bucket-brigade 架构

bucket-brigade(桶队)架构由 Giovannetti–Lloyd–Maccone 于 2008 年提出:地址比特像救火队传水桶一样逐级进入二叉树,任意时刻只有 O(log N) 个节点处于激活态。此后的 QRAM 理论、硬件提案与实验,几乎都以它为参照系。

图:bucket-brigade 寻址架构,节点为 qutrit,地址比特逐级进树,任意时刻仅 O(log N) 个节点激活(来源:QR002)

机制回顾:接力寻址

树节点为三能级 qutrit,取一个等待态 $|\mathrm{wait}⟩$ 与两个指向态 $|\mathrm{left}⟩/|\mathrm{right}⟩$。查询开始后,$n={\log }_{2}N$ 个地址比特依次进树:第 $i$ 个比特被第 $i-1$ 层的激活节点”接力”吸收,并把该节点置向左或右;如此沿途 carve 出唯一一条从根到叶的路径。数据读出完成后,再按逆序 uncompute 把全部节点复位。“救火队传水桶”的比喻正由此而来——每个地址比特只在树中停留一段,把方向信息交给下一层就功成身退。

关键的结构性质是:任意时刻只有 $O(\log N)$ 个 qutrit 处于激活态并与地址纠缠,其余 $2^n-(n+1)$ 个节点始终停在等待态;存储量子数据时,受不可克隆定理限制,读出必须是 SWAP 型的”取出并搬走”。

GLM 两篇论文给出的标志性账目,本词条逐一推导:

• 经典对照:传统 RAM 每次存储调用需扳动 $O(N^{1/d})$ 个开关($d$ 维阵列),bucket-brigade 降至 $O(\log N)$;量子情形下需要纠缠的两体相互作用门从 $O(N)$ 降至 $O({\log }^{2}N)$GLM 2008 (PRL)。
• 误差标度:若单开关错误率为 $\epsilon$,每次查询的总错误率为 ${\log }_{2}N\cdot \epsilon$;$\epsilon =0.1\%$ 时可对 $2^{100}$ 个地址做叠加寻址而总误差仅 10%GLM 2008 (PRA)。
• 关键噪声约束:指数多数量的等待态节点不被意外激发到激活态。

综述汇总表(表 B)的账目:查询深度 $O(n)$(流水线化后)、比特 $O(N)$、门 $O(N\log N)$、不保真度 $\epsilon \log N$ 至 $\epsilon {\log }^{3}N$(后者为一般噪声下的严格上界)Phalak 2023。以下按「机制演算 → 计数 → 三本误差账(GLM / Hann / Arunachalam)→ 实验验算」展开;union bound 等通用工具只引 评价指标,不整段重复。

推导一:n=3 全过程的态矢演化

记号与初始态

取 $n=3$、$N=8$:路由树共 $2^3-1=7$ 个 qutrit 节点、$8$ 个叶子存储单元。节点按堆式编号:根为 $g_1$,节点 $g_k$ 的左、右子节点为 $g_{2k}$ 与 $g_{2k+1}$;三层节点为 $\{g_1\}$、$\{g_2,g_3\}$、$\{g_4,g_5,g_6,g_7\}$。叶子 $m_0,\dots ,m_7$ 挂在第三层之下,$m_j$ 的父节点为 $g_{4+\lfloor j/2\rfloor }$。

地址 $\mathbf{x}=x_1{x}_2{x}_3$,叶子指标 $\mathrm{idx}(\mathbf{x})=4x_1+2x_2+x_3$。路由规则:指向态 $|L⟩$ 把来者送往左子($2k$)、$|R⟩$ 送往右子($2k+1$)。树上有一种两体操作——前沿节点上的吸收门

$$G:|0⟩|\mathrm{w}⟩\mapsto |0⟩|L⟩,|1⟩|\mathrm{w}⟩\mapsto |1⟩|R⟩,$$

其中 $|\mathrm{w}⟩:=|\mathrm{wait}⟩$。$G$ 是幺正的:它把正交基 $\{|0⟩|\mathrm{w}⟩,|1⟩|\mathrm{w}⟩\}$ 映到正交基 $\{|0⟩|L⟩,|1⟩|R⟩\}$,其余基矢上的延拓任意(如恒等)。地址寄存器不被消耗——指针与地址是幺正关联而非测量式复制;GLM 光学实现中,这对应”光子被吸收、原子翻转到指向态、再以标准态发射光子”的图像。

