光子–自旋 QRAM

用频率编码光子当地址与总线、金刚石 SiV 色心当树节点:Fano 干涉让反射光子获得自旋相关相位;方案的每个元件都已被分别实验演示。

器件与协议回顾

Chen 等 2021(PRX Quantum 2, 030319)提出基于金刚石 SiV${}^{-}$ 色心与光子集成电路(photonic integrated circuit, PIC)的 bucket-brigade QRAM(树形结构与接力寻址见 桶队架构)。地址/总线为频率编码(frequency-bin)光子,每个节点由马赫–曾德尔干涉仪(MZI)、add-drop 滤波器与单侧纳米腔耦合的 $\Lambda$ 型 SiV${}^{-}$ 构成;腔共振置于两条自旋跃迁中点,Fano 干涉使反射光子获得自旋相关相位——原子共振给 0 相移、失谐给 $\pi$ 相移,即腔辅助 CZ 门。最优磁场下,协同数(cooperativity)$C>20$ 且波导过耦合(overcoupling)${\kappa }_{\mathrm{wg}}/\kappa >0.94$ 即得 $F>0.999$(协同数 100 已实验演示);总体结论:大于 1 kHz 查询率、$F>0.999$、容量 $10^2$ 存储级。光子 heralding 使比特损耗成为可检测错误;但探测系统必须全树共享于根部——局部探测会暴露 which-path、坍缩地址叠加。

本词条把这”元件级已演示”的方案算成一笔完整的物理账。推导一给出 $0/\pi$ 相位的解析来源与相位误差预算;推导二算协同数的来源与存储/读出效率;推导三处理传态成功率与 GHZ 退相干;推导四把每层接口误差与 $\log N$ 级联装进查询总账,并与 Bugalho 等 2023(npj Quantum Inf. 9, 7)的含噪仿真对账。通用工具(union bound、相干二次律、Hann 界)只引用不重复,见 评价指标。

SiV${}^{-}$ 的 $\Lambda$ 能级与单激发谱

SiV${}^{-}$(silicon vacancy)是金刚石中替位硅–空位复合体(教科书级器件常识):缺陷位型有反演对称中心,对电场噪声一阶不敏感,谱线接近寿命极限;零声子线在 737 nm。轨道–自旋耦合使基态与激发态各有一对自旋分支;外磁场沿对称轴把两条自旋守恒光学跃迁在频域劈开,与单侧纳米腔模一起构成 $\Lambda$ 型接口:两个自旋基态 $|0⟩,|1⟩$ 各自经一条光学跃迁与腔模耦合。对频率编码光子,其用途是:两个频率仓分别与”某自旋分支的跃迁–腔联合系统”共振或失谐,自旋态由此决定反射相位(推导一)。

弱激发下接口的谱学核心是单激发子空间的 $2\times 2$ 耦合矩阵。以 $\{|e,0⟩,|g,1⟩\}$ 为基($|e,0⟩$:原子激发、腔真空;$|g,1⟩$:原子基态、腔内单光子),旋波近似下

$$\frac{H}{\hslash }=\left(\begin{array}{cc}{\Delta }_a& g\\ g& {\Delta }_c\end{array}\right),$$

本征值为 ${\Delta }_{\pm }=\frac{{\Delta }_a+{\Delta }_c}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{({\Delta }_a-{\Delta }_c{)}^2+4g^2}$。双共振 ${\Delta }_a={\Delta }_c=0$ 时两条 dressed 模对称地劈开 $2g$——真空 Rabi 劈裂(vacuum Rabi splitting)。这一劈裂正是后续”耦合支避开腔共振”的谱学根源:原子与腔耦合后,联合系统在原腔共振频率处没有模式,反射相位由失谐支的干涉决定。

