QRAM 模拟器

QRAM 电路"可高效经典模拟"本身是个非平凡性质:它既是噪声韧性理论的验证工具,也是大规模评估与算法开发的基础设施。

机制回顾:为什么 QRAM 电路可以被经典模拟

ECS 操作的形式定义

Hann 等把”能被经典计算机高效处理”的操作形式化为高效可计算稀疏(efficiently computable sparse, ECS)操作 Hann 2021:设寄存器共 $Q$ 个量子比特,若输入态可写成

$$|\psi ⟩=\sum _{x\in S}{\alpha }_x|x⟩,|S|=\mathrm{poly}(N),$$

其中基态集合 $S$ 与振幅 ${\alpha }_x$ 都能在多项式时间内被经典计算机枚举/求值,且操作本身在经典机上多项式时间可实现,则称该操作对这类态是 ECS 的。

置换结构:稀疏度只减不增

QRAM 查询电路只含 SWAP/CSWAP。对计算基,SWAP 是对换 $(x,y)\mapsto (y,x)$;CSWAP 在控制位为 0 时恒等、为 1 时对换——无论控制位取什么值,每个门在计算基上都是一个置换 ${\pi }_g$。$T$ 层电路的酉算子是置换的复合 $U={\pi }_T\cdots {\pi }_1$,仍是一个置换:

$$U|x⟩=|\pi (x)⟩.$$

作用于稀疏态,逐振幅只需更新基态标签:

$$U|\psi ⟩=\sum _{x\in S}{\alpha }_x|\pi (x)⟩,$$

每操作成本 $O(|S|)$,与总希尔伯特空间维数 $2^Q$ 无关。更关键的是:置换不分裂振幅——一个基态永远只映射到一个基态,不会变成叠加。因此稀疏度沿电路单调不增:$|S(t)|\le |S(0)|$。这是 QRAM 与一般量子电路的本质分界:一般电路里的 Hadamard 一步就把稀疏度翻倍,$T$ 层后稀疏度可达 $\min (|S|2^T,2^Q)$,ECS 性质荡然无存。

输入侧的稀疏性来自查询语义:地址处于叠加 ${\sum }_b{\alpha }_b|b⟩$($B$ 个地址),bus 与输出寄存器处于基态。于是任意时刻全态为

$$|\Psi ⟩=\sum _{b:\text{活跃}}{\alpha }_b|b⟩\otimes |D_b⟩\otimes |R_b⟩,$$

其中 $|D_b⟩$ 是该分支的数据基态,$|R_b⟩$ 是路由寄存器的乘积态——BB 路由中每条分支只激活自己路径上的 $O(n)$ 个节点,其余处于等待态(桶队架构)。振幅数 $O(B)$、每分支需显式存储的路由自由度 $O(n)$,单次模拟(一条噪声轨迹)的成本为 $O(BnT)$。

比特数账:稠密模拟为何早早出局

BB 装置的总比特数:数据 $N$ + 路由器 $(N-1)$ 个 qutrit(按 2 量子比特编码)$2(N-1)$ + 地址 $n$ + bus,合计

$$Q\approx 3N+n=3\cdot 2^n+n.$$

稠密态矢量需 $16\cdot 2^Q$ 字节(复双精度),密度矩阵需 $16\cdot 4^Q$ 字节——后者是前者的平方,而含噪模拟恰恰绕不开混态。数值代入(本词条估算):

• $n=3$($N=8$):$Q\approx 27$,态矢量 $2^{27}\times 16\mathrm{B}\approx 2.1\mathrm{GB}$ 勉强可行;密度矩阵 $4^{27}\times 16\mathrm{B}\approx 2.9\times 10^{17}\mathrm{B}\approx 288\mathrm{PB}$,直接出局。
• $n=5$($N=32$):$Q\approx 101$,态矢量 $\sim 4\times 10^{31}\mathrm{B}$,出局。
• $n=10,20,36$:$Q\approx 3\times 10^3,3.1\times 10^6,2.1\times 10^{11}$,双指数 $2^{3\cdot 2^n}$ 已无法书写。