查询开始前的总态(地址寄存器 $A$、树寄存器 $R$):

$$|{\Psi }_0⟩=\sum _{\mathbf{x}\in \{0,1{\}}^3}{\psi }_{\mathbf{x}}|x_1{x}_2{x}_3{⟩}_A\otimes |\mathrm{w}{⟩}_1|\mathrm{w}{⟩}_2\cdots |\mathrm{w}{⟩}_7.$$

逐层演化:三步进树

第一步,$x_1$ 与根 $g_1$(当前唯一前沿)作用:

$$|{\Psi }_1⟩=\sum _{\mathbf{x}}{\psi }_{\mathbf{x}}|x_1{x}_2{x}_3⟩|p(x_1){⟩}_1|\mathrm{w}{⟩}_2\cdots |\mathrm{w}{⟩}_7,p(b):=\{\begin{array}{ll}L,& b=0,\\ R,& b=1.\end{array}$$

第二步,$x_2$ 被接力:根已指向 $p(x_1)$,把 $x_2$ 引导至节点 $g_{2+x_1}$,后者处于等待态、将其吸收:

$$|{\Psi }_2⟩=\sum _{\mathbf{x}}{\psi }_{\mathbf{x}}|x_1{x}_2{x}_3⟩|p(x_1){⟩}_1|p(x_2){⟩}_{2+x_1}\prod _{k\ne 1,2+x_1}|\mathrm{w}{⟩}_k.$$

每条分支里第二层的 $g_2,g_3$ 恰有一个被激活、另一个仍在等待——前沿唯一。

第三步,$x_3$ 穿过两个已激活节点(根、第二层前沿各一次两体通过),在第三层被吸收:

$$|{\Psi }_3⟩=\sum _{\mathbf{x}}{\psi }_{\mathbf{x}}|\mathbf{x}⟩|p(x_1){⟩}_1|p(x_2){⟩}_{2+x_1}|p(x_3){⟩}_{4+2x_1+x_2}\prod _{\text{其余节点}}|\mathrm{w}{⟩}_k\equiv \sum _{\mathbf{x}}{\psi }_{\mathbf{x}}|\mathbf{x}⟩|r(\mathbf{x})⟩.$$

以 $\mathbf{x}=110$ 为例逐步代入:$g_1\to R$;$g_3\to R$(因 $2+x_1=3$);$g_7\to L$(因 $4+2x_1+x_2=7$),其余四个节点保持 $|\mathrm{w}⟩$;总线随后沿 $g_1\to g_3\to g_7$ 下行到达 $m_6$($\mathrm{idx}=6$)✓。

路径构型表与两个结构引理

八个地址的树构型 $r(\mathbf{x})$(只列激活节点):

$\mathbf{x}$	$r(\mathbf{x})$	$\mathbf{x}$	$r(\mathbf{x})$
000	$g_1=L,g_2=L,g_4=L$	100	$g_1=R,g_3=L,g_6=L$
001	$g_1=L,g_2=L,g_4=R$	101	$g_1=R,g_3=L,g_6=R$
010	$g_1=L,g_2=R,g_5=L$	110	$g_1=R,g_3=R,g_7=L$
011	$g_1=L,g_2=R,g_5=R$	111	$g_1=R,g_3=R,g_7=R$

