum _i|{\lambda }_i|,$$

其中 ${\lambda }_i$ 是差 $\Delta =\rho -\sigma$ 的本征值。它的操作语义是:任意二选一区分实验的读数偏差以 $D$ 为上确界。证明只需 Jordan 分解 $\Delta ={\Delta }_{+}-{\Delta }_{-}$(两个正半定算符、像空间正交,分别张成本征值为正/负的部分),注意 $\mathrm{Tr}{\Delta }_{+}=\mathrm{Tr}{\Delta }_{-}=\frac{1}{2}\Vert \Delta {\Vert }_1=D$:

• 对任意效应 $0\le M\le I$:$\mathrm{Tr}[M\Delta ]\le \mathrm{Tr}[M{\Delta }_{+}]\le \mathrm{Tr}[{\Delta }_{+}]=D$,同法得 $\mathrm{Tr}[M\Delta ]\ge -D$;
• 取 $M$ 为 ${\Delta }_{+}$ 支撑上的投影即达等号。

所以 $D={\sup }_M|\mathrm{Tr}[M(\rho -\sigma )]|$:任何一次二结果测量(某个成功率、某个符号判定)在 $\rho$ 与 $\sigma$ 上的读数差都不超过 $D$。

两条不等式:$1-F\le D\le \sqrt{1-F}$

理想输出是纯态,这一特殊化让两条不等式都可以显式写出。

下界 $D\ge 1-F$: 在上面的操作语义中取 $M=|{\psi }_{\mathrm{id}}⟩⟨{\psi }_{\mathrm{id}}|$,则

$$\mathrm{Tr}[M(|{\psi }_{\mathrm{id}}⟩⟨{\psi }_{\mathrm{id}}|-\rho )]=1-F\le D.$$

即”投影到理想态上的成功概率的亏损”本身就是一次合法的区分实验,$1-F$ 不可能超过迹距离。

上界 $D\le \sqrt{1-F}$: 用纯化(purification)与 Uhlmann 定理(教科书级标准结果)。取 $\rho$ 的一个纯化 $|{\Psi }_{\rho }⟩$,并取理想态的平凡纯化 $|{\psi }_{\mathrm{id}}⟩|a⟩$。迹距离在 CPTP 映射下收缩(丢弃子系统不会增强区分能力:对约化系统的任何区分测量都可经 Naimark 扩张到全系统),故

$$D(\rho ,|{\psi }_{\mathrm{id}}⟩⟨{\psi }_{\mathrm{id}}|)\le D(|{\Psi }_{\rho }⟩,|{\psi }_{\mathrm{id}}⟩|a⟩).$$

由 Uhlmann 定理,右边可对纯化取最优使重叠平方恰为 $F$;而两个纯态 $|a⟩,|b⟩$ 的迹距离可以直接对角化:$\Delta =|a⟩⟨a|-|b⟩⟨b|$ 零迹、二秩,本征值 $\pm \sqrt{1-|⟨a|b⟩{|}^2}$,故 $D_{\mathrm{pure}}=\sqrt{1-F_{\mathrm{pure}}}$。合并即 $D\le \sqrt{1-F}$。

数值锚点: $F=0.99$ 时 $1-F=10^{-2}$,而 $D\le \sqrt{0.01}=0.1$——保真度 99% 不意味着所有观测量偏差在 1% 以内,最坏可观测偏差可达 10%。同理,$F=0.800$(浙大两层)给 $D\le \sqrt{0.2}\approx 0.447$,$F=0.604$(三层)给 $D\le \sqrt{0.396}\approx 0.629$——低保真度区间不等式迅速变松,只报 $F$ 不够,需补可分辨性/成功率测量。

为何以 $1-F$ 为”误差预算货币”