结论:含噪 QRAM 的模拟必须二选一——要么对噪声做蒙特卡洛采样,把混态拆成纯态轨迹;要么换掉”稠密振幅数组”这一表示本身。以下三节分别对应三条技术路线。

蒙特卡洛轨迹:Hann 框架的复杂度推导

Kraus 采样与无偏保真度估计量

任何 CPTP 信道可作 Kraus 分解 $\Lambda (\rho )={\sum }_k{p}_k{K}_k\rho K_k^{†}$,其中 $p_k\ge 0$、${\sum }_k{p}_k=1$,可解释为”以概率 $p_k$ 施加 $K_k$“。整条电路的噪声等价于在全部噪声位置抽取一条 Kraus 链 $(k_1,\dots ,k_M)$,每条链把理想演化接续成纯态

$$|{\psi }_{\mathrm{traj}}⟩\propto K_{k_M}\cdots K_{k_1}U|{\psi }_{\mathrm{in}}⟩.$$

混态输出 ${\rho }_{\mathrm{out}}$ 正是这些轨迹按概率的混合。对纯目标态 $|\varphi ⟩$(理想输出)的保真度做展开:

$$F=⟨\varphi |{\rho }_{\mathrm{out}}|\varphi ⟩=\sum _{k_1,\dots ,k_M}{p}_{k_1}\cdots p_{k_M}|⟨\varphi |{\psi }_{\mathrm{traj}}⟩{|}^2,$$

即单轨迹量 $\hat{F}=|⟨\varphi |{\psi }_{\mathrm{traj}}⟩{|}^2$ 的期望(本词条推导;采样式注入 Kraus 序列的做法出自 Hann 2021)。$\hat{F}$ 取值有界于 $[0,1]$,由 Hoeffding 不等式,$R$ 条轨迹以置信 $1-\alpha$ 达到加性精度 $\delta$ 只需

$$R\ge \frac{\ln (2/\alpha )}{2{\delta }^2}.$$

数值算例:$\delta =0.01$、$\alpha =0.05$ 时 $R=\ln 40/(2\times 10^{-4})\approx 1.8\times 10^4$ 条——与 $N$ 无关。这是”采样换维度”的第一重红利:混态的 $4^Q$ 维表示被 $R$ 个 $O(Bn)$ 成本的纯态轨迹替换,$R$ 只由统计精度决定。注意保真度是”对角型”观测量(只问输出与目标的交叠),天然适配轨迹平均;轨迹法不产出 ${\rho }_{\mathrm{out}}$ 的非对角块——这正是它省掉的东西,也是它的能力边界。

每轨迹成本与总量账

每轨迹成本 $O(Bn)$(稀疏度 $B$ 个振幅 × 深度 $T=O(n)$ 层的置换更新),总量 $O(BnR)$。文献锚点:原始模拟器做到 $n\le 12$ Hann 2021。本词条估算 $n=12$、全叠加查询($B=N=2^{12}=4096$):每轨迹 $Bn\approx 4.9\times 10^4$ 次振幅更新,乘 $R\approx 1.8\times 10^4$ 得 $\sim 10^9$ 次基本操作,单机秒级——与文献可及规模自洽。该模拟器验证的标度结论($\epsilon =10^{-4}$ 下三能级 ${\log }^{2}N$、双能级斜率 $\le 3$、amplitude damping 观测斜率 1.86)见一般噪声下的韧性;局域化的实验对照见误差局域化。

相干误差怎么办

韧性定理覆盖任意 CPTP 信道,包括相干错误;轨迹法对它的处理反而最简单。一个相干错误 $U_e=e^{-iϵH}$ 本身就是单元素 Kraus 分解($p=1$),按链采样时它退化为一次确定性的置换之外的酉更新——但注意这正是 ECS 假设发挥作用的地方:模拟器需要能对稀疏态执行这个酉。对 QRAM 电路,路由门的相干版本(如带相位误差的 CSWAP)仍作用在 $O(Bn)$ 个活跃振幅上;对等待态组件的相干漂移,则按 Hann 的分解归入坏分支、由好分支的加权比例吸收(证明见一般噪声下的韧性)。数值上文献以去极化与 amplitude damping 为代表信道验证标度;相干误差下 $1-F$ 会叠加出系统性相位偏差,轨迹平均同样无偏,只是不再有”每次错误独立洗牌”的方差结构,收敛行为依赖误差的具体取向(此句为本词条方法学注记,文献未单独给相干情形的模拟数据)。