每个构型恰 3 个激活节点、4 个等待节点;$r$ 是地址的单值函数,不同地址的构型互不相同。两条引理把这张表升级为一般 $n$ 的结构定理。

引理 1(前沿唯一性,归纳)。 第 $j$ 步后,激活节点集恰为根到第 $j-1$ 层那条链上的 $j$ 个节点。归纳:第 $j+1$ 个比特从根出发,沿链上各节点指向逐层下行(每节点一次两体通过),抵达唯一前沿并被 $G$ 吸收;激活集延长一节。∎

引理 2(carve 是等距映射)。 $\mathbf{x}\ne {\mathbf{x}}^{\prime }$ 时 $⟨r(\mathbf{x})|r({\mathbf{x}}^{\prime })⟩=0$:两条路径第一处分叉的节点上一个取 $L$、一个取 $R$,节点态正交。故

$$⟨{\Psi }_3|{\Psi }_3⟩=\sum _{\mathbf{x},{\mathbf{x}}^{\prime }}{\psi }_{\mathbf{x}}^{\ast }{\psi }_{{\mathbf{x}}^{\prime }}{\delta }_{\mathbf{x}{\mathbf{x}}^{\prime }}{\delta }_{\mathbf{x}{\mathbf{x}}^{\prime }}=\sum _{\mathbf{x}}|{\psi }_{\mathbf{x}}{|}^2=1,$$

范数守恒;树寄存器以”路径码”形式无损持有地址——这正是 QRAM 总览 中查询等距映射在电路级的实现。

读出与逆序 uncompute

总线(初态 $|0{⟩}_B$,经典数据)沿 $r(\mathbf{x})$ 下行(每分支 $n=3$ 次两体通过),与被寻址单元交换:

$$\sum _{\mathbf{x}}{\psi }_{\mathbf{x}}|\mathbf{x}⟩|r(\mathbf{x})⟩|0{⟩}_B⟼\sum _{\mathbf{x}}{\psi }_{\mathbf{x}}|\mathbf{x}⟩|r(\mathbf{x})⟩|D_{\mathrm{idx}(\mathbf{x})}{⟩}_B;$$

量子数据情形,同一位置换成总线与单元态的 SWAP(不可克隆约束)。随后按逆序复位:先以 $x_3$ 作用在 $g_{4+2x_1+x_2}$ 上(用 $G^{†}$:$|x_3⟩|p(x_3)⟩\to |x_3⟩|\mathrm{w}⟩$),再以 $x_2$ 复位第二层、$x_1$ 复位根:

$$|{\Psi }_{\mathrm{end}}⟩=\sum _{\mathbf{x}}{\psi }_{\mathbf{x}}|\mathbf{x}⟩|\mathrm{w}{⟩}^{\otimes 7}|D_{\mathrm{idx}(\mathbf{x})}{⟩}_B.$$

树寄存器与地址解纠缠,对树求迹不留任何 which-path 记录。uncompute 不是可选清理,而是查询幺正性的构成部分:$r(\mathbf{x})$ 是地址的确定函数、可被逆序收回;噪声若把构型随机化为 $\tilde{r}$,干涉块系数退化为 $⟨\tilde{r}({\mathbf{x}}^{\prime })|\tilde{r}(\mathbf{x})⟩<1$,无法事后修复(相干条件见 QRAM 总览)。

推导二:激活计数与操作账

激活数是逐分支恒等式,不是平均值

定义激活数算符 ${\hat{n}}_{\mathrm{act}}={\sum }_k{\Pi }_k^{\{L,R\}}$(对每个节点投影到指向态子空间)。由引理 1,第 $j$ 步后 ${\hat{n}}_{\mathrm{act}}$ 在 $|{\Psi }_j⟩$ 的每个计算分支上都取确定值 $j$,查询全程峰值 $n=3$(一般 $n={\log }_{2}N$)。两点值得强调:

• 零方差:「任意时刻仅 $O(\log N)$ 激活」是对每条计算分支同时成立的算符恒等式,强于期望值陈述;
• 对照 fanout:fanout 中每条分支都要扳动全部 $2^n-1$ 个开关,激活数恒为 $N-1$。$n=3$ 时两者是 $3$ 对 $7$,优劣尚不分明——桶队的优势是渐近性的,$n=100$ 时为 $101$ 对 $2^{100}-1$,激活占比 $101/(2^{100}-1)\approx 8\times 10^{-29}$。2026 年实验选 $n=2,3$ 是器件规模所限,检验的是机制而非标度。

交互事件计数:${\sum }_{j=1}^{n}j=n(n+1)/2$

要区分”激活的组件数”与”两体交互事件数”两本账:

• 组件口径(GLM PRL 的口径):每条分支被置离等待态的节点恰 $n$ 个,即”扳动的开关数”$={\log }_{2}N$;
• 事件口径:第 $j$ 个比特要穿过 $j-1$ 个已激活节点(每次穿过是一次两体散射),再被前沿吸收(又一次),共 $j$ 个事件;逐比特求和

$$E_{\mathrm{BB}}=\sum _{j=1}^{n}j=\frac{n(n+1)}{2}=\Theta ({\log }^{2}N).$$

等价数法:深度 $\ell$ 的被激活节点”花费”$\ell +1$ 个事件($\ell$ 次通过 $+1$ 次吸收),每层恰一个,求和相同。与 fanout 对比($2N-2$ 个事件):

$n$	$N$	fanout 事件 $2N-2$	桶队事件 $n(n+1)/2$
3	8	14	6
10	$2^{10}$	2 046	55
30	$2^{30}$	$\approx 2.1\times 10^9$	465
100	$2^{100}$	$\approx 2.5\times 10^{30}$	5 050

$n=100$ 处相差约 27 个数量级——这就是”纠缠两体门 $O(N)\to O({\log }^{2}N)$“的出处 GLM 2008 (PRL)。Hong 等按自己的口径统计完整存储调用(地址进树 $+$ 总线读出 $+$ 逆序 uncompute)需对控制节点做 $n(n+5)/2$ 次量子操作,并提出两能级方案把平均操作数压到 $n/2$Hong 2012;与事件口径同为 $\Theta (n^2)$,差别只在计入哪些辅助操作(见 两能级路由器)。

时间账:$\Theta (n^2)$ 步与流水线

第 $j$ 个比特的前沿由第 $j-1$ 个比特定义,进树严格串行:单次相干检索耗时 $\Theta (n^2)$ 个交互步(地址进树 $n(n+1)/2$ $+$ 总线 $n$ $+$ uncompute $n(n+1)/2$),并要求单步错误率显著小于 $1/\Theta (n^2)$——这是该架构最常被诟病的账目 GLM 2008 (PRA)。缓解有二:门级并行化与地址流水线把摊销深度压回 $O(n)$ 层 Paler 2020(见 电路级优化);现代硬件方案(如浙大实验)以量子隐形传态保持层间 $O(\log N)$ 延迟(见 BB-QRAM 实验)。流水线只改善吞吐,噪声账里的 $T$ 不因此减小。

推导三:GLM 误差账 ${\log }_{2}N\cdot \epsilon$

开关口径:从 $(1-\epsilon {)}^n$ 到 $n\epsilon$

模型:每个激活开关每次调用以概率 $\epsilon$ 出错、相互独立;保守假设任一错误毁掉所在分支的输出。分支”全程无错”的概率为 $(1-\epsilon {)}^n$——$n$ 来自推导二的组件口径。二项式展开:

$$(1-\epsilon {)}^n=1-n\epsilon +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}){\epsilon }^2-\cdots \ge 1-n\epsilon ,$$

末步即 Bernoulli 不等式,也正是 union bound 的”预算”读法(一般证明见 评价指标):给 $n$ 个激活开关各分配 $\epsilon$ 预算,失败概率自动 $\le n\epsilon$,无需任何相关性假设。于是每查询总错误率

$$E_{\mathrm{GLM}}=1-(1-\epsilon {)}^n\approx n\epsilon =\epsilon {\log }_{2}N(n\epsilon \ll 1).$$

