异构纠错 QRAM

Singal 与 Smith 把 bucket-brigade 的韧性结构转化为分层纠错工程:码距随层递减的表面码,使任意尺寸 QRAM 的查询不保真度被常数上界束缚。

机制与记号回顾

树的不对称:纠错强度的设计自由度

bucket-brigade(桶队;机制与三本误差账见 bucket-brigade 架构)的树有一个天然的不对称:第 $\ell$ 层路由器只出现在 $N\cdot 2^{-\ell }$ 个分支中——树根的错误影响全树,树叶的错误只影响单个分支 Hann 2021。既然 Hann 的韧性定理保证”好分支加权比例”逐层相乘、逐层可分解,那么各层对查询保真度的敏感度就是分层的:近根一个逻辑错误毁掉 $2^{-\ell }$ 份额的分支,近叶只毁常数个。Singal 与 Smith 据此提出可变强度纠错(variable-strength error correction):对靠近树根的路由器用大码距表面码强纠错、靠近叶子的用小码距轻纠错,码距按层分布取线性剖面 $f(\ell )=n-\ell +1$,使任意尺寸 QRAM 的查询不保真度被常数上界束缚,且不要求物理硬件质量随规模改进 Singal 2025。

这条路线针对的痛点是:均匀纠错(所有比特同一码距)资源上不可行——容错资源红线 给出 8 GB 存储毫秒级查询需 $10^{15}$ 物理比特的悲观标杆;而蒸馏–传态路线(蒸馏–传态协议)虽省逻辑资源,却要求物理器件质量随 $n$ 提升。异构纠错在这两极之间取第三条路:器件要求恒定、资源为 $N$ 的常数倍。

记号与表面码输入

• $N=2^n$:存储条目数;$\ell \in \{0,\dots ,n-1\}$:层号(根 $\ell =0$)。
• 表面码逻辑错误率(Fowler 等的经验律):${ϵ}_L={ϵ}^{\prime }(p^{\prime }{)}^{d_e}$,其中 $p^{\prime }=p/p_{\mathrm{th}}$ 是物理错误率与阈值之比,$d_e=(d+1)/2$(奇 $d$)或 $d/2$(偶 $d$),${ϵ}^{\prime }=0.03$ 为经验常数。
• 码距剖面:$d(\ell )=f(\ell )=n-\ell +1$,故 $d_e(\ell )=\lceil (n-\ell +1)/2\rceil$;指标换元 $d=n-\ell +1$ 后,根端 $d=n+1$、叶端 $d=1$,乘积跑遍 $d=1,\dots ,n+1$。
• 打包效率:lattice surgery 表面码取 $3d^2$ 物理比特/逻辑比特(Fowler–Gidney 口径)。
• $T_d$:码距 $d$ 档组件在一次查询中须保持相干(被主动保护)的步数;${ϵ}^{\prime }$、$c$、$s$:逻辑 CSWAP/SWAP 的时间单位(码周期计)。

可变强度纠错依赖表面码的两个性质:码距可经 code deformation 逐补丁调节、lattice surgery 使不同码距补丁可高效缝合。论文强调该架构对任何具有指数错误压制的拓扑码都友好,表面码只是分析载体 Singal 2025。

推导一:均匀纠错为何让桶队退化为 fanout

物理桶队的活动账

无纠错桶队的核心优势是”激活门少”,且这是逐分支恒等式:每条计算分支上,被置离等待态的节点恰 $n$ 个、两体交互事件 ${\sum }_{j=1}^{n}j=n(n+1)/2$;其余 $2^n-(n+1)$ 个节点整个查询期间零操作(推导见 bucket-brigade 架构)。活动账按 $O(n^2)$ 事件、$O(n)$ 组件计——这是 GLM 账本 $n\epsilon$ 与 Hann 界 $4\epsilon T\log N$ 里 $\log N$ 因子的物理来源。