Clifford 路线:网络化 QRAM 的事件驱动模拟

协议的 Clifford 性与 $O(m^2)$ 账

自旋–光子网络的传态式 QRAM(TD-QRAM,每层 GHZ 态 + Bell 测量写地址)的理想协议部分——GHZ 制备($H$ + CNOT)、CNOT 链、Bell 测量、Pauli 帧修正——全部落在 Clifford 群内 Bugalho 2023。按戈特斯曼–克尼尔定理(Gottesman–Knill theorem),这类电路可被经典高效模拟:纯态由其稳定子群(stabilizer group)唯一刻画,$m$ 比特态对应 $m$ 个独立生成元,排成 $(m+1)\times (2m+1)$ 的表(tableau);Clifford 门是对生成元的共轭置换,单门更新 $O(m^2)$,Pauli 测量 $O(m^2)$;内存 $O(m^2)$ 比特。与 $2^m$ 彻底无关,这就是 NetSquid 路线先以 $O(m^2)$ 稳定子模拟跑完整个路由协议的依据。本词条估算:$m=10^4$(对应下述有效区”约 $10^4$ 量子比特”),表占 $\sim 2m^2=2\times 10^8$ 比特 $\approx 25\mathrm{MB}$;即便 $G=10^4$ 个协议门,总更新 $\sim 10^{12}$ 比特操作也在单机小时级。

噪声的解析重构:一阶展开及其有效区

非 Clifford 的部分只剩”等待期间的退相干”与”含错 CNOT”。事件驱动仿真记录每个量子比特的退相干时长与含错 CNOT 位置,事后对稳定子态解析地施加局部信道。推导(本词条推导,教科书级展开):设每处噪声为小参数信道 ${\Lambda }_i=(1-{ϵ}_i)\mathrm{Id}+{ϵ}_i{\mathcal{N}}_i$。保真度对信道是线性的:

$$F({\Lambda }_i\circ {\Lambda }_{i-1}\cdots {\Lambda }_1)=(1-{ϵ}_i)F({\Lambda }_{i-1}\circ \cdots {\Lambda }_1)+{ϵ}_{i}F({\mathcal{N}}_i\circ {\Lambda }_{i-1}\circ \cdots {\Lambda }_1),$$

对 ${ϵ}_i\ll 1$ 逐项展开并归纳,得

$$1-F=(1-F_0)+\sum _i{ϵ}_i[1-F({\mathcal{N}}_i)]+O({ϵ}^2),$$

其中 $1-F_0$ 是协议理想部分的失真。等待时长 $t$ 的退相干贡献 $\approx t/T_2$,含错 CNOT 贡献 $\approx p_j(1-f_j)$,故

$$1-F\approx \sum _i\frac{t_i}{T_{2,i}}+\sum _j{p}_j(1-f_j):$$

不保真度按”每次噪声事件”线性记账,这正是事件驱动记录时长后可事后解析重构的原因。一阶展开要求总不保真度 $\ll 1$;当 $N$ 个组件各自贡献 $\epsilon$ 时即 $N\epsilon \lesssim 1$——与文献声明的有效区一致。数值:$10^4$ 个组件、单组件 $\epsilon =10^{-4}$ 时 $N\epsilon =1$ 已在边界;$\epsilon =10^{-5}$ 则 $1-F\approx 0.1$ 仍可用。

文献定量结论

与全密度矩阵对比(5 层 TD-QRAM)偏差小于 1%,近似在 $N\epsilon \lesssim 1$(约 $10^4$ 量子比特)内有效 Bugalho 2023。确定性核–电子 CNOT 主导不保真度,访问 128 量子比特 QRAM 需 CNOT 保真度约 99.9% 才能使访问保真度超过 90%。一致性检查(本词条推导):若平均每存储量子比特承担 $c$ 次确定性 CNOT,由上节记账 $128\cdot c\cdot {\epsilon }_{\mathrm{CNOT}}\lesssim 0.1$ 在 $c\approx 1$ 时给出 ${\epsilon }_{\mathrm{CNOT}}\lesssim 8\times 10^{-4}$——正是 99.9% 门槛的量级来源。据此提出的 TS-QRAM 改进:以概率性光子 CNOT(约 10 ns 量级,快于确定性核–电子 CNOT 约四个数量级)按类中继器二叉树顺序链接,混合方案把少量确定性节点集中于链接树高层(如 6.2% 确定性节点),在 ${\epsilon }_{\mathrm{CNOT}}=10^{-3}$、$T_2=100$ ms、CNOT 成功率约 70% 时,1024 个存储单元保真度仍高于 60%(器件背景见自旋–光子 QRAM)。