乘法结构:$N$ 翻倍只让 $n$ 加一、$E$ 只多付一个 $\epsilon$。反解:要求 $E\le \delta$ 需 $\epsilon \le \delta /n$;$\delta =10\%$、$n=100$ 给 $\epsilon \le 10^{-3}$,即 GLM 口号”0.1% 够用”的来源 GLM 2008 (PRA)。

操作口径与 $O(1/n^2)$

若错误不是只挂在 $n$ 个开关上,而是均摊到全部 $\Theta (n^2)$ 个交互事件上(事件口径),则 $E\approx n^2\epsilon$,恒定 $E$ 要求 $\epsilon =O(1/n^2)$。Arunachalam 等转述 GLM 原始主张时用的正是这个口径 Arunachalam et al. 2015。两口径差因子 $n$,但都远优于 fanout 的 $E\approx N\epsilon$(要求 $\epsilon =O(2^{-n})$)。

数值表

$\epsilon$	$N$	$n$	开关口径 $n\epsilon$	精确 $1-(1-\epsilon {)}^n$	事件口径 $n^2\epsilon$
0.1%	$2^{100}$	100	10%	9.52%	10(界空洞)
1%	$2^{10}$	10	10%	9.56%	1(界空洞)
1%	$2^{20}$	20	20%	18.21%	4(界空洞)
1%	$2^{30}$	30	30%	26.03%	9(界空洞)

线性列与精确列之差是二阶项 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right){\epsilon }^2$(如 $\epsilon =0.1\%$、$n=100$:$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{2}\right)\times 10^{-6}\approx 0.5\%$,把 10% 拉到 9.52%)。事件口径列在所有行都 $\ge 1$:招牌数字「0.1%@2^100」依赖开关口径——假定错误只发生在 $n$ 个激活开关上。两口径的分歧正是 Hann 定理与 Arunachalam 负结果的攻击点(编年对账见 十八年时间线)。

关键前提:指数多的等待态必须沉睡

开关口径有一条隐含前提(即上节 GLM 的关键噪声约束 GLM 2008 (PRA)):未被激活的 $2^n-(n+1)$ 个节点整个查询期间不被意外激发——否则它们也须计入预算,朴素修正后 $E\sim 2^n\epsilon T$,韧性消失。这个前提能否放宽,是 2015–2021 年理论的主战场,见推导四。

推导四:Hann 一般噪声界与韧性的真正来源

定理设定

Hann、Lee、Girvin 与 Jiang 考虑最不利设定:全部 $2^n-1$ 个路由器(含等待态)每时间步各经受任意 CPTP 噪声信道(去极化、相干转角、常数范围串扰均可),单操作错误率 $\epsilon$,电路深度 $T=O(\log N)$ Hann et al. 2021。结论:

$$1-F\le 4\epsilon T\log N(\text{混合酉信道;要求 }\epsilon T\log N\le \frac{1}{4}),$$

完全一般信道的常数稍差($A\approx 6-2{\epsilon }_W/\epsilon$)。定理完整陈述与证明骨架见 噪声韧性;这里推导桶队特有的两块:逐层对消与有限纠缠。

逐层对消:错误数目与杀伤半径相消

推导一的 carve 结构给出每层两个数:

• 数目:第 $\ell$ 层($\ell =0,\dots ,n-1$)有 $2^{\ell }$ 个节点;
• 杀伤半径:深度 $\ell$ 节点只在前缀匹配的 $2^{n-\ell }$ 条分支上被激活,故它的一个错误至多波及全部 $N$ 条分支中 $2^{-\ell }$ 的份额。