• 随机错误下的一阶线性化: 若每个门以概率 $\epsilon$ 出随机错误,则 $1-F\le {\sum }_k{\epsilon }_k$(下一节 union bound),误差预算可以逐门相加——这是 $1-F$ 作为记账单位的核心便利。
• 相干错误二次律: 设错误是绕垂直轴的小转角 $|{\psi }_{\theta }⟩=e^{-i\theta P/2}|\psi ⟩$,则 $F={\cos }^2(\theta /2)\approx 1-{\theta }^2/4$,而 $D=\sqrt{1-F}=|\sin (\theta /2)|\approx \theta /2$。$1-F$ 对相干错误的转角是二次的,可观测偏差却是一次的;用信道一阶展开的语言说,幺正信道的生成元是对易子,$⟨\psi |[H,|\psi ⟩⟨\psi |]|\psi ⟩=0$,保真度的一阶项恒为零。这解释了两件事:为何”报 $1-F$“会系统性低估相干错误的角度,以及为何 Hann 定理对一般信道(含相干)的常数更差(见下)。
• 与文献口径对齐: 实验(浙大、中科大)报告的”查询保真度”即此秩一口径,Hann 界亦然,报告值与上界可直接对比。

噪声标尺 I:union bound 与激活门预算

Boole 不等式与”错误预算”读法

union bound(并集界,Boole 不等式)是对 $m$ 个坏事件 $A_1,\dots ,A_m$ 的:

$$P\left(\bigcup _k{A}_k\right)\le \sum _{k=1}^{m}P(A_k).$$

证明对 $m$ 归纳:$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\le P(A)+P(B)$。更有用的等价读法是经期望与 Markov 不等式:令 $X={\sum }_k{1}_{A_k}$ 为错误总数,则 $E[X]={\sum }_{k}P(A_k)$,而”至少一个错误”即 $X\ge 1$,故

$$P(\text{查询出错})=P(X\ge 1)\le E[X]=\sum _{k}P(A_k).$$

这给出 union bound 的”预算”语义:给每个门分配 $\epsilon$ 的错误预算,总预算 $m\epsilon$ 自动保证失败概率 $\le m\epsilon$,无需任何关于错误之间相关的假设。

逐门噪声模型与”全好分支”

把查询电路写成 $m$ 个理想门 $G_k$,每个门后接噪声信道 ${\Lambda }_k$。取混合酉(mixed-unitary)模型

$${\Lambda }_k(\rho )=(1-{\epsilon }_k)\rho +{\epsilon }_k{\mathcal{E}}_k(\rho ),$$

即”以概率 $1-{\epsilon }_k$ 什么都不发生,以概率 ${\epsilon }_k$ 发生某个任意错误”。对每个位置掷一枚硬币 $c_k$,条件在”全部 $c_k=0$“的分支上,整个电路就是理想幺正线路,输出恰为 $|{\psi }_{\mathrm{id}}⟩$,于是

$$F\ge \prod _{k=1}^m(1-{\epsilon }_k).$$

Bernoulli 不等式 $(1-\epsilon {)}^m\ge 1-m\epsilon$($\epsilon \in [0,1]$,对 $m$ 归纳:$(1-\epsilon {)}^{m+1}=(1-\epsilon {)}^m(1-\epsilon )\ge (1-m\epsilon )(1-\epsilon )=1-(m+1)\epsilon +m{\epsilon }^2\ge 1-(m+1)\epsilon$)给出核心结论:

$$1-F\le m\epsilon .$$

注意这里没有假设”任一错误必然毁掉查询”——只用了全好分支下界,错误相消只会让真实 $F$ 更高;一阶展开 $(1-\epsilon {)}^m=1-m\epsilon +O(m^2{\epsilon }^2)$ 表明界在 $m\epsilon \ll 1$ 时是紧的。

激活门数:GLM 的 $O(\epsilon \log N)$ 复算

union bound 把噪声问题化归为计数问题:$m$ 是多少?这正是 GLM 架构划分的分水岭。GLM 指出地址 $n$ 位、容量 $N=2^n$ 的量子 RAM 总共需要 $O(2^n)$ 个两比特门,但每次调用只需激活 $O(n)$ 个物理相互作用 GLM PRL 2008 GLM PRA 2008:经典(fanout)架构每次调用掷全部 $N$ 个开关,bucket-brigade 则让地址信息本身逐层”传桶”,未被经过的节点保持等待、不发生开关动作。

对 bucket-brigade 逐层计数:第 $\ell$ 层有 $2^{\ell -1}$ 个路由器,地址 $\mathbf{x}=(x_1\dots x_n)$ 的前缀 $(x_1\dots x_{\ell })$ 恰选定其中一个——每条地址分支每层激活且只激活一个路由器。故激活门数是确定性的

$$A(\mathbf{x})=n={\log }_{2}N(\text{对每条分支都成立,无需平均}),$$

代入 union bound(叶子读出门贡献常数阶,并入 $O(\cdot )$):

$$\text{bucket-brigade:}1-F\le \epsilon {\log }_{2}N;\text{fanout:}1-F\le (N-1)\epsilon .$$