稀疏态与子树剪枝:误差局域化的算法化

分支分解表示

中科大团队的 QRAM-Simulator 把上节”逐分支乘积结构”直接做成数据结构:按分支(地址条件下的唯一路由路径)重组稀疏态,每分支只存 $O(n)$ 个活跃路径节点 Wang 2025。内存 $\sim 16\mathrm{B}\times Bn$。本词条估算全叠加查询($B=N=2^n$):

• $n=10$:$Bn\approx 10^4$ 个记录 $\approx 0.16\mathrm{MB}$;
• $n=20$:$Bn\approx 2.1\times 10^7$ 个记录 $\approx 335\mathrm{MB}$;
• $n=36$:$Bn\approx 2.5\times 10^{12}$ 个记录 $\approx 40\mathrm{TB}$(单机出局)。

$n=20$ 的 335 MB 与文献”20 层树(百万量级节点)在 <1 GB 内存内模拟”同量级(差额是实现开销)——这构成对表示复杂度 $O(Bn)$ 的独立一致性验证。

子树包含准则及其证明

剪枝基于子树包含准则:故障 $e=(\ell ,p)$($\ell$ 层节点 $p$)只影响地址区间

$$[2^{n-\ell }p,2^{n-\ell }p+2^{n-\ell }-1]$$

内的分支;区间外分支共享同一无噪树态、可整体跳过 Wang 2025。证明:二叉树上 $\ell$ 层节点由 $\ell$ 比特前缀标记;从 $p$ 出发可达的叶恰是”前 $\ell$ 位等于 $p$“的地址。把前缀 $p$ 读作 $\ell$ 位二进制整数,该集合就是以 $2^{n-\ell }p$ 为起点、连续 $2^{n-\ell }$ 个整数的区间。区间外的分支不经节点 $p$,其态演化与该故障无关——这是 Hann 误差局域化证明的算法化(误差局域化),把”错误限制在指数少分支”从定性引理变成可执行的地址区间测试。数值算例:$n=20$、$\ell =3$、$p=5$ 得 $[5\cdot 2^{17},6\cdot 2^{17}-1]=[655360,786431]$,恰 $2^{17}=131072$ 个地址。

采样增益:一个伸缩求和

剪枝把蒙特卡洛轨迹的期望工作量也压低了。设单个节点在一次查询中承受的噪声应用总概率为 $\epsilon$(多时间步按 $\epsilon \to \epsilon T$ 折算),则每轨迹的期望”分支更新”数为(本词条推导)

$$\sum _{\ell =1}^n\underset{\text{每层期望故障数}}{\underbrace{\left(\epsilon 2^{\ell }\right)}}\underset{\text{每个故障波及的分支数}}{\underbrace{\left(2^{n-\ell }\right)}}=\epsilon \sum _{\ell =1}^n{2}^n=\epsilon nN:$$

每层贡献恰为 $\epsilon N$——浅层故障”稀有而全局”、深层故障”常见而局部”,乘积与层无关。方差由浅层主导:$n=20$ 时一个根附近故障波及 $2^{19}\approx 5\times 10^5$ 个分支,这解释了为何实现上需要子树态共享/写时复制,而不是简单地逐故障重算。经验对照:128 核、512 GB 基准上,剪枝模式把噪声主导区的运行时间降至全模拟的约 20%、内存约 60% Wang 2025。该模拟器随即被用于误差过滤的大规模研究:高噪声或大地址尺寸下的抑制异常、把后选择概率纳入后的近确定性判据,见误差过滤。

少地址查询:期望工作量与 N 无关

误差过滤研究恰恰用得上”少地址”情形:EF 数值只查询 $B\ll N$ 个地址。此时伸缩求和还能再压一层:被查地址集 $S$ 均匀散布时,节点 $p$ 的子树与 $S$ 的期望交叠为 $|S|\cdot 2^{-\ell }$,于是

$$\sum _{\ell =1}^n\left(\epsilon 2^{\ell }\right)(|S|\cdot 2^{-\ell })=\epsilon n|S|,$$