对照 fanout:每个开关在所有分支上激活(杀伤半径恒为 1),数目 $\times$ 半径逐层相乘发散。桶队中两者逐层精确相消:

$$1-F\sim \sum _{\ell =0}^{n-1}\underset{\text{节点数}}{\underbrace{2^{\ell }}}\cdot \underset{\text{单节点错误预算}}{\underbrace{\epsilon T}}\cdot \underset{\text{分支份额}}{\underbrace{2^{-\ell }}}=\sum _{\ell =0}^{n-1}\epsilon T=\epsilon T{\log }_{2}N,$$

每层只留下常数 $\epsilon T$,与层号无关——标度已现。严格的因子 4 来自把相干错误先用迹距离记账、再换算回保真度时的两次范数放缩(相干错误对 $1-F$ 是二阶小量、对可观测偏差是一阶;换算细节见 评价指标 的相干错误二次律与 噪声韧性)。

$n=3$ 具体化:均匀地址下,根上的一个错误毁掉全部 8 条分支,第三层某节点的错误只毁掉 2 条(份额 $2^{-2}=1/4$)——杀伤半径逐层减半,即逐层对消的微观机制。

数值验算($T=n$):

$n$	$4\epsilon n^2$($\epsilon =10^{-3}$)	$4\epsilon n^2$($\epsilon =10^{-5}$)	$1-F\le 0.1$ 所需 $\epsilon$
10	0.4	$4\times 10^{-3}$	$2.5\times 10^{-4}$
30	3.6(空洞)	0.036	$2.8\times 10^{-5}$
50	10(空洞)	0.1	$10^{-5}$
100	40(空洞)	0.4	$2.5\times 10^{-6}$

对照当前超导路由器保真度 95.3%($\epsilon \approx 4.7\times 10^{-2}$)Miao 2025:$n=50$ 要保真 90% 还差约四个数量级。与 GLM 开关口径相比,Hann 界多付因子 $4n$ 的保守性,买到的是”对任意信道、含等待态退相干成立”。

纠缠熵的显式计算:韧性的物理来源

「韧性的真正来源是路由器间有限纠缠,而非激活门少」可以算成数字。取均匀地址 $|+{⟩}^{\otimes n}$,考察深度 $\ell$ 节点的约化密度阵:在前缀匹配的 $2^{-\ell }$ 份额分支上它被激活(指向态 $L/R$ 各占一半),其余分支保持 $|\mathrm{w}⟩$:

$${\rho }_{\ell }=(1-2^{-\ell })|\mathrm{w}⟩⟨\mathrm{w}|+2^{-\ell -1}|L⟩⟨L|+2^{-\ell -1}|R⟩⟨R|,$$

本征值 $\{1-2^{-\ell },2^{-\ell -1},2^{-\ell -1}\}$。对该节点与其余全部自由度的割,纠缠熵为

$$S_{\ell }=H_2\left(2^{-\ell }\right)+2^{-\ell }\stackrel{\ell \text{大}}{\to }({\log }_2\mathrm{e}\cdot \ell +O(1))2^{-\ell }⟶0\text{(指数衰减)},$$

其中 $H_2$ 为二元熵。$n=3$ 逐层代入:$S_0=1$(根在所有分支激活,完全携带 $x_1$)、$S_1=1.5$、$S_2\approx 1.06$、$S_3\approx 0.67$ 比特——自第一层起逐层递减(根是唯一例外:它总被激活)。深层路由器与整体的纠缠指数小,其错误只波及指数少的分支:这就是逐层对消中 $2^{-\ell }$ 因子的物理身份,也解释了为何两能级化、纠错化、资源态化等改动不破坏韧性——只要不动树上的纠缠结构。2026 年实验实测各层路由比特纠缠熵随深度递减,把这条计算第一次变成测量 Shen et al. 2026(见 误差局域化)。