这就是”log N·ε”启发式的完整推导:它不是近似论证,而是 Boole 不等式在逐门随机噪声模型下的严格上界——在”只有激活门会出错”这一噪声模型前提下。

数值验算:$\epsilon =0.1\%$ 与 $N=2^{100}$

取 $N=2^{100}$、单门错误率 $\epsilon =10^{-3}$:

1. 层数 $n={\log }_2{2}^{100}=100$,激活门数 $m=100$;
2. union bound:$1-F\le 100\times 10^{-3}=0.1$,即 $F\ge 0.90$;
3. 精确值(独立近似下全好分支概率):$(1-10^{-3}{)}^{100}=e^{100\ln 0.999}=e^{-0.10005}\approx 0.9048$,即真实不保真度约 $9.5\%$,与上界 10% 同量级——union bound 只松了约 5%。

对照两组:同 $\epsilon$、$N=2^{50}$ 时 $1-F\le 50\times 10^{-3}=0.05$、精确值 $1-0.999^{50}\approx 4.9\%$;而 fanout 在 $N=2^{20}$、$\epsilon =10^{-4}$ 时 $(N-1)\epsilon \approx 105\gg 1$,界完全失效——要保 $F\ge 0.9$ 需 $\epsilon \le 0.1/2^{20}\approx 9.5\times 10^{-8}$,即门误差须压到 $O(2^{-n})$ 量级(10% 预算再低一个数量级)。这就是维度 (i) 里”fanout 深度浅但要求门误差 $O(2^{-n})$“的出处。

启发式的两个漏洞与算法层反馈

上述推导有两处模型假设,正是后续文献的切入点:

1. 只数激活门。 等待态的 $N-1-n$ 个路由器在查询时长内同样承受退相干;若把空闲错误也计入,朴素计数变成 $\sim N\epsilon$,韧性消失。Hann 定理(下节)表明这个”朴素修正”是错的——结构性原因使空闲错误大部分无关紧要。
2. 噪声模型受限。 混合酉逐门模型不含相干错误、不含常数范围的相关错误;Hann 之前的分析多依赖此类特设噪声模型,Hann 等则对任意 CPTP 信道证明了同样的对数标度 Hann 2021。
3. 单查询指标 $\ne$ 算法指标。 即便单次查询 $1-F=O(\epsilon \log N)$ 很小,Grover 型算法要把 oracle 误差放大:经 Regev–Schiff 的结果,对一类错误模型,用作搜索 oracle 的 bucket-brigade QRAM 门错误率须为 $o(2^{-n/2})$ Arunachalam 2015;而对 HHL、量子机器学习这类仅需多项式次查询的算法,多项式小的错误率即可,可能无需纠错。同一篇文章还指出:对 QRAM 电路整体做量子纠错会消灭”激活门少”的核心优势——因为所有 $O(N)$ 个组件都得被主动纠正,这直接引出维度 (vi) 的接口难题。

噪声标尺 II:Hann 一般噪声界 $1-F\le 4\epsilon T\log N$

定理设定

Hann、Lee、Girvin、Jiang 考虑最不利设定:树上全部 $O(N)$ 个组件——包括等待态路由器——各自承受任意 CPTP 噪声信道,错误来源涵盖初态制备错误、门错误、任意门分解与常数范围的相关错误;电路深度 $T=O(\log N)$,单操作错误率 $\epsilon$。结论:混合酉情形

$$1-F\le 4\epsilon T\log N(\text{要求 }\epsilon T\log N\le \frac{1}{4}),$$

完全一般信道常数稍差,为 $A\approx 6-2{\epsilon }_W/\epsilon$ Hann 2021(定理细节与架构分档见一般噪声下的韧性)。

推导思路一:信道一阶展开与 $T$ 步累积

先看单条分支上错误如何随电路深度累积。把噪声信道写到恒等映射的一阶:对位置 $k$ 的信道 ${\Lambda }_k(\rho )=\rho +\epsilon {\mathcal{L}}_k(\rho )+O({\epsilon }^2)$($\mathcal{L}$ 为生成元,随机错误的 $\mathcal{L}$ 形如 $\mathcal{E}-\mathrm{id}$,相干错误的 $\mathcal{L}$ 是对易子)。经 $T$ 层累积,Dyson/Born 级数给出

$${\rho }_{\mathrm{out}}={\rho }_{\mathrm{id}}+\epsilon \sum _k{U}_{>k}{\mathcal{L}}_k\left(U_{<k}{\rho }_{\mathrm{in}}{U}_{<k}^{†}\right)U_{>k}^{†}+O({\epsilon }^2),$$