推导一:单侧腔反射的 Fano 相位——0 与 $\pi$ 的解析来源

输入–输出方程与反射系数

单侧(one-sided)腔只有一个波导端口:总能量衰减率 $\kappa ={\kappa }_{\mathrm{wg}}+{\kappa }_i$ 分解为波导外耦合 ${\kappa }_{\mathrm{wg}}$ 与内在损耗 ${\kappa }_i$;原子光学跃迁以 $\gamma$ 衰减。腔场算符 $a$、原子偶极 ${\sigma }_{-}$ 的 Langevin 方程与输入–输出关系(input-output formalism):

$$\dot{a}=-(\frac{\kappa }{2}+i{\Delta }_c)a-g{\sigma }_{-}-\sqrt{{\kappa }_{\mathrm{wg}}}{a}_{\mathrm{in}},$$ $${\dot{\sigma }}_{-}=(\frac{\gamma }{2}+i{\Delta }_a){\sigma }_{-}+ga(\text{弱激发 }⟨{\sigma }_z⟩\approx -1),$$ $$a_{\mathrm{out}}=a_{\mathrm{in}}-\sqrt{{\kappa }_{\mathrm{wg}}}a.$$

其中 ${\Delta }_c={\omega }_c-{\omega }_p$、${\Delta }_a={\omega }_a-{\omega }_p$ 以探针频率 ${\omega }_p$ 为零点。定态解:由第二式 ${\sigma }_{-}=\frac{ga}{\gamma /2+i{\Delta }_a}$,代回第一式,

$$a=-\frac{\sqrt{{\kappa }_{\mathrm{wg}}}{a}_{\mathrm{in}}}{\frac{\kappa }{2}+i{\Delta }_c+\frac{g^2}{\frac{\gamma }{2}+i{\Delta }_a}},$$

于是反射系数(教科书级推导,符号约定不影响 $|r|$ 与两支相位差)

$$r(\omega )=\frac{a_{\mathrm{out}}}{a_{\mathrm{in}}}=1-\frac{{\kappa }_{\mathrm{wg}}}{\frac{\kappa }{2}+i{\Delta }_c+\frac{g^2}{\frac{\gamma }{2}+i{\Delta }_a}}.$$

这一条公式是本词条全部路由物理的源头:自旋态通过 ${\Delta }_a$(耦合支 ${\Delta }_a=0$,失谐支 $|{\Delta }_a|$ 大)改变 $r$ 的相位与幅度。

Fano 形式:镜面即时反射与腔内共振通路的干涉

把 $\kappa /2-{\kappa }_{\mathrm{wg}}=({\kappa }_i-{\kappa }_{\mathrm{wg}})/2\equiv ϵ$ 分离出来,分子改写为

$$r(\omega )=\frac{ϵ+i{\Delta }_c+\frac{g^2}{\frac{\gamma }{2}+i{\Delta }_a}}{\frac{\kappa }{2}+i{\Delta }_c+\frac{g^2}{\frac{\gamma }{2}+i{\Delta }_a}}.$$

这就是 Fano 共振的标准形式:入射光子有两条出路——被输入镜即时反射(振幅 1),或先进腔、与原子交换后再泄漏回来(分母的共振通路)。两通路干涉,分子零点给出完全吸收点($ϵ$ 与原子色散贡献恰好相消处),线形因此不对称;相位在线形两侧翻转。过耦合越深(${\kappa }_{\mathrm{wg}}/\kappa \to 1$,$ϵ\to 0^{-}$),反射谷越深、相位翻转越陡——这是词条宣称”过耦合 ${\kappa }_{\mathrm{wg}}/\kappa >0.94$“的物理内容。

两个极限:0 相位支与 $\pi$ 相位支

记过耦合比 $\eta :={\kappa }_{\mathrm{wg}}/\kappa$,并以 $C:=\frac{4g^2}{\kappa \gamma }$ 定义协同数(定义依据见推导二)。

耦合支(原子–腔–光子三者共振,${\Delta }_c={\Delta }_a=0$): 利用 $2g^2/\gamma =C\kappa /2$,

$$r_1=1-\frac{\eta \kappa }{\frac{\kappa }{2}+\frac{C\kappa }{2}}=1-\frac{2\eta }{1+C}=\frac{1+C-2\eta }{1+C}.$$

$r_1$ 是正实数(只要 $C>2\eta -1$,自动满足):相位 0。$C\to \infty$、$\eta \to 1$ 时 $r_1\to +1$:真空 Rabi 劈裂把联合系统推离探针频率,光子如同打在”变硬”的镜面上即时反射。这正是”原子共振给 0 相移”。

