容错资源红线

Di Matteo 等把 bucket-brigade 电路族完整嵌入表面码核算,给出"容错电路式 QRAM 在实用尺寸下不可行"的红线数字,它后来成为全部专用器件方案的动机。

核算对象与口径

Di Matteo、Gheorghiu、Mosca 把多族 QRAM 查询电路——串行/并行 bucket-brigade、大深度小宽度、大宽度小深度、k-分层混合电路——完整嵌入表面码(surface code)容错框架,给出量子比特–时间权衡曲线 Di Matteo 2020。成本度量取

$$C={\log }_2(\text{逻辑比特数}\times \text{表面码周期数}),$$

即逻辑比特数与表面码周期数乘积的对数;嵌入表面码之前还有一道”粗估”口径

$$C_{\mathrm{rough}}={\log }_2(N_Q\times T_d),$$

$N_Q$ 为电路逻辑比特数、$T_d$ 为 T 深度。为何拿 T 深度当时间代理?非 Clifford 的 T 门是最贵的成本:每个 T 态都要由独立的表面码蒸馏厂(distillery)离线产出,电路时钟由”工厂多快供上下一层 T 态”决定 Di Matteo 2020。论文按平均 T 宽度

$$T_w=\frac{T_c}{T_d}(T_c\text{为 T 总数})$$

工厂配置取”恰好供上每层 $T_w$ 枚 T 态”的时间最优假设;工厂愈多,时间愈短而面积愈大,可按资源调节。三个口径限定:这是用通用容错电路实现 QRAM 操作的成本基准,不是专用 QRAM 器件本身的容错成本;核算对象是”孤立 QRAM 电路的大量重复查询”,不含针对具体数据的电路综合优化;隐式电路按最坏情形取”约半满”存储器($q=n-1$,见稀疏交叉点一节)。论文另给出开关机判据:算法单元操作耗 $c_A$ 个码周期、初始化与复位共耗 $c_i+c_t$ 个周期,孰大决定查询间隙”关机”还是”常开”;这笔账只在 $N_Q\gg N_A$(存储远大于算法寄存器)时值得算——“QRAM 主导资源”由此首次获得定量表述 Di Matteo 2020。

推导一:四族电路的逻辑账

Toffoli 分解的三档菜单与成本函数的裁决

桶队电路只含 CNOT 与 Toffoli,Toffoli 在 Clifford+T 下有三档标准实现:零辅助比特($T$-depth 3)、一辅助比特($T$-depth 2)、四辅助比特($T$-depth 1)。三档 T-count 同为 7(四辅助比特版取 Selinger 的 $T$-depth-1 分解:7 T、T-depth 1、16 CNOT、电路深度 7),差别只在辅助比特与 T 深度之间兑换。论文用 $C_{\mathrm{rough}}$ 逐一比较后断言四辅助比特版恒为最优:辅助比特可在相邻 Toffoli 间复用、摊销后每门只占常数份,而 T 深度是全局串行账,每多一层全电路都多付一层周期。“T-depth 为 1 的 Toffoli 分解(T-count 7)恒为最优选择”由此而来,它是全文所有账目的公共前提 Di Matteo 2020。

串行与并行桶队:从 $3\cdot 2^n-4$ 个 Toffoli 到 $8\cdot 2^n$ 个逻辑比特

串行版取 Arunachalam 等的电路(存储静态放在寄存器中,查询电路本身与数据无关):$n$ 位地址的全可逆查询 = 地址扇出 + 总线读出 + 逆序扇出,合计 $3\cdot 2^n-4$ 个 Toffoli(本词条量级核对:$2(2^n-1)+2^n=3\cdot 2^n-2$,与论文精确值差一个边界常数)。每个 Toffoli 电路深度 7,于是

$$\underset{\text{深度}}{\underbrace{D=21\cdot 2^n+2n-26}}\approx \underset{=T_c=21\cdot 2^n-28}{\underbrace{(3\cdot 2^n-4)\times 7}}+\underset{\text{扇出与边界 CNOT 层}}{\underbrace{2n+2}},$$

即”深度 ≈ 门数 × 单门深度”:串行调度下每层至多一个 Toffoli,$T_d$ 也等于 Toffoli 总数 $3\cdot 2^n-4$。逻辑比特 $N_Q=n+2^{n+1}+5$(地址 + 扇出树 + 总线/输出;静态存储寄存器计在外)——“小宽度大深度”的极端,$n=36$ 时 $T_d\approx 2.1\times 10^{11}$ 层。