编码后”等待”不再被动:逻辑态把全部节点物理激活

Arunachalam 等指出:对桶队电路施加传统量子纠错,会使架构失去”激活门少”这一首要优势,因为所有组件都必须被主动纠错 Arunachalam 2015。机制可以逐步展开:

1. 每个节点变成一个码块。 码距 $d$ 的表面码块含 $m=3d^2$ 个物理比特;等待态 $|\mathrm{w}⟩$ 不再是一个”放着不动就没事”的物理能级,而是码空间中的一个逻辑态 $|\mathrm{w}{⟩}_L$,由 $m$ 个持续经受错误率 $p$ 的空闲信道的物理比特承载。
2. 逻辑信息会自然腐烂。 无主动稳定子测量时,块内物理错误随机累积;错误权重一旦越过 $d_e$,逻辑信息即可能被不可逆破坏。因此每块必须每码周期运行综合征提取与解码——与”该节点本查询是否被路径激活”完全无关。
3. 活动账被均匀化。 综合征提取是均匀砖墙电路:每周期对每块施加 $\Theta (d^2)$ 个双比特门与测量。于是一次 $T$ 步查询的物理活动门数为 $\Theta (N{d}^{2}T)$,与 fanout(每查询扳动全部 $N$ 个开关)同阶;树的动态不对称在物理层消失。

联合界口径下的量化退化

退化可以量化。若不做任何错误局域化假设、按最坏情况记账——任何一块的逻辑错误都可能经 no-path 型失败或综合征网络传播毁掉查询——则 union bound 给出

$$P_{\mathrm{fail}}\le (2N-1)T{ϵ}_L\le \delta ⟹{ϵ}_L\le \frac{\delta }{(2N-1)T},$$

逻辑错误率须随 $N=2^n$ 指数小——正是 fanout 型预算(对照 成本口径 中 fanout 每查询 $\approx N\epsilon$ 的账)。用码距买:$(p^{\prime }{)}^{d_e}\le \delta /({ϵ}^{\prime }(2N-1)T)$ 需 $d=\Theta (n)$,每块 $3d^2=\Theta (n^2)$ 物理比特,全树 $\Theta (N{n}^2)$。粗估($n=36$、$d\approx 20$):每路由器约 $1200$ 物理比特、全树 $\sim 10^{14}$ 量级,与红线数字同域(本词条估算)——均匀纠错的”天文数字”由此而来。

Hann 逻辑界保留的与不保留的

Hann 等同时证明了反转面:桶队韧性在纠错框架下依然成立,逻辑不保真度满足同型界

$$1-F_L\le 4{ϵ}_L{T}_L\log N,$$

即以逻辑错误率 ${ϵ}_L$ 为自变量的多对数标度保留,且硬件效率与对逻辑错误的韧性反而改善 Hann 2021。两条结论合读,退化的是活动账与资源账,不是标度律:均匀纠错把全部 $2N-1$ 块都做到最大码距,而”最大码距”只由最挑剔的树根决定——深层路由器花着根级的代价,干着影响 $2^{-\ell }$ 份额分支的活。异构纠错的动机由此精确化:既然 Hann 递推允许逐层分配预算,码距就该跟踪敏感度逐层分配。

推导二:逐层误差预算与码距设计空间

从 Hann 递推到逐层预算

误差分析直接建立在 Hann 的递推之上 Hann 2021:

$${\mathbb{E}}_{i+1}[\Lambda ]=(1-{ϵ}_{i+1}{)}^{T_{i+1}}{\mathbb{E}}_i[\Lambda ],$$

其中 $\Lambda$ 为错误构型下好分支的加权比例,${ϵ}_i$ 为第 $i$ 层路由器的每步错误率、$T_i$ 为该层须相干的步数。数目与份额逐层相消($2^i$ 个节点各波及 $2^{-i}$ 份分支),所以每层只剩一个乘性因子;均匀情形 ${ϵ}_i=ϵ$、$T_i=T$ 复原 ${\mathbb{E}}_n[\Lambda ]=(1-ϵ{)}^{nT}$ 与 $1-F\le 4ϵT\log N$(逐层对消的完整推导见 一般噪声下的韧性 与 误差局域化)。