失谐支($|{\Delta }_a|\gg g^2/\kappa$,原子对腔响应的修正可忽略):

$$r_0=1-\frac{\eta \kappa }{\frac{\kappa }{2}+i{\Delta }_c}=\frac{ϵ+i{\Delta }_c}{\frac{\kappa }{2}+i{\Delta }_c};{\Delta }_c=0\text{时}{r}_0=\frac{2ϵ}{\kappa }=1-2\eta =-(2\eta -1).$$

$r_0$ 是负实数:相位 $\pi$,幅度 $2\eta -1$。这正是”失谐给 $\pi$ 相移”——裸腔在共振频率上就是一面相位翻转镜(过耦合极限下 $r_0\to -1$)。两支相位差

$$\Delta \phi =\arg r_1-\arg r_0\approx \pi ,$$

即腔辅助 CZ 门:频率仓与自旋分支的联合系统共振与否,决定该仓反射后带 0 还是 $\pi$ 相位;随后经平衡 MZI 把相位差转成确定性的端口选择(见下)。值得强调:两支在此理想化模型里都是实数,没有相位错误,误差全部表现为光子丢失——丢失可被输出端探测(heralding),这就是该方案”通告换保真度”的结构基础(与 硬件共识设计策略 的共识 (ii) 同型)。

相位误差账:色散频移与通告保真度

失谐支的 $|{\Delta }_a|$ 有限时,原子项 $g^2/(\gamma /2+i{\Delta }_a)$ 展开为

$$\frac{g^2}{\frac{\gamma }{2}+i{\Delta }_a}\approx \underset{\text{微吸收}}{\underbrace{\frac{g^2\gamma }{2{\Delta }_a^2}}}-i\frac{g^2}{{\Delta }_a}(|{\Delta }_a|\gg \gamma ),$$

虚部 $-i{g}^2/{\Delta }_a$ 把腔共振色散拉动 ${\delta }_{\mathrm{eff}}=g^2/{\Delta }_a$(本词条推导)。探针停在裸腔共振处时,有效失谐 $x:={\delta }_{\mathrm{eff}}/\kappa \ne 0$,把 $r_0=1-2\eta /(1+2ix)$ 展开到一阶:

$$r_0=\frac{(1-2\eta +4x^2)+4ix\eta }{1+4x^2},$$

出现非零虚部 $4x\eta /(1+4x^2)$,相位偏离 $\pi$ 约

$$\delta \phi \approx \frac{4x\eta }{2\eta -1}(x\ll 1).$$

相位错误是相干错误,按二次律进不保真度($1-F\approx \delta {\phi }^2/4$,推导见 评价指标):要求单节点 $1-F\le 10^{-3}$ 需 $\delta \phi \le 0.063$ rad,即

$$x=\frac{C\gamma }{4{\Delta }_a}\lesssim \frac{(2\eta -1)\delta {\phi }_{\mathrm{target}}}{4\eta }.$$

对 $C=20$、$\gamma /2\pi =100\mathrm{MHz}$(SiV 光学跃迁线宽量级,教科书级常识)、$\eta =0.94$:要求 ${\Delta }_a/2\pi \gtrsim 35\mathrm{GHz}$。磁场决定的自旋分裂因此不能只求”够分开”,要按色散拉动预算反推——这是磁场(设 ${\Delta }_a$)与腔 $Q$(设 $\kappa$)联动设计的定量依据(数值见文末算例;本条为教科书级推导,文献以全模拟给出综合条件)。

逐光子损耗(可通告)由幅度给出,两项:

$$p_{\mathrm{loss}}^{(1)}=1-|r_1{|}^2\approx \frac{2}{C}(\eta \to 1\text{时},C\gg 1),p_{\mathrm{loss}}^{(0)}=1-(2\eta -1{)}^2=4\eta (1-\eta ).$$

推导:$1-(\frac{C}{1+C}{)}^2=\frac{2C+1}{(1+C{)}^2}\approx \frac{2}{C}$;后者是裸腔共振吸收 $4\eta (1-\eta )$。$C=20$、$\eta =0.94$ 时两支分别约 17% 与 23%——很大但全部可探测,条件保真度仍由相位误差决定:”$F>0.999$ 而 $10^2$ 存储级”是通告体制下的成绩单(数值验算见文末算例)。