双能级修正:${\log }^{3}N$ 从哪来

把 qutrit 换成更易实现的两能级路由器(无等待态兜底),错误可沿树向上游泄漏:从路径上每个节点出发,经错误指向的端口可达一条长度 $\le n$ 的上行链;$n$ 个路径节点合计至多 $n^2={\log }^{2}N$ 个节点须悲观计入易错集合,

$$1-F\lesssim 4\epsilon T(\log N+{\log }^{2}N)=O\left(\epsilon T{\log }^{3}N\right),$$

dephasing 噪声下泄漏通道关闭、回到 ${\log }^{2}N$ Hann et al. 2021。综述汇总表”$\epsilon \log N$ 至 $\epsilon {\log }^{3}N$“的两端,恰是 qutrit 理想账与 qubit 保守账 Phalak 2023。

推导五:Grover 预言机下的负结果

right / wrong / no-path:三类错误在树上的身份

Arunachalam 等为桶队电路构造了三类错误 Arunachalam et al. 2015:right(路径内)——激活节点上的门错误,直接污染该分支输出;wrong(路径外误激发)——等待态节点被误激发,当次输出仍正确,但残留激活误导后续比特的接力;no-path(无路径)——地址比特吸收失败,根到叶路径没有 carve 成,查询整体失效。no-path 是主导项,且对纠错最不友好。

从 Regev–Schiff 到 $\epsilon \in o(2^{-n/2})$

桶队用作 Grover 搜索的预言机时,迭代需 $T\approx \frac{\pi }{4}\sqrt{N}=\Theta (2^{n/2})$ 次调用。Regev–Schiff 定理(故障预言机下二次加速消失;证明骨架见 十八年时间线)给出:每次调用以概率 $p$ 故障时,保住二次加速要求

$$\frac{p}{10(1-p)}N\le \sqrt{N}⟺p=O\left(2^{-n/2}\right).$$

第二步把每次调用的故障率 $p$ 换算成单门错误率 $\epsilon$:每次调用有 $m=\Theta (n^2)$ 个可能出错的操作(事件口径,$n(n+1)/2$ 量级),则

$$p=1-(1-\epsilon {)}^m\ge \frac{m\epsilon }{2}(m\epsilon \le 1),$$

(推导:$1-(1-x{)}^m\ge 1-e^{-mx}\ge mx/2$。)合并 $p\lesssim 2^{-n/2}$ 与 $m=\Theta (n^2)$:

$$\epsilon \lesssim \frac{2^{-n/2}}{n^2}\in o\left(2^{-n/2}\right),$$

远比 GLM 的 $O(1/n^2)$ 严苛 Arunachalam et al. 2015。

数值算例与算法分流

$n$	$2^{-n/2}$	$\epsilon \lesssim 2^{-n/2}/n^2$	对照 GLM 事件口径 $1/n^2$
10	$3.1\times 10^{-2}$	$3.1\times 10^{-4}$	$10^{-2}$
30	$3.1\times 10^{-5}$	$3.4\times 10^{-8}$	$1.1\times 10^{-3}$
100	$8.9\times 10^{-16}$	$8.9\times 10^{-20}$	$10^{-4}$

$n=100$ 时与 GLM 口径相差约 16 个数量级。但负结果惩罚的是用法而非器件本身:指数要求来自 $T=\Theta (2^{n/2})$ 次查询的误差线性累积($pT\lesssim 1$)。多项式次查询的算法(HHL 型矩阵求逆、qPCA 型量子机器学习)按 union bound 只需每次调用故障率 $O(1/\mathrm{poly}(n))$,GLM 账本够用、可能免纠错 Arunachalam et al. 2015。同一个 $n=10$ 器件:做搜索预言机要求 $\epsilon \lesssim 3\times 10^{-4}$,做多项式次查询的数据装载则 $10^{-2}$ 量级即可——误差要求是器件-算法的耦合属性,非器件固有标签。