预算视角:整个乘积保持在常数以上,充分条件是每层 $(1-{ϵ}_i{)}^{T_i}\ge c_0>0$,即每层错误预算 ${ϵ}_i{T}_i=O(1)$。均匀码距的问题就是把这一预算一刀切。

均匀码距的账

全部层取同一 ${ϵ}_L={ϵ}^{\prime }(p^{\prime }{)}^d$、查询时间 $T_L=\Theta (n)$:

$$1-F\approx 4{ϵ}^{\prime }(p^{\prime }{)}^{d_e}{n}^2\le \delta ⟹d_e\ge \frac{\log ({ϵ}^{\prime }{n}^2/\delta )}{\log (1/p^{\prime })}⟹d=\Theta (\log n),$$

即常数不保真度要求码距随 $n$ 对数增长,全树开销 $\Theta (N{\log }^{2}n)$,且整数码距使之呈台阶式增长。渐近上这只是 $N$ 乘一个慢变因子——真正的浪费在于结构:树根的预算被平摊给全部层,深层节点用着远超所需的码距。

变码距:把 $K(n)$ 写成泛函

异构方案把每层错误率取为表面码逻辑值 ${ϵ}_i={ϵ}^{\prime }(p^{\prime }{)}^{d_e}$、$d_e=\lceil (n-i+1)/2\rceil$。按码距 $d=n-i+1$ 换元(叶端 $d=1$ 对应叶端存储/总线单元的最低保护档):

$$\begin{array}{rl}{\mathbb{E}}_n[\Lambda ]& =\prod _{i=0}^n(1-{ϵ}_i{)}^{T_i}=\prod _{d=1}^{n+1}(1-{ϵ}^{\prime }(p^{\prime }{)}^{d_e}{)}^{T_d}.\end{array}$$

首阶近似。 记 $x_d={ϵ}^{\prime }(p^{\prime }{)}^{d_e}$。经验值 ${ϵ}^{\prime }=0.03$、$p^{\prime }<1$ 保证每层 $x_d\ll 1$,于是

$$\ln [(1-x_d{)}^{T_d}]=T_d\ln (1-x_d)=-T_d{x}_d+O(T_d{x}_d^2)\approx (p^{\prime }{)}^{d_e}{T}_d\ln (1-{ϵ}^{\prime }),$$

逐层连乘:

$${\mathbb{E}}_n[\Lambda ]\approx (1-{ϵ}^{\prime }{)}^{K(n)},K(n)=\sum _{d=1}^{n+1}(p^{\prime }{)}^{d_e}{T}_d.$$

(被忽略的项相对量级为 $O((p^{\prime }{)}^{d_e})$;该近似只要求单层 $x_d\ll 1$,不要求 $K$ 小。)

代回保真度不等式

Hann 的保真度下界为 $\mathbb{E}[F]\ge [2{\mathbb{E}}_n[\Lambda ]-1{]}^2$(要求 ${\mathbb{E}}_n[\Lambda ]\ge 1/2$)。令 $y=(1-{ϵ}^{\prime }{)}^{K(n)}$:

$$1-F\le 1-(2y-1{)}^2=4y(1-y)\le 4(1-y)\le 4{ϵ}^{\prime }K(n),$$

第三步用 $y\le 1$,末步用 Bernoulli 不等式 $1-(1-{ϵ}^{\prime }{)}^K\le K{ϵ}^{\prime }$——因子 4 的结构与 Hann 界同源 Singal 2025。于是全部问题聚焦为一个泛函:$K(n)={\sum }_d(p^{\prime }{)}^{d_e}{T}_d$ 收敛还是发散。