MZI:相位路由变路径路由

频率仓带着 $0/\pi$ 相位进入平衡 MZI,两臂相对相位 $\Delta \phi$,重组后两输出端口布居

$$P_{\pm }=\frac{1\pm \cos \Delta \phi }{2}:\Delta \phi =0\Rightarrow P_{+}=1,\Delta \phi =\pi \Rightarrow P_{-}=1.$$

自旋态由此确定性地选择光子去向(左/右子树)。地址叠加态 ${\sum }_{\mathbf{x}}{\psi }_{\mathbf{x}}|\mathbf{x}⟩$ 下,该操作对每条分支线性进行,树中 carve 出唯一路径,结构与 桶队架构 的引理相同。硬约束随之而来:任何局部的丢失探测(哪个节点没收到光子)都会暴露 which-path、坍缩地址叠加,所以探测系统必须全树共享于根部,查询成败只能在所有分支重新干涉之后判定——这是频率编码方案与超导方案(可逐比特读出路由态,见 bucket-brigade 首次全架构实验)在测量结构上的本质差异。

推导二:速率账——协同数、$\beta$ 因子与 $\sqrt{N}$ 集体增强

协同数的器件学来源:$C=4g^2/\kappa \gamma$

单发射体与腔模的单光子耦合强度由模式体积决定:

$$g=\frac{\mu E_0}{\hslash },|E_0{|}^2=\frac{\hslash \omega }{2{\epsilon }_0{n}^2{V}_{\mathrm{eff}}},$$

$\mu$ 为跃迁偶极矩,$V_{\mathrm{eff}}$ 为腔模有效体积,$n$ 为金刚石折射率。腔衰减 $\kappa =\omega /Q$ 由品质因子给出,原子线宽 $\gamma$ 由寿命给出。三者代入

$$C=\frac{4g^2}{\kappa \gamma }=\frac{2{\mu }^{2}Q}{\hslash {\epsilon }_0{n}^2{V}_{\mathrm{eff}}\gamma }\propto \frac{Q}{V_{\mathrm{eff}}}\cdot \frac{1}{\gamma }.$$

小体积、高 $Q$、窄线宽三者相乘:这是协同数作为”接口品质因数”的全部内容。数值感受(本词条估算,合成参数):取 $V_{\mathrm{eff}}=(\lambda /n{)}^3$($\lambda =737$ nm、$n=2.4$)、$\mu =2-3$ Debye,得 $g/2\pi \approx 3.0-4.6\mathrm{GHz}$;再取 $\kappa /2\pi =20\mathrm{GHz}$、$\gamma /2\pi =100\mathrm{MHz}$,则 $C\approx 18-42$——$C>20$ 落在当前纳米腔工艺可及区间,与”协同数 100 已实验演示”Chen 等 2021 一致(更高 $C$ 由更小 $V$ 或更高 $Q$ 换得)。

$\beta$ 因子:原子激发能量进入腔模(再经波导输出)的份额

$$\beta =\frac{C}{1+C},$$

推导:激发经两条指数通道衰减,腔通道速率 ${\Gamma }_c=4g^2/\kappa$(Purcell 增强),自由空间速率 $\gamma$;份额 $={\Gamma }_c/({\Gamma }_c+\gamma )=C/(1+C)$。$C=20$ 时 $\beta =0.952$;$C=100$ 时 $\beta =0.990$。

系综对标:狄克对称态的 $g\sqrt{N}$ 与光学深度

单发射体走”小 $V$、高 $Q$“的路;系综走另一条:让 $N$ 个原子对称地耦合同一模式。定义 collective 激发态(狄克态,Dicke state)

$$|E⟩=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _{j=1}^N|g_1\cdots e_j\cdots g_N⟩,$$

相互作用 $H_{\mathrm{int}}=\hslash g(a^{†}{\sum }_j{\sigma }_j^{-}+h.c.)$ 的矩阵元

$$⟨E|\hslash g^{\ast }a\sum _j{\sigma }_j^{+}|G,1⟩=\hslash g^{\ast }⟨E|\sum _j{\sigma }_j^{+}|G⟩=\hslash g^{\ast }\sqrt{N},$$