期望工作量变为 $O(\epsilon nB)$——与 $N$ 无关,只随地址数线性走(本词条推导)。直觉:剪枝把”装置有 $N$ 个组件”这一事实从成本账里彻底删除了,剩下的只有”查询真正碰到的组件”。这正是同一个模拟器既能跑 $n=20$ 全叠加基准、又能扫误差过滤的尺寸–噪声参数网格的算力来源;两类负载的瓶颈从此分家——前者受内存 $16Bn$ 约束,后者受轨迹数与每轨迹 $O(nB)$ 更新约束。

算法侧与电路侧:SparQSim、Di Matteo 核算

SparQSim:理想化 oracle 的寄存器级模拟

SparQSim 走另一方向:把 QRAM 作为理想数据加载模块内置于寄存器级稀疏态模拟器——$U_{\mathrm{QRAM}}$ 直接访问经典内存,无噪声、不展开门电路 Sun 2025。基准上,20 比特 QRAM 电路(稀疏度 1 分支)只需 <10⁻⁴ s / 4.8 MB(Qiskit 为 0.1577 s / 221.7 MB),并支撑量子线性系统求解器的全流程模拟。注意口径:这里”20 比特”是数据装载电路的总比特数,不是 $2^{20}$ 个存储单元——SparQSim 模拟的是”以 QRAM 为 oracle 的算法”,而非 QRAM 装置本身。值得引用的是其自我批评:“以容错技术实现大规模 QRAM 可能并不现实,因为 T 门带来的指数级开销”——算法社区把 QRAM 当作单位成本 oracle 的惯性,正是成本评估的盲区(见oracle 假设谱系)。

稀疏表示在这里也有明确失效面:干涉型电路会让分支数爆炸。29 比特 QFT 达 $5.4\times 10^8$ 分支(恰为 $2^{29}$ 量级),退化为 $O(2^n)$。本词条换算其内存反超:稠密态矢量 $2^{29}\times 16\mathrm{B}\approx 8.6\mathrm{GB}$,而逐分支存储 $5.4\times 10^8\times 29\times 16\mathrm{B}\approx 250\mathrm{GB}$——分支记录的每分支 $O(n)$ 开销使内存反超通用模拟器约 29 倍。

Di Matteo 核算:不追踪态矢量的”模拟”

与态模拟正交的是电路级资源核算:Di Matteo、Gheorghiu、Mosca 把多族 QRAM 查询电路(串行/并行 bucket-brigade、大深度小宽度、大宽度小深度、k-分层混合)完整嵌入表面码容错框架 Di Matteo 2020。它”能覆盖 $n=36$“的技巧在于:核算只数逻辑比特数、T-count/T-depth 与表面码周期,是解析计数,不需要态矢量;电路族”功能如同 qRAM”由构造与分析确立,功能验证只需小规模语义测试。两者解耦后,计数可外推到态模拟不可及的规模。成本度量取 $C={\log }_2(\text{逻辑比特}\times \text{表面码周期})$;T-depth 为 1 的 Toffoli 分解恒记 7 个 T。并行 BB 族需 $N-2$ 对 compute–uncompute Toffoli(多项式编码 QRAM词条的核算),本词条换算 T-count $\approx 14(N-2)$。锚点数字:4 KB 表($n=15$)在码周期 200 ns 下需 0.348 ms(折合 1740 个码周期);8 GB($n=36$)需 $1.5\times 10^{15}$ 物理比特换 2.13 ms(完整账见容错资源红线与电路级优化)。这些天文数字正是态模拟社区转向”物理级含噪 BB”(Hann、Wang 路线)而非”容错电路级”的动机:前者的研究对象是不纠错的物理装置,后者在实用尺寸下已被红线排除。

数值算例:各方法在 n=10/20/36 的资源对照

下表汇总各路线的代表性资源数(标”文献”者直接引自对应论文;标”估算/换算”者为本词条推导,方法与中间数字见上文各节)。注意两套口径:$n$ 通常指地址比特数($N=2^n$ 个存储单元);SparQSim 行的”20 比特”是电路总比特数。