并行版把串行病根拆掉:先把地址比特复制到辅助寄存器,使扇出层的 Toffoli 全部并行;再添一个 $2^n$ 比特的偶宇称叠加寄存器(even-parity superposition)收集全部读出 Toffoli 的结果,用 CNOT 算出宇称——该寄存器在查询后仍保持叠加,免去逐门 uncompute,其制备成本对数深度、只付一次而摊销忽略。账目合并为 Di Matteo 2020

$$N_Q=8\cdot 2^n,D=16n-5,T_c=21\cdot 2^n-28,T_d=2n-1.$$

三个数字各有出处。宽度 $8\cdot 2^n$ 逐项可数(本词条拆解):扇出树 $2^{n+1}-1$、存储 $2^n$、并行 Toffoli 辅助 $4\cdot 2^n$(最宽一层的 Toffoli 数 × 每门 4 辅助比特)、偶宇称寄存器 $2^n$,合计恰为 $8\cdot 2^n+O(n)$——全部额外宽度都付给”最宽一层同时开工”。深度 $16n-5=8\times (2n-1)+3$(本词条重构):每个 T-depth 层 = 深度 7 的 Toffoli 块 + 1 层间隔,共 $2n-1$ 层,首尾再添 3 层。T 深度 $2n-1$:扇出 $n-1$ 层加读出 $n$ 层。并行化没有省一个 T($T_c$ 不变),它把 $T_d$ 从 $3\cdot 2^n$ 压到 $2n$:$C_{\mathrm{rough}}$ 的指数从 $2n$ 降到 $n$ 量级——粗糙成本省出一整个 $2^n$。

隐式电路:MPMCT 的逐门账

隐式电路把”1 的位置”直接编译进电路:含 $2^q$ 个 1 的表对应 $2^q$ 个混合极性多控制 NOT 门(mixed-polarity multiple-controlled Toffoli,MPMCT)。取 Abdessaied 等的优化分解:$n$ 控 NOT 用 $n-2$ 个辅助比特化成 $4(n-2)$ 个 Toffoli 的级联,并启用 Selinger 式相位并行化,单门账为 Di Matteo 2020

$$D=28n-60,T_c=12n-20,T_d=4(n-2),{\mathrm{CNOT}}_c=24n-40.$$

三个交叉检验(本词条核对):$28n-60=7\times 4(n-2)-4$,即每 Toffoli 深度 7、首尾省 4 层;$T_d=4(n-2)$,级联逐门串行、每门 T-depth 1;$T_c=12n-20$ 平摊到 $4(n-2)$ 个 Toffoli,平均每门约 3 个 T——低于独立 Toffoli 的 7 T 价,因为级联里的受控相位门共享 T 资源。辅助比特用完即复位、全程复用,两族隐式电路的总账只差调度:

$$\text{小宽度大深度(串行)}:N_Q=2n,T_d=2^{q+2}(n-2),C_{\mathrm{rough}}\sim n^2{2}^q;$$ $$\text{大宽度小深度(并行)}:N_Q=n{2}^{q+1}+1,T_d=4(n-2),C_{\mathrm{rough}}\sim n^2{2}^q.$$

并行实现与桶队同构:地址经对数深度级联复制 $2^q$ 份、$2^q$ 个 MPMCT 同时开工、偶宇称寄存器免 uncompute;深度 $D=28n+3q-58$。

四族账目的读法:成本函数故意对权衡失明

把两张表的 $C_{\mathrm{rough}}$ 算出来(本词条计算):

$n$	电路族	$N_Q$	$T_d$	$C_{\mathrm{rough}}$(比特)
15	并行 BB	$2.62\times 10^5$	29	22.9
15	大宽度小深度	$9.83\times 10^5$	52	25.6
15	小宽度大深度	30	$8.52\times 10^5$	24.6
36	并行 BB	$5.50\times 10^{11}$	71	45.1
36	大宽度小深度	$2.48\times 10^{12}$	136	48.3
36	小宽度大深度	72	$4.65\times 10^{12}$	48.3