推导末步:${\sum }_j{\sigma }_j^{+}|G⟩={\sum }_j|e_j⟩=\sqrt{N}|E⟩$,每个原子贡献相干相加。等效耦合 $g_N=g\sqrt{N}$,协同数 $C_N=N{C}_1$——这就是集体增强(collective enhancement)因子 $\sqrt{N}$ 的来源。无腔的行波系综里同一份账以光学深度(optical depth)$d$ 记:共振吸收截面 ${\sigma }_0$、柱密度 $N_c$ 给 $d=N_c{\sigma }_0$,弱脉冲的吸收份额 $1-e^{-d}$(Beer–Lambert,教科书级),检索按时间反演读出,总效率的教科书级上界式估计为

$${\eta }_{\mathrm{mem}}\lesssim (1-e^{-d}{)}^2{e}^{-T/T_2}(\text{写入}\times \text{读出各付一次}).$$

实验水位可对照系综 EIT 存储器——2019 年清华 210 单元、105 比特的随机存取量子存储器:检索效率中心约 18%、边缘约 2%,记忆寿命 $27.8\mu$s,条件保真度平均 94.45%Jiang 2019。注意其语义归属:地址由经典射频驱动声光偏转器选定,属 RAQM 而非 QRAM(归类与边界见 RAQM 与量子存储的边界;光子回波类多模式存储的早期集成方案见 Moiseev 2012)。两类器件共用 $\sqrt{N}$ 集体增强的物理,分野在寻址:系综以经典选址换取大 $d$,SiV–PIC 方案以单发射体可寻址换取叠加寻址,协同数只能靠 $Q/V_{\mathrm{eff}}$ 硬拼——这就是 $C>20$ 成为该方案核心器件指标的原因。

$\Lambda$ 暗态捕获:存储与读出的 ${\beta }^2$ 效率

存储:光子进入腔时,系统在三态基 $\{|g,1⟩,|e,0⟩,|s,0⟩\}$($|s,0⟩$:自旋存储态)上的哈密顿量为

$$\frac{H}{\hslash }=g|e,0⟩⟨g,1|+\Omega |e,0⟩⟨s,0|+h.c.,$$

$g$ 为腔–跃迁耦合,$\Omega$ 为经典控制场(拉曼,双光子共振)。暗态(dark state)

$$|D⟩=\frac{\Omega |g,1⟩-g|s,0⟩}{\sqrt{{\Omega }^2+g^2}},H|D⟩=g\Omega |e,0⟩-\Omega g|e,0⟩=0:$$

$|D⟩$ 不含 $|e,0⟩$ 分量、本征值为零。绝热地降低 $\Omega$($\Omega \gg g\to \Omega \to 0$),本征矢连续变形 $|D⟩:|g,1⟩\to -|s,0⟩$——腔内光子被映射到自旋,这是 EIT 型暗态存储的腔版本。非绝热性与自发发射都受控于同一比值 $\Omega /g$ 与光子带宽对暗–亮极化子能隙 $\sqrt{{\Omega }^2+g^2}$ 之比。

效率的稳健估计来自时间反演:检索是”自旋经腔发光子”,进入波导的份额为 $\beta$;写入是其时间反演,同为 $\beta$。串联两次,

$${\eta }_{write/read}\approx {\beta }^2=(\frac{C}{1+C}{)}^2\approx 1-\frac{2}{C},$$

再乘自旋存储期的退相干因子 $e^{-T_{\mathrm{hold}}/T_2}$。$C=20$:${\beta }^2=0.907$;$C=100$:${\beta }^2=0.980$。至此接口速率账闭合:协同数同时决定三件事——反射相位纯度($\delta \phi \propto C\gamma /{\Delta }_a$)、逐光子通告损耗($\sim 2/C$)、存储读写效率(${\beta }^2\approx 1-2/C$),三条全部随 $C$ 单调改善,$C$ 因此是该平台的”总闸”参数。