两个极限的一致性检查

• 均匀码距:$d_e$ 与层无关,提出求和得 $K(n)=(p^{\prime }{)}^{d_e}{\sum }_d{T}_d\sim (p^{\prime }{)}^{d_e}{n}^2\to \infty$——退回 $O(n^2)$ 基线,与推导一闭环;
• 变码距 + $T_d=O(\mathrm{poly}(d))$:指数因子 $(p^{\prime }{)}^{d_e}$ 压倒多项式 $T_d$,$K(n)\to K$ 为常数,$1-F\le 4{ϵ}^{\prime }K$ 与 $N$ 无关。

关键在于 $T_d=O(\mathrm{poly}(d))$ 不是自动满足的调度性质:GLM 原始调度(地址全部设完、总线最后单独走树)让每个节点相干 $\Theta (n)$ 步,则任意层给 $K(n)\gtrsim (p^{\prime }{)}^{d_e}\cdot n$,$K$ 线性发散,异构优势清零 Singal 2025。“让码距 $d$ 的组件只相干 $O(\mathrm{poly}(d))$ 步”因此是一条设计约束——推导四的两种实现就是它的两个解。

码距剖面旋钮

线性剖面 $f(\ell )=n-\ell +1$ 只是选择之一。更陡的 $f(\ell )=(n-\ell +1{)}^k$($k>1$)使 $K$ 的常数更小、代价是根块变大(根码距 $(n+1{)}^k$、根块 $3(n+1{)}^{2k}$ 物理比特,仍为 $o(N)$,可忽略);更平的($k<1$)省比特,但 $K$ 的常数急剧膨胀(本词条分析:对任意 $k>0$,尾项 $p^{\prime d^k/2}\mathrm{poly}(d)$ 衰减快于任何多项式的倒数,和式仍收敛,故 $K$ 恒为常数,常数随 $k\to 0$ 爆炸)。论文取线性,理由是简洁与效率;这也说明异构方案在一个设计空间上运营,而非单点。

迷你算例:$n=3$ 的异构树

$N=8$:三层路由器码距依次为 $d=4,3,2$($d_e=2,2,1$),叶端单元 $d=1$。取 $p^{\prime }=0.1$:根与中层 ${ϵ}_L=0.03\times 10^{-2}=3\times 10^{-4}$、深层 ${ϵ}_L=3\times 10^{-3}$、叶端单元 $3\times 10^{-2}$。三个数量级的阶梯就挂在一棵 7 节点的小树上;树越大,阶梯越长(见数值算例 A),但每层预算 ${ϵ}_i{T}_i$ 的形状不变。

推导三:$K(n)$ 收敛的定量分析

配对求和:封闭形

$d_e=\lceil d/2\rceil$ 使相邻奇偶对 $d=2k-1,2k$ 共享 $d_e=k$,故任何 ${\sum }_{d}g(d)(p^{\prime }{)}^{d_e}$ 都可配对成标准几何–幂级数(本词条推导;记 $x=p^{\prime }$):

$$\sum _{d\ge 1}(p^{\prime }{)}^{d_e}=\sum _{k\ge 1}2x^k=\frac{2x}{1-x},\sum _{d\ge 1}(4d-3)(p^{\prime }{)}^{d_e}=\sum _{k\ge 1}(16k-10)x^k=\frac{x(6+10x)}{(1-x{)}^2},$$

第二式由 ${\sum }_k{x}^k=x/(1-x)$ 与 ${\sum }_{k}k{x}^k=x/(1-x{)}^2$ 合并。尾项同样可控:对 $d>n+1$,相邻项比值 $\to \sqrt{p^{\prime }}<1$,故

$$\sum _{d>n+1}(p^{\prime }{)}^{d_e}\mathrm{poly}(d)\le \frac{(p^{\prime }{)}^{\lceil (n+2)/2\rceil }\mathrm{poly}(n)}{1-\sqrt{p^{\prime }}}$$