读法有三层。其一,大宽度与小深度两族的 $C$ 在 $n=36$ 只差 0.02 比特,而两端物理实现差约 7 个数量级的比特($2.8\times 10^5$ 对 $7.1\times 10^{15}$)与 7 个数量级的时间(2.4 年对 4.35 ms)——乘积取对数后,“空间换时间”的互换被完全抹平。$C$ 的用途因此不是给单一电路排名,而是回答”哪个族在乘积意义上最省”:并行 BB 恒比两个隐式电路便宜 2–3 比特,这就是”半满存储器下并行桶队最优”的精确含义;两端的差距见论文 Figure 7 的二维散点图。其二,串行与并行桶队差约 30 比特($n=36$ 时 75.2 对 45.1)——“并行化省出一个 $2^n$“的具体值。其三,k-分层混合电路在两族之间插值:上层对前 $k$ 位、下层对余下 $n-k+1$ 位各做一组 MPMCT,辅助比特取两层较大者;完全并行时成本随 $k$ 先降后升,极小点满足 $k\approx n-\log n+o(\log \log n)$(论文对 $n=36,q=35$ 求得 $k\approx 31.4$,与图上 $k=31$ 的极小吻合)——与下一节稀疏交叉点是同一个公式,因为两者都在数”复制地址到什么深度才开始划算” Di Matteo 2020。

推导二:从码距平方律到 $1.5\times 10^{15}$ 的逐项拆解

第一步:union bound 定逻辑错误预算

表面码嵌入把”电路”变成”逻辑位置的总和”:一次查询中每个逻辑门、每个逻辑比特的每个码周期都是一次可能出错的逻辑事件。设单逻辑操作错误率为 ${\epsilon }_L$,对 $L$ 个逻辑位置用 union bound(联合界;与 评价指标 的通用证明同一条),整支查询的失败概率

$$p_{\mathrm{fail}}\le L{\epsilon }_L.$$

并行桶队的 $L$ 由门数主导:$L\approx T_c+{\mathrm{CNOT}}_c=(21+54)\cdot 2^n=75\cdot 2^n$($n=36$ 时 $5.16\times 10^{12}$;$n=15$ 时 $2.46\times 10^6$)。取单查询预算 $p_{\mathrm{fail}}\le \delta =1\%$,得

$${\epsilon }_L\le \frac{\delta }{75\cdot 2^n}⟹{\epsilon }_L(n=15)\le 4.1\times 10^{-9},{\epsilon }_L(n=36)\le 1.9\times 10^{-15}.$$

规模越大、每逻辑门越不许出错:预算随 $2^{-n}$ 指数收紧。

第二步:码距公式与平方律

表面码的逻辑错误率按码距 $d$ 双指数压低,沿用本站各词条的参数化(同 Clifford 化容错接口 的口径)

$${\epsilon }_L(d)\simeq 0.1{\Lambda }^{-(d+1)/2},\Lambda =\frac{{\epsilon }_{\mathrm{th}}}{\epsilon }\text{为质量因子(quality factor)}.$$

联立两式解出最低码距

$$d(n)\ge 2{\log }_{\Lambda }\left(\frac{0.1\cdot 75\cdot 2^n}{\delta }\right)-1=\frac{2}{\ln \Lambda }(\ln 75+n\ln 2-\ln \delta )-1:$$

码距随地址位数只按对数爬升(每加一位地址,$d$ 至多加 $2\ln 2/\ln \Lambda$ 个单位),但物理面积按平方响应。缺陷对(defect pair)编码下每逻辑比特占 $c{d}^2$ 个物理比特($c$ 为打包系数,量级 2–3:计综合征比特与辅助区的惯例取 $c\approx 2$–$3$;多项式编码 QRAM 推导五的核算用 $c=2.5\times 1.25=3.125$)。于是红线的核心公式(本词条推导):

$$\boxed{W(n)\approx \underset{\text{逻辑比特}{N}_Q}{\underbrace{2^{n+3}}}\times \underset{\text{每逻辑比特物理面积}}{\underbrace{cd(n{)}^2}}(+\text{蒸馏楼层})}$$

乘积被 $2^n$ 主导。用论文表格反推 $d$(本词条重构,取 $c=3.125$):物理比特 ÷ $N_Q$ 再开方即有效码距——

$n$	电路族	每逻辑比特物理开销	反推 $d$
15	并行 BB	1102	19
15	大宽度小深度	594	14
15	小宽度大深度	1410	21
36	并行 BB	2728	28–30
36	大宽度小深度	2848	30
36	小宽度大深度	3889	35