推导三:网络层——传态成功率、GHZ 退相干与 TS-QRAM 的布局账

存活指数:直接方案与传态方案

直接 PIC 方案中,第 $j$ 个地址光子要穿越 $j-1$ 个已配置路由器,每次通过以存活率 ${\eta }_r$ 计;对全部 $n$ 层求和 ${\sum }_{j=1}^n(j-1)=n(n-1)/2$,单次查询地址装载的成功率

$$P_{\mathrm{surv}}={\eta }_r^{n(n-1)/2}.$$

隐形传态变体改为逐层制备 GHZ 态、以局域 Bell 测量把地址并行写入各层:每位地址只需 $O(1)$ 次传输,

$$P_{\mathrm{surv}}^{\prime }={\eta }_r^n$$

Chen 等 2021。指数从 $n(n-1)/2$ 降到 $n$ 的账目在 设计共识 算例 3 已以 $n=10$ 验过;这里补规模端的数字(本词条算例):

$n$	存储容量 $2^n$	直接 $0.99^{n(n-1)/2}$	传态 $0.99^n$	直接 $0.90^{n(n-1)/2}$	传态 $0.90^n$
17	$1.3\times 10^5$	0.255	0.843	$6.0\times 10^{-7}$	0.167
20	$1.0\times 10^6$	0.148	0.818	$2.0\times 10^{-9}$	0.122

${\eta }_r=0.99$ 时 $n=17$ 尚可(传态 84% 对直接 26%);一旦单次通过降到 0.90,直接方案在 $10^5$ 存储级成功率已到 $10^{-7}$——“以隐形传态对抗规模化”的账目内容。传态变体可在 $10^5$ 存储下保持 kHz 级查询率,且每个网络节点天然就是树节点,适合量子网络场景;代价是下节的 GHZ 退相干随尺寸线性增长。

$m$ 体 GHZ 的相干性:$e^{-m\gamma t}$ 线性律

$m$ 比特 GHZ 态 $|\mathrm{GHZ}⟩=(|0{⟩}^{\otimes m}+|1{⟩}^{\otimes m})/\sqrt{2}$ 的全部相干信息集中在单一非对角元 ${\rho }_{0^m,1^m}=1/2$ 上。设每比特独立退相干(相位阻尼)速率 $\gamma =1/T_2$:经时间 $t$,该非对角元获得因子

$$\prod _{j=1}^m{e}^{-\gamma t}=e^{-m\gamma t}$$

(教科书级推导:相位阻尼信道对非对角元乘 $e^{-\gamma \mathrm{d}t}$,$m$ 个独立因子连乘)。有效退相干率随 $m$ 线性增长,GHZ 的可用时间窗为 $t\ll T_2/m$。数值感受(本词条估算):$n=17$ 的传态方案共 $m=2^{17}-1\approx 1.3\times 10^5$ 个节点;取 $T_2=100\mathrm{ms}$(与 Bugalho 等 2023 的仿真参数同量级),时间窗 $T_2/m\approx 0.77\mu$s——GHZ 制备须在微秒内完成。并行制备深度 $O(\log m)\approx 17$ 层、每层若为 10 ns 级光子门,总时长约 0.2 $\mu$s:可行但已不宽裕。这条线性律就是”GHZ 态退相干率随尺寸线性增长”的代数身份,也是传态变体的规模化天花板。

概率光子 CNOT 与确定性节点的边际收益布局

Bugalho 等 2023 以 NetSquid 稳定子噪声重构对该网络化架构做含噪评估(方法见 QRAM 模拟器):访问 128 量子比特 QRAM 要保真度超 90%,需 CNOT 保真度约 99.9%——确定性核–电子 CNOT(core–electron CNOT)是主导瓶颈。据此提出 TS-QRAM:把误差主导的门替换为带 heralding 的概率光子 CNOT(约 10 ns 量级,快于确定性核–电子 CNOT 约四个数量级;成功率约 70%)。概率门失败可重试,但失败代价不均匀:链接树深度 $\ell$ 处一次失败,浪费的是其下整棵子树(规模 $\sim 2^{h-\ell }$)的重复制备。给”确定性节点”这个稀缺资源做边际收益排序,每个确定性节点节省的期望重试量正比于其子树规模——确定性节点应集中在树的高层(本词条核算)。混合策略(约 6.2% 确定性节点集中于链接树高层)在 1024 存储单元、${\epsilon }_{\mathrm{CNOT}}=10^{-3}$、$T_2=100\mathrm{ms}$ 下保真度仍高于 60%Bugalho 等 2023。未解问题:光子损耗随存储深度复合增长;物理错误率 $10^{-4}$、$n=10$ 时查询失真已达 $10^{-1}$ 量级,扩容须把节点升级为逻辑比特。