——每多给两层码距,尾项缩 $p^{\prime }$ 倍,这就是”指数压倒多项式”的定量形态。

数值:$T_d=d^2$ 口径的收敛表

取演示口径 $T_d=d^2$(理想调度,$O(\mathrm{poly}(d))$ 的代表;本词条约定)、$p^{\prime }=0.1$:

$n$	$K(n)={\sum }_{d=1}^{n+1}(0.1{)}^{d_e}{d}^2$	$1-F\le 4{ϵ}^{\prime }K$
4	0.7750	0.0930
9	0.82411	0.09889
14	0.824414	0.098930
29	0.824417	0.098930
99	0.824417	0.098930

$K$ 在 $n\approx 14$ 后前五位稳定、$n\approx 20$ 后小数点后六位逐位不动:界在 $n=20$ 与 $n=99$ 处逐位相同——“任意尺寸常数不保真度”在这张表上是可逐位验证的陈述,不是渐近修辞。

保守口径:两种实现的 $K$

把推导四的实际调度账代入,收敛依旧、常数变大:

• FT-Hetero(调度见推导四,$T_d=\Theta (d^3)$):

$$1-F\le 4{ϵ}^{\prime }\sum _{d=1}^{n+1}{p}^{\prime d_e}(d-1)\sum _{d^{\prime }=2}^d(d^{\prime }+1)[2d^{\prime }c+s]\le 4{ϵ}^{\prime }{K}^{\prime },$$

内和 $\Theta (d^3)$、项 $\sim p^{\prime d/2}{d}^4$ 收敛。取 $c=s=1$、$p^{\prime }=0.1$:$K^{\prime }\to 7.60$,界 $1-F\le 0.91$——常数、但数值上松;界的用途是断言”不随 $N$ 增长”,紧致数值由逻辑级模拟补足 Singal 2025。

• BB-Hetero 保守账(调度见推导四,$T_i=2nc(1+4(d-1))$):

$$K=2nc\sum _{d=1}^{n+1}(4d-3)(p^{\prime }{)}^{d_e}\stackrel{n\to \infty }{\to }2nc\cdot \frac{p^{\prime }(6+10p^{\prime })}{(1-p^{\prime }{)}^2},$$

$p^{\prime }=0.1$ 时 $K\to 1.73nc$、$1-F\le 0.207nc=O(n)$。线性发散全部来自”部分并行步按最大码距 $n$ 计解码周期”的保守记账,而非操作数本身;论文的逻辑级模拟显示实际标度为常数 Singal 2025。

推导四:两种实现如何把 $T_d$ 压成 $\mathrm{poly}(d)$

FT-Hetero:整寄存器同时路由(码距序调度)

约束链有三环:码距 $d$ 的逻辑操作需 $d$ 个码周期解码;想让大 $d$ 操作尽早完成;总线若等地址设完再走,又是 $O(n)$ 尾步。FT-Hetero(Fat-Tree 启发;吞吐视角的同名架构见 Fat-Tree QRAM,但目的不同——那里用复制买查询级并行,这里用”整地址寄存器 + 总线同时路由”把大码距操作前置)的解法是让每个节点持有随层递减的寄存器(第 $i$ 层每节点 $n-i+2$ 个逻辑比特),地址比特一路下行逐层被吸收。

层 $j$ 组件的相干时间账($c$、$s$ 为码距 $n-i+1$ 的 CSWAP/SWAP 时长):

$$T_j=\sum _{i=j}^{n-1}[(n-i+2)[2(n-i+1)c]+(n-i+1)s],$$

第 $j$ 层节点须参与所有更深层的操作,逐项求和;换元 $d=n-i+1$ 得 $T_d={\sum }_{d^{\prime }=2}^d(d^{\prime }+1)[2d^{\prime }c+s]=\Theta (d^3)$——恰好是收敛段要求的 $\mathrm{poly}(d)$。