其中 $U_{<k}$、$U_{>k}$ 是第 $k$ 个错误位置前、后的理想幺正段。代入 $1-F=-⟨{\psi }_{\mathrm{id}}|{\rho }_{\mathrm{out}}-{\rho }_{\mathrm{id}}|{\psi }_{\mathrm{id}}⟩$并放缩(每项 $\mathcal{L}$ 的算符范数有界、$U$ 不改变范数),得单分支 $1-F=O(\epsilon m)$,$m$ 为该分支经过的错误位置数——一阶展开视角重新导出 union bound 的标度。相干错误在此框架下自动显现其特殊性:$\mathcal{L}$ 为对易子时 $⟨\psi |[H,|\psi ⟩⟨\psi |]|\psi ⟩=0$,一阶项消失、$1-F$ 从二阶开始(上一节二次律的生成元证明)。这意味着以 $1-F$ 直接做一阶记账对相干错误失效,必须用范数(迹距离)记账再换算回保真度——最终常数里的"$\times 2$"正源于此。

推导思路二:好/坏分支分解与不传播引理

逐门计数之所以失败,是因为”哪个错误影响哪个输出分支”不是全局的。Hann 的关键做法是按错误构型把输出分解:

• 分支局域性: 地址为 $\mathbf{x}$ 的计算分支只流经它的 $n$ 个路径路由器;非路径组件的错误(包括等待态的退相干)只污染其他分支。树的宽度是 $2^{\ell }$、而每条分支每层只触碰一个节点,两者相消——这正是 union bound 里”激活门数”的另一半。
• 不传播引理(error transparency 类性质): 坏分支上的错误不会传播回好分支;查询电路由 SWAP/CSWAP 类置换型操作构成,错误沿树的扩散被路由结构局域化(机制见误差局域化)。
• 好分支权重: 于是对每条分支,能影响它的错误机会只有”自己的 $n$ 个路径组件 $\times$ $T$ 层”,存活权重

$$E(\Lambda )=(1-\epsilon {)}^{T\log N}\ge 1-\epsilon T\log N(\text{Bernoulli 不等式再次使用}).$$

推导思路三:组装出因子 4

最后把三块拼起来:每条分支以权重 $\ge 1-\epsilon T\log N$ 保持在理想轨道上;坏分支对好分支的污染由不传播引理用同一量 $\epsilon T\log N$ 控制;再经”迹距离 $\to$ 保真度”的换算(前节不等式链,两次范数放缩各贡献因子 2),得

$$1-F\le 4\epsilon T\log N.$$

常数 4 不紧,任意信道下换为 $A\approx 6-2{\epsilon }_W/\epsilon$;定理真正的内容不是常数,而是标度:总不保真度由”每层 $\epsilon T$、共 $\log N$ 层”决定,与树的宽度 $N$ 无关。逐层记账看得最清楚:第 $\ell$ 层的 $2^{\ell -1}$ 个路由器各自只被 $2^{-(\ell -1)}$ 的分支触碰,该层对每条分支的贡献是 $\epsilon T$——宽度与触碰比例逐层相消,求和 ${\sum }_{\ell =1}^n\epsilon T=n\epsilon T$。物理来源是树的有限纠缠:第 $\ell$ 层组件与整体的纠缠熵 $\sim 2^{-\ell }$,单个错误只毁掉指数少的分支。以 $T\approx \log N$ 代入即得各架构分档:三能级 bucket-brigade $\sim {\log }^{2}N$,两能级 $\sim {\log }^{3}N$(错误经”左端口”上行的节点至多 ${\log }^{2}N$ 个),fanout $\sim N\log N$,QROM 电路 $\sim \epsilon N{\log }^{2}N$ Hann 2021。