反推的码距阶梯 $14\to 19\to 21$($n=15$)与 $30\to 30\to 35$($n=36$)随规模与运行时长单调爬升,且把 $\Lambda$ 反解回来(本词条核对):$n=15$、$d=19$ 给 $\Lambda \approx 5.5$,$n=36$、$d=28$ 给 $\Lambda \approx 8.8$——两个规模共用一个 $\Lambda \approx 6$–$9$,重构自洽。

第三步:质量因子的敏感三角

同一框架换个 $\Lambda$,总账立刻摆动(本词条估算,$n=36$ 并行桶队、$\delta =1\%$):

$\Lambda$	$d$	每逻辑比特($3.125d^2$)	数据面 $=N_Q\times$ 面积
2(悲观)	91	$2.59\times 10^4$	$1.42\times 10^{16}$
6–9(反推有效值)	28	$2.45\times 10^3$	$1.35\times 10^{15}$
100(乐观)	13	528	$2.90\times 10^{14}$

三个 $\Lambda$ 给出相差约 50 倍的总账,论文的 $1.5\times 10^{15}$ 恰落在反推值附近。读法:红线对 $\Lambda$(即成本模型常数)极端敏感,对 $2^n\times d^2$ 的结构完全稳健——无论取哪一档,$W$ 都被 $2^n$ 钉死在”逻辑比特 × 千级面积”的量级上;常数会动(见成本模型的时代演进一节),结构不动。

第四步:蒸馏楼层与 $1.5\times 10^{15}$ 的完整账单

工厂须每层供给 $T_w=T_c/T_d$ 枚 T 态:$n=36$ 并行桶队 $T_w=(21\cdot 2^{36}-28)/71\approx 2.03\times 10^{10}$ 枚/层。借 多项式编码 QRAM 推导五同一代资源估算的单厂常数(两级蒸馏、每厂 18750 物理比特、每 150 码周期约出 2 枚;两文同属 Fowler 谱系,常数级别可比)作锚点(本词条重构):每层需 $\approx 1.0\times 10^{10}$ 座工厂并跑,蒸馏楼层

$$1.0\times 10^{10}\times 18750\approx 1.9\times 10^{14}\text{物理比特}\approx \text{总额的 }13\%.$$

数据面占余下的大头:$8\cdot 2^{36}=5.50\times 10^{11}$ 逻辑比特 × $3.125\times 28^2\approx 2450$/逻辑 $\approx 1.35\times 10^{15}$。两行合计

$$\underset{\text{物理比特}}{\underbrace{1.50\times 10^{15}}}\approx \underset{\begin{array}{c}\text{逻辑比特}\\ 5.50\times 10^{11}\end{array}}{\underbrace{8\cdot 2^{36}}}\times \underset{\begin{array}{c}\text{每逻辑比特}\\ d\approx 28\end{array}}{\underbrace{3.125d^2}}+\underset{\text{蒸馏楼层}\approx 13\%}{\underbrace{1.9\times 10^{14}}},$$

三行账闭合到论文数字的百分之几,也解释了论文自注”总成本因蒸馏厂需要大量逻辑比特而显著抬高” Di Matteo 2020:工厂占比随”T 态消耗 ÷ 数据面宽度”摆动(QRAM_poly 的同类核算里高达 88%,见 多项式编码 QRAM 推导五;此处约一成多),但两行谁都不可能省掉——前者是 $\Theta (2^n)$ 宽度,后者是 $2^{-n}$ 精度预算的必然代价。

推导三:时间轴——码周期账与蒸馏节拍

总码周期数 $=$ 查询墙钟 ÷ 码周期 $200\mathrm{ns}$;再除以 $T_d$,得每层 T 深度的节拍 $\sigma$(本词条重构,输入全部来自论文表格):

$n$	电路族	$T_d$	总码周期	$\sigma$(周期/层)
15	并行 BB	29	1 740	60
15	大宽度小深度	52	3 120	60
15	小宽度大深度	851 968	$3.93\times 10^7$	46
36	并行 BB	71	10 650	150
36	大宽度小深度	136	21 750	160
36	小宽度大深度	$4.65\times 10^{12}$	$3.78\times 10^{14}$	81