纠错悖论与反转

更棘手的是:给桶队套上传统 CSS 纠错,症状提取每轮须触及全部 $2^n-1$ 个节点——所有组件被纳入主动纠错,“激活门少”的优势在物理层面瓦解,架构退化为 fanout 式 Arunachalam et al. 2015。这段悲观在 2021 年被部分反转:Hann 等证明桶队韧性在纠错框架下依然成立,且硬件效率与逻辑错误韧性反而改善 Hann et al. 2021;论战编年见 鲁棒性论战。

实验验算:错误注入斜率与局域化预测

2025 年浙江大学的三层桶队实验(8 叶子)给出机制级验算 Shen et al. 2026:向第三层一个路由比特注入可调去极化误差($e_d=4p/3$)后,被查询路径(经过该节点的分支)保真度以斜率 $-0.2549\pm 0.0108$ 近线性下降;三个未查询路径平均斜率 $-0.0211\pm 0.0069$;距被注入节点最远的分支斜率 $-0.0053\pm 0.0129$,在误差棒内近乎为零。

与推导四的预测对账:第三层节点只在前缀匹配的 $2^{-2}=1/4$ 分支上激活,局域化预测:(i) 被注入节点所在分支陡降;(ii) 其余分支只经残余耦合(串扰、SPAM、错误传播)缓慢退化;(iii) 理想极限下两组斜率比无穷大。实测斜率比 $|-0.2549|/|-0.0053|\approx 48$、对未查询路径平均约 12 倍:方向与量级均与局域化一致,有限比值对应非理想局域;若桶队如 fanout 全局耦合,各分支斜率应同量级(比值 $\approx 1$)——被数据排除。同期实测的逐层纠缠熵递减与 $S_{\ell }$ 计算同构。「有限纠缠 $=$ 韧性」由此完成从定理到测量的闭环(完整账目见 BB-QRAM 实验 与 误差局域化)。

三种原理性实现

GLM 长文给出三种实现,均止步于 proof-of-principle、无数值保真度GLM 2008 (PRA):

1. 光学 fanout:光晶格或磁光阱中的原子存地址,单光子总线经 CNOT 级联(基于 Jaynes-Cummings 循环跃迁)展开到 $2^n$ 个空间模式;
2. 相位门 fanout:$2^n$ 个腔加条件相移器,要求分束器透过率 $\tau \approx 2^{-n}$(指数小),可由超导量子比特加微波腔实现——腔的相干时间(微秒级)远优于电荷量子比特(纳秒级);
3. 耦合腔 bucket-brigade:耦合腔网络中的陷俘原子作 qutrit,能级 $|\mathrm{zero}⟩/|\mathrm{one}⟩/|\mathrm{up}⟩/|\mathrm{down}⟩$,Raman 跃迁的吸收-重发光子实现存储与路由。

GLM 还指出该架构对经典 RAM 同样把激活晶体管数降到 $O(\log N)$、可降低解码能耗,但论文自承当前 RAM 的功耗主要在存储单元泄漏与刷新,寻址能耗尚非瓶颈。

定位与边界

bucket-brigade 之所以成为”标准架构”,不在于任何单项指标最优,而在于它在深度、资源与噪声三方面同时给出可接受的账目,并为后续所有创新(虚拟化、胖树、资源态化)提供了共同的语义基底。综述的判断是:QRAM 的出路不在单一架构,而 bucket-brigade 的”器件韧性”是三重组合中已被严格证明并实验证实的那一环。

三条边界须同时记牢:

• 运行时账不是器件账:多对数的是每次查询的激活门;器件本身仍需 $2^n-1$ 个节点、$O(N)$ 比特与 $O(N\log N)$ 总门数 Hann et al. 2021;
• 优势是渐近的:$n=3$ 时激活占比 3/7,与 fanout 差距有限;小规模实验检验的是机制(接力、uncompute、局域化)而非标度;
• 口径依赖:主动/被动与能量口径的质疑未被韧性定理消解,见 成本口径。

延伸阅读

• 两能级路由器
• 噪声韧性
• 误差局域化
• BB-QRAM 实验
• QRAM 总览
• 十八年时间线
• 评价指标
• fanout 架构