还需区分 $T$ 与流水线:地址逐比特流动使单查询深度为 $O(\log N)$;流水线化改善的是吞吐(维度 (ii),摊销后 $O(n)$ 层 Paler 2020),但每条查询自身仍流经 $T=O(\log N)$ 层电路,噪声界中的 $T$ 不因流水线而减小——摊销深度与噪声预算是两个独立坐标。

数值验算与适用区间

取 $\epsilon =10^{-5}$(低于当前双比特门约两个量级的目标值):

• $N=2^{50}$(约 $10^{15}$ 单元,petabyte 邻域)、$T=50$:$1-F\le 4\times 10^{-5}\times 2500=0.1$,即 $F\ge 0.90$;适用区间核查 $\epsilon T\log N=2.5\times 10^{-2}\le 1/4$ ✓。
• $N=2^{100}$、$T=100$:$1-F\le 4\times 10^{-5}\times 10^4=0.4$,即 $F\ge 0.60$;核查 $\epsilon T\log N=0.1\le 1/4$ ✓。同参数下 GLM 启发式(只算激活门)给 $\epsilon \log N=10^{-3}$——Hann 界比它松约 400 倍,这是覆盖空闲退相干与相干错误、追求全覆盖的代价。
• 反例方向:$\epsilon =10^{-3}$(当前双比特门量级)、$N=2^{50}$ 时 $4\epsilon T\log N=10\gg 1$,界空洞。这划定了”免纠错 bucket-brigade”的现实边界:要么 $\epsilon \lesssim 10^{-5}$,要么进入纠错接口——异构纠错只强纠保真度关键区域,对任意 $N$ 给出常数保真度且资源省 5 倍(depth-30 对比)Singal 2025;蒸馏–传态协议甚至允许器件保真度低至 $1/\mathrm{poly}(n)$,以 $\mathrm{poly}(n)$ 容错资源换指数级经典自适应计算 Dalzell 2025;资源态 QRAM 则把在线部分 Clifford 化后保留 ${\log }^{\alpha }N$ 的数值标度 Cesa 2026。

关于 ${\log }^{\alpha }N$ 数值标度的用法需一个限定:$\alpha \approx 3.8/1.9$ 是数值拟合指数,前置因子未知,不能直接代入算绝对误差;可比的是指数差。同底数下 $n=20$ 时 $20^{1.9}\approx 3.0\times 10^2$,即同样 $\epsilon$ 下去极化与 Z 偏置两种噪声的不保真度相差约两个数量级,且差距随 $\log N$ 增长——这就是误差偏置(把双比特门错误转成相位错误)成为中性原子工作点的原因 Cesa 2026。

实验读数:把上界当量尺

浙大两级/三层:为何要标度不要点值

误差缓解后 $F_2=0.800\pm 0.026$、$F_3=0.604\pm 0.005$ Shen 2026。朴素读数:每层恒定不保真度模型 $1-F\approx n\gamma$ 给出 ${\gamma }_2=0.200/2=0.100$、${\gamma }_3=0.396/3=0.132$——非常数,说明”每层等错误”的一阶模型在此失效:层数加一的同时每层门数、分解深度与误差缓解强度都在变(该实验的硬件高效分解已把深度砍掉 30% 以上)。这恰好演示了维度 (i) 为何要求报告随 $n$ 的斜率而非孤立点值。错误注入实验补上了结构性证据:被查询路径保真度随注入错误以斜率 $-0.255$ 退化,而最远分支斜率仅 $-0.005$,相差约 50 倍——好分支/坏分支的不对称性(Hann 图景的分支局域性)在器件上直接可见。

中科大:单器件保真度 $\ne$ 网络保真度

单个量子路由器保真度 95.74%,即 $\epsilon =0.0426$ Zhang 2025。用 union bound 做一致性检查:两层网络若只有路由器错误,$1-F\le 2\epsilon =0.0852$,应得 $F\ge 0.915$;实测(擦除后选择)平均保真度 82.40%,即 $1-F=0.176$,是路由器-only 预算的约 2.1 倍,缺口 $\approx 0.09$ 只能来自态制备/测量、串扰与地址装载等非路由器错误。教学结论:单组件保真度是必要不充分指标,维度 (iv) 必须在网络层面用注入与后选择复核。