多地址比特修正。 FT 中错误不只挂在路由决策比特上:第 $i$ 层节点持有的 $n-i$ 个在途地址比特任一出错,会随地址向下传播、污染整棵子树,故该层的”无错因子”须对全部地址比特取联:

$${\mathbb{E}}_i[\Lambda ]=(1-{ϵ}^{\prime }{)}^{(n-i)T_{n-i+1}}{\mathbb{E}}_{i-1}[\Lambda ],$$

指数上的乘子 $(n-i)$ 正是 $K^{\prime }$ 中 $(d-1)$ 因子的来源;它只是多项式加权,被 $(p^{\prime }{)}^{d_e}$ 的指数衰减吸收,不影响收敛 Singal 2025。

查询深度。 每个地址比特历经逐层递减码距的操作,深度 ${\sum }_{d\le n}O(d)=O(n^2)$——比 BB 的 $O(n)$ 慢,但不伤保真度:多出的时间只通过 $T_d=O(d^3)$ 进入收敛的 $K$。

qutrit 与 qubit 的分野。 上述 $O(1)$ 界属 qutrit 路由器(可用每路由器两个纠错比特实现);换成单比特路由器,错误可经未指向的端口向上游传播进好分支——Hann 无纠错账里 ${\log }^{3}N$ 的同一机制(见 一般噪声下的韧性、两能级路由器)。对可传播集合($O(n^2)$ 个节点)保守取传播概率 1:

$$\delta =\sum _{r,t}{ϵ}_r=\sum _{d=1}^{n+1}(n-d){ϵ}_d{T}_d,$$

FT 的 $T_d=\Theta (d^3)$、层内多地址比特再折进 ${ϵ}_d^{\prime \prime }=1-(1-{ϵ}_d{)}^{d-1}\approx (d-1){ϵ}_d$,得 $\delta \approx n{ϵ}^{\prime }{\sum }_{d}O(d^4)p^{\prime d_e}-\cdots =O(n)$——单比特异构实现的上界退化为 $O(n)$(qubit 版 $T_d$ 口径下同)。等待态的兜底价值在纠错语境下依然存在 Hann 2021。

BB-Hetero:地址串行、总线随行

FT 的代价是 $O(n^2)$ 深度与大寄存器。BB-Hetero 回到 Hann 型电路的串行基座:每路由器 3 个逻辑比特(路由决策、在途地址、在途总线),地址比特串行进树,而总线随行——与地址同层移动,消除原调度里总线单独走树的 $O(n)$ 尾步(避免全部层为此拉长相干时间)。互斥路由器集合上的路由步可并行(Hann 电路的并行基座),深度回到 $O(n)$;代价是部分并行步的操作须按最大码距 $n$ 计解码周期,保守估计层 $i$ 相干时间

$$T_i=2nc(1+4(n-i))=2nc(1+4(d-1)),$$

代入即推导三的 $O(n)$ 界。论文强调保守性全部来自地址装载步的码周期记账,模拟证实实际为常数标度 Singal 2025。

逻辑级蒙特卡洛模拟(经典可模拟的 SWAP/CSWAP 电路,每并行层按其中最大码距次数施加 bit/phase-flip Kraus 算子)验证:两种实现的 qutrit 版不保真度均被常数上界束缚,BB-Hetero 的 $O(n)$ 不现于数据;单比特版呈 $\sim O(n)$,与 Appendix A 的 $\delta =O(n)$ 一致;均匀纠错基线重现 $O(n^2)$(qutrit)与 $O(n^3)$(qubit)标度 Singal 2025。