两处规律。其一,同一 $n$ 下两个”快族”的 $\sigma$ 几乎相等(60/60 与 150/160):查询时间确由 T 态供给节拍主导,Clifford 层(每 T 层间约 8 层、每层 1 周期)只占零头——验证了”T 深度当时间代理”的设计。其二,$\sigma$ 从 $n=15$ 的约 60 涨到 $n=36$ 的约 150:电路越长、单枚 T 态的精度要求越苛,蒸馏厂码距随之加大、单枚产出周期变长——论文”凸起对应蒸馏厂码距增大”的注记 Di Matteo 2020 正是这条爬升的阶梯版。小宽度大深度一族 $\sigma$ 偏小(46–81):每层只需约 3 枚 T 态($T_w\approx 3$),工厂小而省,代价是 $T_d$ 天文——4 KB 表 7.86 s、8 GB 表 $7.55\times 10^7$ s(约 2.4 年)。

推导四:比特–时间权衡曲线与混合电路

把各族端点画在”物理比特–查询时间”平面上,即论文 Figure 7 的权衡曲线:从小宽度大深度(千万级比特、年级时间)经混合电路到大宽度小深度与并行桶队($10^{15}$ 级比特、毫秒时间)。曲线由混合电路参数 $k$ 扫出:$k$ 从 4 到 32,$n=36$ 的端点在 $k\approx 31$ 达到面积极小,两侧偏贵(小 $k$ 串行主导、大 $k$ 复制主导)。极小点的解析位置(论文推导)来自两层辅助比特的平衡:并行执行时第一层需 $(k-1)2^k$ 个辅助比特、第二层需 $(n-k)2^q$ 个,取较大者;$q=n-1$ 时极小在

$$k\approx n-{\log }_{2}n+o(\log \log n),$$

$n=36$ 给 $k\approx 31.4$。直觉:复制到第 $k$ 层是把”逐位检查”的串行账换成”指数多副本”的并行账,停止点在”省下的深度抵不上翻倍的副本”处。论文还分析了 SelectSwap 电路(参数 $\lambda$ 类似 $k$,最优取 $\mathcal{O}(\sqrt{N/b})$),并提醒逻辑级节省未必完整平移到容错层——跨码借用 dirty qubit 可能得不偿失 Di Matteo 2020(电路级并行化的完整账目见 电路级优化)。

稀疏–稠密交叉点

对”1 的个数”为 $2^q$ 的稀疏存储器,隐式电路与显式(桶队)电路的粗糙成本分别为 $n^2{2}^q$ 与 $n{2}^n$ 量级(推导一);令两者相等:

$$n^2{2}^q\sim n{2}^n⟹2^q\sim \frac{2^n}{n}⟹q_{\max }\approx n-{\log }_{2}n.$$

比这更空的存储器用隐式电路更省。数值核对(本词条核对):$n=36$ 给 $q_{\max }=36-5.17=30.8$,论文的表面码版本曲线给出的交叉点恰在 $q\approx 31$,与解析式吻合;曲线上随 $q$ 减小的台阶,对应 MPMCT 尺寸变小时蒸馏厂码距的下调。两条边界须画清:其一,隐式电路要求预先知道 1 的位置,数据库一变就要重编译——这是与显式电路”编译一次、内容随意”的本质交换;其二,半满($q=n-1$)是最坏情形,1 比 0 多时可改检 0 的位置,随机数据库恰好落在最坏点 Di Matteo 2020。QROM 类电路的口径边界见 边界:qROM 电路与 QROM 模型。

数值算例:两张总账

算例 A:4 KB($n=15$)并行桶队。 逻辑比特 $N_Q=2^{18}=262144$;T 总数 $T_c=688080$,每层供 $T_w\approx 2.37\times 10^4$ 枚;$T_d=29$ 层,每层节拍 60 周期,合计 $1740\times 200\mathrm{ns}=0.348$ ms;物理比特 $2.89\times 10^8$,每逻辑比特 1102($d\approx 19$)。验算:$262144\times 1102\approx 2.89\times 10^8$ ✓。