推导四:查询总账——每层接口误差 $\times \log N$

三种货币与级联公式

把单次查询的误差分成三种货币(口径沿用 评价指标):

1. 可通告错误(erasure 型):光子丢失、捕获失败——输出端探测光子缺失即可发现,只吃成功率不吃保真度;逐节点记为 $p_{\mathrm{loss}}^{(1)},p_{\mathrm{loss}}^{(0)}$,成功率乘法式衰减 $P_{\mathrm{succ}}=\prod (1-p_{\mathrm{loss}})\approx e^{-\sum p_{\mathrm{loss}}}$;
2. 相位错误(相干型):色散频移、MZI 失衡、频率仓串扰——不可探测,按二次律 $1-F\approx \delta {\phi }^2/4$ 计;
3. 退相干(指数型):自旋存储期 $e^{-T_{\mathrm{hold}}/T_2}$ 与 GHZ 制备期的 $e^{-m\gamma t}$。

顺序信道的保真度组合到一阶满足

$$F_{\mathrm{total}}=\prod _k{F}_k\ge 1-\sum _k(1-F_k)⟹1-F_{\mathrm{total}}\lesssim \sum _k{\epsilon }_k,$$

即 union bound 的预算读法(一般证明见 评价指标,不重复)。对树结构查询,不可通告项按每层求和——每层贡献 ${\epsilon }_{\mathrm{node}}$、共 $n={\log }_{2}N$ 层:

$$1-F_{\mathrm{query}}\lesssim n{\epsilon }_{\phi }^{\mathrm{node}}+{\epsilon }_{\mathrm{write}}+{\epsilon }_{\mathrm{read}}+\frac{t_{\mathrm{hold}}}{T_2}+m_{\mathrm{GHZ}}{\epsilon }_{\mathrm{GHZ}},$$

其中写入/读出各付 $(1-{\beta }^2)\approx 2/C$ 的份额,$t_{\mathrm{hold}}$ 是自旋持有期。这正是 Hann 界 $1-F\le 4\epsilon T\log N$ 的标度结构在本方案的具体化:误差随 $\log N$ 多对数增长,与树的宽度无关(通用推导见 一般噪声下的韧性)。

含噪仿真数字的对账

用 union bound 反读 Bugalho 等 2023 的两个数字(本词条核算,量级自洽检查):

• ”$10^{-4}$ 错误率、$n=10$ 时查询失真 $10^{-1}$“:失真/单错 $\approx 10^{-1}/10^{-4}=10^3$ 个有效错误位置;$n=10$ 层 GHZ/链接树上的两比特门总数 ${\sum }_{\ell =1}^n{2}^{\ell }\approx 2^{n+1}\approx 2\times 10^3$——同量级,说明该失真点处于”位置数 $\times \epsilon$“线性区,未被 heralding 或误差缓解改写;
• “128 量子比特($n=7$)超 90% 需 CNOT 99.9%”:$1-F\lesssim m\epsilon \le 0.1$ 反解 $m\approx 100$,与 $n=7$ 层树 + 链接树上的主导 CNOT 数同量级——CNOT 保真度 $99.9\%$($\epsilon =10^{-3}$)正是 $m\epsilon \approx 0.1$ 的解。

两个数字同受一笔预算账覆盖,是该架构误差模型内部自洽的证据(工具见 QRAM 模拟器 与 评价指标)。

数值算例:$n=17$ 里程碑器件的完整预算

合成参数(本词条估算;$\gamma ,\kappa ,V_{\mathrm{eff}}$ 取纳米腔 SiV 文献常用量级,$C$、$\eta$ 取词条所引达标值):$\gamma /2\pi =100\mathrm{MHz}$、$\kappa /2\pi =20\mathrm{GHz}$、$C=20$、$\eta =0.94$、自旋分裂 ${\Delta }_a/2\pi =50\mathrm{GHz}$、$T_2=100\mathrm{ms}$。逐项计算:

1. 单光子耦合:$g/2\pi =\sqrt{C\kappa \gamma }/2\pi =\sqrt{20\times 20\times 0.1}\mathrm{GHz}=6.3\mathrm{GHz}$——按推导二的账,需 $V_{\mathrm{eff}}$ 比 $(\lambda /n{)}^3$ 再小约一半,即 $C=20$ 需工艺满配;$\beta =20/21=0.952$;
2. 相位误差:$x=C\gamma /(4{\Delta }_a)=20\times 0.1/(4\times 50)=0.01$,$\delta \phi \approx 4\times 0.01\times 0.94/0.88\approx 0.043$ rad,${\epsilon }_{\phi }^{\mathrm{node}}\approx \delta {\phi }^2/4\approx 4.6\times 10^{-4}$;
3. 逐节点通告损耗:耦合支 $1-|r_1{|}^2=1-(19.12/21{)}^2=17.1\%$,失谐支 $4\eta (1-\eta )=22.6\%$,平均 ${\bar{p}}_{\mathrm{loss}}\approx 19.8\%$;
4. 直连成功率($n=17$):$P_{\mathrm{succ}}\approx (1-0.198{)}^{17}=e^{-3.77}\approx 2.3\%$——若寻址重试率为 MHz 量级,成功查询率仍在几十 kHz,与”大于 1 kHz 查询率”的宣称同向(文献综合条件由全模拟给出,此处只做量级核对);
5. 查询保真度(不可通告项):$n{\epsilon }_{\phi }=17\times 4.6\times 10^{-4}=7.8\times 10^{-3}$;写入/读出的捕获失败同样表现为光子缺失,归入通告项,其非绝热泄漏的相位部分已在第 2 项计入,不重复记账;
6. 存储退相干:逐节点门时间 $\sim 5/\kappa =40\mathrm{ps}$,全程 $t_{\mathrm{hold}}\lesssim 1\mathrm{ns}$,$t_{\mathrm{hold}}/T_2\sim 10^{-8}$——单查询免役于 $T_2$;施压点在 GHZ 制备(推导三):$T_2/m=0.77\mu$s。

读法:该参数点下,保真度瓶颈是相位误差(约 $10^{-2}$、随 $\log N$ 增长),成功率瓶颈是逐节点通告损耗(约 20%/节点、指数复合)——两本账必须分开汇报,合成一个 "$F$" 会同时高估两者。把 $C$ 提到 100(已演示水平):${\beta }^2=0.980$、${\bar{p}}_{\mathrm{loss}}$ 降数倍、$\delta \phi \propto C$ 反而需把 ${\Delta }_a$ 同步加大——协同数与磁场预算要联动设计,这是单参数优化容易漏掉的耦合。

讨论:能力边界与开放问题

三条边界须同时记牢:

• 元件已演示,树未集成。单侧腔 Fano 相位、协同数 100、电光频率仓、MZI 网络各自成立Chen 等 2021;$10^2$ 存储级是综合模拟的结论,把 $10^3-10^5$ 个节点做到频率与相位预算内(尤其全树共享根部探测)是未完成的工程。与超导路线(元件到全架构三年闭环,见 硬件平台全景 与 相干路由器实验)相比,光子–自旋路线买到的可扩展性是网络化的:节点天然分离、可远程分布,这正是它把隐形传态当作第一性工具而非补丁的原因。
• 误差预算是两本账。通告损耗决定吞吐(指数复合,传态变体把指数从 $n(n-1)/2$ 压到 $n$),相位与退相干决定条件保真度($\log N$ 线性);前者靠成功率换,后者靠 $C$、${\Delta }_a$、$T_2$ 联动设计压。任何规模宣称都应同时给出两本账(评价指标 六维口径的用意)。
• 扩容的尽头是纠错。物理错误率 $10^{-4}$、$n=10$ 时失真已到 $10^{-1}$Bugalho 等 2023:继续扩容必须把节点升级为逻辑比特,而 GHZ 资源态的线性退相干律(推导三)意味着逻辑级 GHZ 制备将成为新的主瓶颈;容错接口三路线(Clifford 化、异构码距、蒸馏–传态)见 Clifford 容错接口 与 设计共识。

延伸阅读

• 量子数据中心
• 硬件共识设计策略
• QRAM 模拟器
• bucket-brigade 首次全架构实验
• RAQM 与量子存储的边界
• 硬件平台全景