推导五:比特账:192N、108N 与 153N、82N

默认剖面的两个和式

打包效率 $3d^2$。FT 中层 $i$ 有 $2^i$ 个节点、每节点 $n-i+2$ 个逻辑比特、码距 $d=n-i+1$:

$$M_{\mathrm{FT}}=3\sum _{i=0}^n{2}^i(n-i+2)(n-i+1{)}^2.$$

换元 $j=n-i$(则 $2^i=N/2^j$)并令 $n\to \infty$:

$$M_{\mathrm{FT}}=3N\sum _{j=0}^{\infty }\frac{(j+2)(j+1{)}^2}{2^j}=3N\sum _{j\ge 0}\frac{j^3+4j^2+5j+2}{2^j}.$$

四个标准幂级数在 $x=\frac{1}{2}$ 处:$\sum x^j=2$、$\sum j{x}^j=2$、$\sum j^2{x}^j=6$、$\sum j^3{x}^j=26$。故

$$M_{\mathrm{FT}}=3N(26+4\cdot 6+5\cdot 2+2\cdot 2)=3N\cdot 64=192N,$$

渐近标度与裸 BB 电路相同,只多一个常数因子——常数的代价全部记在表面码头上。BB-Hetero 每路由器 3 个逻辑比特、码距同剖面:

$$M_{\mathrm{BB}}=9\sum _{i=0}^n{2}^i(n-i+1{)}^2=9N\sum _{j\ge 0}\frac{(j+1{)}^2}{2^j}=9N(6+2\cdot 2+2)=108N.$$

两式的有限 $n$ 值从下方逼近常数:$n=10$ 时 $184.8N$ 与 $106.5N$,$n=20$ 时已到 $192.0N$ 与 $108.0N$。

奇数对剖面:免费省 20%

$d_e(2k)=d_e(2k-1)=k$:相邻偶奇对错误率全同。于是把默认剖面 $1,2,3,4,5,6,\dots$ 换成 $1,1,3,3,5,5,\dots$,$K(n)$ 的每一项分毫不动(全部错误分析与界照用),而每对层的比特从平均 $[(2k{)}^2+(2k-1{)}^2]/2$ 降到 $(2k-1{)}^2$,每对省 $4k-1$。数值积分两种实现的比特数得 $M_{\mathrm{FT}}\to 153N$、$M_{\mathrm{BB}}\to 82N$——约 20% 的纯折扣,保真度零变化 Singal 2025。

数值算例

算例 A:逐层阶梯($n=10$,$p^{\prime }=0.1$)

层 $\ell$	码距 $d$	$d_e$	${ϵ}_L={ϵ}^{\prime }(p^{\prime }{)}^{d_e}$
0(根)	11	6	$3\times 10^{-8}$
1	10	5	$3\times 10^{-7}$
2	9	5	$3\times 10^{-7}$
3	8	4	$3\times 10^{-6}$
4	7	4	$3\times 10^{-6}$
5	6	3	$3\times 10^{-5}$
6	5	3	$3\times 10^{-5}$
7	4	2	$3\times 10^{-4}$
8	3	2	$3\times 10^{-4}$
9	2	1	$3\times 10^{-3}$

读法:每降两层错误率升一个数量级($\times 1/p^{\prime }$ 每两层,即 $\times \sqrt{1/p^{\prime }}$ 每层);相邻层共享码距——这正是奇数对剖面的来源。叶端 $d=1$ 档(存储/总线单元)错误率 $3\times 10^{-2}$,是全树最弱保护档,但其错误只毁单个分支。

算例 B:$K$ 收敛

见推导三的表:$T_d=d^2$、$p^{\prime }=0.1$ 口径下 $1-F\le 0.0989$ 对 $n=14$ 与 $n=99$ 逐位相同。

算例 C:均匀 vs 异构的匹配保真度($n=30$,本词条估算)

口径注明:$T_d=d^2$(理想调度)、均匀基线 $1-F\approx 4{ϵ}_L{n}^2$($T_L=n$)、$p^{\prime }=0.1$、打包 $3d^2$、均匀基线每路由器 3 逻辑比特($18d^{2}N$)。