方法	$n=10$	$n=20$	$n=36$	口径
稠密态矢量($Q\approx 3N+n$)	$2^{3082}$ 振幅,出局	$2^{3.1\times 10^6}$	$2^{2.1\times 10^{11}}$	估算
稠密密度矩阵	$n=3$ 已需 288 PB	出局	出局	估算
ECS 稀疏/剪枝(全叠加,$16Bn$ 字节)	$\approx 0.16\mathrm{MB}$	$\approx 335\mathrm{MB}$;20 层 <1 GB(文献)	$\approx 40\mathrm{TB}$,单机出局	估算+[[sources/QR043
蒙特卡洛轨迹数($\delta =10^{-2}$,$\alpha =0.05$)	$\approx 1.8\times 10^4$	同左,与 $N$ 无关	同左	推导
稳定子表($2m^2$ 比特,网络化)	$m\sim 10^3$:$\approx 0.25\mathrm{MB}$	—	$m\sim 10^4$:$\approx 25\mathrm{MB}$($N\epsilon$ 已临边界)	估算+[[sources/QR038
寄存器级稀疏(QRAM 为理想 oracle)	—	<10⁻⁴ s / 4.8 MB(Qiskit:0.1577 s / 221.7 MB)	—	文献 [[sources/QR044
BB 电路 T-count $\approx 14(N-2)$	$\approx 1.4\times 10^4$	$\approx 1.5\times 10^7$	$\approx 9.6\times 10^{11}$	换算自 [[sources/QR009
容错时空核算	—	—	$1.5\times 10^{15}$ 物理比特 / 2.13 ms	文献 [[sources/QR009

三点读法。其一,表的上半部与下半部回答不同问题:上半部问”含噪物理装置的查询保真度几何”,下半部问”若强行容错要付多少”——红线词条的结论是后者在实用尺寸不可行,于是上半部(免纠错路线)成为唯一活路,这正是 一般噪声下的韧性 的定理与它的模拟验证之间的分工。其二,ECS 稀疏行的幂律增长($\propto n{2}^n$)与稠密行的双指数之间隔着整整一层指数,这个差距把可模拟规模从 $n\approx 4$ 推到 $n\approx 20$。其三,轨迹数行与 $n$ 无关不是巧合:蒙特卡洛买的是统计精度,维度灾难由稀疏表示单独消化,两条账互不耦合。

模拟验证了哪些理论预言

QRAM 模拟器的产出不是数字本身,而是对理论清单的逐条对账:

1. Hann 韧性界:$\epsilon =10^{-4}$ 下三能级 BB 的 $1-F\sim {\log }^{2}N$、双能级斜率 $\le 3$、amplitude damping 斜率 1.86,均在 $n\le 12$ 内验证 Hann 2021(定理与证明见一般噪声下的韧性)。
2. 误差局域化:剪枝模拟器的子树包含准则本身就是局域化引理的算法化 Wang 2025;实验侧,三层 BB 错误注入给出被查询路径与最远分支约 50 倍的保真度斜率差(Shen 2026,见误差局域化)。
3. EF 判据的精化:理想 $2^T$ 抑制在高噪声/大地址下的失效区、后选择概率 $P_S$ 的 $T$ 无关下界 $1-2\epsilon$、基失真 $1-F_0\gtrsim 0.1$ 时几乎达不到 $2^T$ 抑制——全部由剪枝模拟器在大规模上首次刻画 Wang 2025(见误差过滤)。
4. 资源态 QRAM 的标度指数:嵌套单热编码的数值模拟给出 $1-F\sim {\log }^{\alpha }N$,$\alpha \approx 3.8$(去极化)或 $\alpha \approx 1.9$(Z 偏置)Cesa 2026——模拟先于器件给出可检验的标度预言。

局限

稀疏优势依赖电路结构:干涉型电路(如 29 比特 QFT 达 $5.4\times 10^8$ 分支)退化为 $O(2^n)$,内存反超通用模拟器;网络化方法的振幅阻尼截断近似只在 $N\epsilon \lesssim 1$ 内有效;剪枝模拟器的噪声信道沿用逻辑级近似。ECS 性质对含任意门的一般量子电路并不成立——它是 QRAM 路由结构的专属红利。此外:轨迹法只产出保真度一类对角型观测量,拿不到输出混态的非对角块;蒙特卡洛的 $1/{\delta }^2$ 账在要求百分位以下精度时迅速变贵;全叠加查询下剪枝模拟器的内存 $\propto n{2}^n$,把无辅助技巧的模拟 ceiling 钉在 $n\approx 20$ 一带——$n=36$ 的世界目前只有解析核算(电路级)能够触达,而这恰好也是”QRAM 是否值得建”这一问题的回答尺度(见成本口径)。

延伸阅读

• 误差过滤
• 一般噪声下的韧性
• 误差局域化
• oracle 假设谱系
• 容错资源红线
• 电路级优化