算例 B:8 GB($n=36$)并行桶队。 逻辑比特 $5.50\times 10^{11}$;逻辑门 $5.16\times 10^{12}$/查询,预算 $1.9\times 10^{-15}$;码距 $d\approx 28$;数据面 $1.35\times 10^{15}$ + 蒸馏楼层 $1.9\times 10^{14}\approx 1.5\times 10^{15}$ 物理比特;$71$ 层 × 150 周期 × 200 ns $=2.13$ ms。逐行拆解见推导二。

算例 C:红线 vs 同期旗舰算法整机(量级对照,本词条估算)。 同时期 Gidney–Ekerå 的 RSA-2048 分解资源估计(“2000 万噪声比特、8 小时”)属 Jaques–Rattew 综述归类的”预计算查表”式 QRACM 用例 Jaques–Rattew 2025。做除法:8 GB 红线的 $1.5\times 10^{15}$ 是分解整机 $2\times 10^7$ 的 7.5 万倍;4 KB 端点经 lattice surgery(部分情形省 4–5 倍 Di Matteo 2020)折到 $6.4\times 10^7$,仍约等于三台分解机——查一张 4 KB 的表,比分解 RSA-2048 还贵:容错口径下”存储”是天价资源,任何把 $\Theta (N)$ 相干组件摆上台面的方案都要先过这一关。

关键数字

表面码参数取论文自称”乐观”的值:态注入错误 $p_{\mathrm{in}}=10^{-4}$、门错误 $p_g=10^{-5}$、码周期 200 ns。

规模	电路族	物理比特	查询时间
4 KB($n=15$)	并行 BB	$2.89\times 10^8$	0.348 ms
4 KB	大宽度小深度	$5.84\times 10^8$	0.624 ms
4 KB	小宽度大深度	$4.23\times 10^4$	7.86 s
8 GB($n=36$)	并行 BB	$1.50\times 10^{15}$	2.13 ms
8 GB	大宽度小深度	$7.06\times 10^{15}$	4.35 ms
8 GB	小宽度大深度	$2.80\times 10^5$	$7.55\times 10^7$ s(约 2.4 年)

结论原文直言:现代 RAM 查询 10–20 ns,要达到该速度”需要运行速度的重大进展以及天文数字的比特数”;lattice surgery 可再省 4–5 倍,但对 $10^{15}$ 量级无济于事。作者不预期这类规模的电路式容错 QRAM 在可见的未来变得可行 Di Matteo 2020。多次查询的算法免不了纠错、从而免不了这套核算的前提,由 Arunachalam 2015 的负结果背书(见 噪声韧性之争)。

红线的意义:与同期算法资源估计对读

“QRAM 是否被系统性高估?”要拆成两问。第一问:红线数字本身是不是高估?方向上是——三重上界的叠加:最坏情形(半满、无结构、无电路优化)、均匀码距(全部 $\mathrm{poly}(N)$ 个位置按最坏处配同码距)、第一代成本模型(缺陷码、200 ns 周期、纯蒸馏供 T)。但骨架 $W\sim 2^n\times d^2$ 不是假设,是”线性宽度 × 平方码距”的算术必然,后续方案都绕不开。

第二问:红线针对的问题,算法界还要不要?答案是绕开。Jaques–Rattew 综述盘点:最先进的分解与化学算法已改为”经典预计算 + QRACM 查表”,表规模仅 $2^{15}$–$2^{25}$ 比特,Shor 的窗口化椭圆曲线点加全程只查约 17 次 QRACM;即便”廉价 QRACM”从天而降,分解类算法也无显著改善(每张表本就要 $\Omega (N)$ 经典预处理),量子化学也只省多项式因子 Jaques–Rattew 2025(机会成本论证见 机会成本定理 与 去量子化)。红线的正确读法是一组条件句:全尺寸通用电路式 QRAM(8 GB、毫秒、通用纠错)不可行;小表查表($2^{15}$–$2^{20}$)在红线”可行端”勉强可议;要更快更省,必须换器件或换容错方案。4 KB 端点经 lattice surgery 折到 $10^7$–$10^8$、与小型容错量子计算机同域——这正是后续专用方案聚焦中小规模的原因。