Di Matteo:物理比特的平均摊派

8 GB 存储 $=2^{36}$ bit $\approx 6.9\times 10^{10}$ bit;毫秒级查询需 $1.5\times 10^{15}$ 物理比特 Di Matteo 2020。平均摊派:$1.5\times 10^{15}/6.9\times 10^{10}\approx 2.2\times 10^4$ 物理比特/存储比特(含路由与辅助开销的平均口径)。乘上”全部 $O(N)$ 组件都需主动纠错”的计数(Arunachalam 等指出的激活门优势在纠错下消失 Arunachalam 2015),就得到 $10^{15}$ 量级——维度 (iii) 与 (vi) 的耦合正在这里。

能耗口径

每次查询耗散 $E_{\mathrm{query}}$ 分静态(空闲泄漏/维持)与动态(开关切换)两部分,按激活门数 $A$ 记账则 $E\propto \eta \cdot A$($\eta$ 为单次激活能耗,强依赖耗散模型)。Jaques–Rattew 的记账给出:大规模访问的能耗以指数速率失控,$2^{50}$ bit 规模约 1 kJ、$2^{80}$ bit 约 1 GJ 量级 Jaques-Rattew;与格密码筛选($2^{49}$–$2^{78}$ bit QRACM 需求)对照后,能耗是密码分析级应用最硬的一条约束(完整口径与经典-量子对照见成本口径)。

指标间的牵制:单维冠军为何误导

六个维度构成互相牵制的约束网,每个维度都有自己的”单维冠军”:

• 深度冠军 fanout: 电路深度 $O(\log N)$ 最浅,但激活门数为 $N$,union bound 要求 $\epsilon =O(2^{-n})$,Hann 记账下不保真度 $\sim N\log N$ Hann 2021——噪声维度垫底。
• T-depth 冠军 QRAM_poly: T-depth $O(\log \log N)$ 指数级优于 bucket-brigade 的 $O(\log N)$(T-count $O(N-\log N)$、比特数 $O(N)$ 相当),代价是 CNOT 数恶化到 $O(N^{1.6})$ Mukhopadhyay 2025——非 Clifford 货币与 Clifford 货币不可互换。
• 后选择保真度冠军 3D 腔: 双轨编码的后选择不保真度极低,但成功率以 Hz 计($n=8$ 双轨仅 0.013–2.2 Hz Weiss 2024)——对需要 $\sqrt{N}$ 以上次查询的算法(如 Grover),有效查询速率 $=$ 成功率 $\times$ 吞吐 才是可用的第四维换算。
• 带宽冠军 Fat-Tree: $16N$ 比特支持 $\log N$ 路独立查询、摊销时延 8.25 层 Xu 2025;并行引入的新问题是每路保真度是否随路数退化,Fat-Tree 的答案是在现实参数下保持速度与保真度的理想标度。
• 口径冠军被动/主动: “激活门少”的红利属于电路口径;外部干预次数与能量口径下主动性质疑仍在(Jaques–Rattew 的 $\Omega (N)$ 干预下界 Jaques-Rattew),资源态工厂把在线干预 Clifford 化、把批量制备推给离线 Cesa 2026,是把一个维度的欠账转移到另一个维度的典型操作。

因此只报最好一维的方案宣称应默认不完整;本站各词条的对比均按此多维口径展开(见查询语义、桶队架构、Fat-Tree QRAM、一般噪声下的韧性)。

汇报清单

维度	度量口径	典型报告形式
(i) 保真度标度	秩一保真度,不保真度随 $\log N$ 的斜率	上界式 $4\epsilon T\log N$ 或拟合指数 $\alpha$
(ii) 深度/时间	单查询深度、摊销时延、T-depth	”$O(n)$ 层""8.25 层""13 ms”
(iii) 物理资源	逻辑/物理比特、T-count、CNOT 数	”$1.5\times 10^{15}$ 物理比特 @ 8 GB”
(iv) 噪声表现	支路依赖斜率、注入与后选择测量	”$-0.255$ vs $-0.005$""82.40%“
(v) 带宽并行	并行路数 $\times$ 单路速率 $\times$ 每路保真度	”$\log N$ 路独立查询 @ $16N$ bit”
(vi) 容错接口	纠错附加资源、横向性、在线门集	Clifford 化 / 异构码距 / 蒸馏–传态

延伸阅读

• QRAM 总览
• 成本口径:激活门、干预与能量
• 噪声韧性
• Clifford 容错接口
• 桶队架构
• 误差局域化
• Fat-Tree QRAM