红线的松动:Hann 2021 之后

红线假定纠错以”均匀码距 + 实时恢复”包裹整个电路。Hann 等的韧性定理改写了这个前提:桶队结构纠错后依然成立,逻辑级满足同型界

$$1-F_L\le 4{\epsilon }_L{T}_L\log N$$

(Hann 2021;完整证明见 噪声韧性)。含义是:错误按”逐分支份额 $2^{-\ell }$“而非”最坏位置均一”摊派——码距不必全树均一。本词条算到 $n=36$(估算,站内 $\Lambda =2$ 口径、$\delta =1\%$、$T_L=71$):${\epsilon }_L\le 10^{-2}/(4\times 71\times 36)\approx 9.8\times 10^{-7}$,解出 $d\approx 33$,对照均匀账的 $d\approx 91$(推导二第一步同口径),每逻辑比特面积省约 7.6 倍,且随 $n$ 增长。工程化的下一步是按层变码距:近根强纠错、近叶轻纠错,任意尺寸查询的不保真度压到常数,物理比特约 $82N$–$192N$ Singal 2025——$n=36$ 即 $5.6\times 10^{12}$–$1.3\times 10^{13}$,比红线低 2–3 个数量级(方案与推导见 异构纠错 QRAM)。

第二条松动线把非 Clifford 成本移出关键路径:资源态 QRAM 把查询 Clifford 化,在线 T 计数归零、码距只随 $\log \log N$ 增长,$n=36$ 的本站估算约 $9\times 10^{14}$ Cesa 2026(与红线的逐项对账表见 Clifford 化容错接口,架构见 资源态 QRAM)——量级未破,但”魔态楼层坐在关键路径上”的结构性困难已拆除,失败可预告、可丢弃。第三条线在电路内部:QRAM_poly 把 $n=36$ 压到 $4.18\times 10^{14}$ 物理比特、单次读写 $4.2\times 10^{-4}$ s Mukhopadhyay 2025(见 多项式编码 QRAM 推导五),仍在同一量级。第四条线换轴:蒸馏–传态协议允许器件保真度低至 $1/\mathrm{poly}(n)$,把指数代价转记到经典侧 Dalzell 2025(见 蒸馏–传态协议)。四条线的公共点:红线在松动,但没有一条把 8 GB 级账目打回 $10^{12}$ 以下——“必须走专用器件与专用容错”的方向性结论未变。

成本模型的时代演进

需要注明:上述红线基于 2018–2020 年代的表面码成本假设(传统魔态蒸馏、defect-based 表面码、200 ns 码周期)。Google 的 FLASQ 成本模型(2025)代表新一代核算——流体式辅助比特时空、魔态 cultivation、反应时间约束、QEC+QEM 混合——同类容错任务的成本估计已被压低一个数量级以上 Huggins 2025。FLASQ 本身通篇不涉及 QRAM,只能作为方法学参照;但它的存在意味着容错 QRAM 资源数字有必要按新模型重估。红线在松动,“必须走专用器件与专用容错”的方向性结论则未变。推导二的敏感三角提示:标度 $2^n\times d^2$ 比任何一组常数都耐用。

边界与讨论

这套核算回答什么、不回答什么。它回答:给定 Clifford+T 电路族与第一代表面码流水线,查询操作的最小资源量级。它不回答:专用物理器件(混合声学、3D 腔、里德堡 EIT 等,见 硬件全景)的容错成本——那些组件不在 Clifford+T 电路里,红线的 $2^n\times d^2$ 只约束它们的”逻辑模拟版”;也不回答免纠错查询的可行性——Hann 韧性定理给出的正是”何时可以不进这套核算”的判据(多项式次查询、$\epsilon T\log N\le 1/4$,见 噪声韧性 与 误差局域化)。

引用纪律。表 2 的数字绑定”乐观”参数($p_{\mathrm{in}}=10^{-4}$、$p_g=10^{-5}$、200 ns)与”半满最坏情形”;$C={\log }_2(\text{逻辑}\times \text{周期})$ 是乘积口径,不能当作时间或面积的单独估计;“蒸馏厂按需全并行”是时间最优假设,资源受限时面积与时间按比例互换 Di Matteo 2020。标注”重构/估算”的部分(码距反推、$\Lambda$ 三角、蒸馏楼层占比、节拍表)是从论文已公布数字反向核账,非论文逐项公布;四本账口径见 成本口径:激活门、干预与能量。

延伸阅读

• 蒸馏–传态协议
• 异构纠错 QRAM
• Clifford 化容错接口
• 电路级优化
• 一般噪声下的韧性
• 多项式编码 QRAM
• 资源态 QRAM