• 异构界(算例 B):$1-F^{\ast }\approx 0.099$;
• 均匀匹配:${ϵ}_L\le 0.099/3600=2.75\times 10^{-5}$,即 $(0.1{)}^{d_e}\le 9.2\times 10^{-4}$,故 $d_e\ge 4$、$d^{\ast }=7$($d=6$ 给 ${ϵ}_L=3\times 10^{-5}$、$1-F=0.108$,差一步);
• 均匀比特 $18\cdot 49N=882N$ 对异构 $82N$–$108N$:约 8–11 倍。

论文按其模拟保真度与查询时间模型匹配,得 depth-30 约 $5\times$、误差标度平方级改善 Singal 2025——与本估算同向同量级,差额在常数口径。另须注意台阶效应:整数码距令均匀开销随 $n$ 阶梯跳跃($d^{\ast }$ 每进一档,比特按 $d^2$ 跳升),异构曲线平坦;规模越大,差距只会拉大。

算例 D:规模换算($N=2^{30}\approx 1.07\times 10^9$)

方案	物理比特
BB-Hetero(优化剖面 $82N$)	$8.8\times 10^{10}$
BB-Hetero(默认 $108N$)	$1.16\times 10^{11}$
FT-Hetero(优化 $153N$ / 默认 $192N$)	$1.6$–$2.1\times 10^{11}$
均匀基线(本词条口径 $d^{\ast }=7$,$882N$)	$9.5\times 10^{11}$
[[ft-resource-redline	容错资源红线]](8 GB 全电路口径)

末两行不可直接对表:红线把完整容错查询电路(含 T 蒸馏与调度)嵌入表面码,异构核算只计 QRAM 本体逻辑比特 $\times 3d^2$;共同的定性结论是均匀纠错落在 $10^{14}$–$10^{15}$ 域、异构压到 $10^{11}$ 域。

与其他容错路线对照与组合

路线	查询时间	量子比特	不保真度	所需物理错误率
FT-Hetero	$O(n^2)$	$O(N)$	$O(1)$	$O(1)$
BB-Hetero	$O(n)$	$O(N)$	$O(1)$	$O(1)$
均匀纠错 BB	$O(n)$	$O(N)$	$O(n^2)$	$O(1)$
蒸馏–传态	$O(n)$	$O(n)$	$O(1)$	$O(n^{-2})$

对比勾勒出”多比特换好比特 vs 好比特换少比特”的取舍:蒸馏–传态逻辑资源最省但要求器件质量随 $n$ 提升(每组件错误 $O(1/n^2)$),异构纠错器件要求恒定(低于阈值即可)但资源约 $82$–$192N$ Singal 2025。

异构 + 蒸馏–传态。 论文明确建议组合:异构的错误标度满足蒸馏协议对输入保真度的要求 Singal 2025。展开(本词条推演):蒸馏–传态协议 的瓶颈是物理器件——BB 器件供态须 $\ge 1/\mathrm{poly}(n)$ 保真度、组件错误随规模收紧至 $O(1/n^2)$;异构器件对任意 $n$ 给常数查询不保真度,蒸馏输入的下界与规模无关,迭代样本数 $O((1-F)/{\epsilon }_{\mathrm{dist}})$ 的常数不再恶化。分工清晰:异构管器件”够用”,蒸馏管查询”任意好”。

异构 + 资源态/Clifford 接口。 异构对任何指数压制的拓扑码通用;而 Clifford 化容错接口 显示资源态 QRAM 的在线查询全为 Clifford 与单比特测量,对 CSS 码横向容错、免魔态注入、免中途综合征提取。组合读法(本词条推演):变码距补丁经 lattice surgery 缝合,无需跨码距容错门;非 Clifford 成本全部移入离线 QRAM 工厂。异构纠错保护器件(树本体),资源态协议保护查询执行——作用于不同层,可叠加:工厂以变码距补丁离线制备资源态,在线测量横向于各码距层完成。

异构 + 量子行走。 论文 Appendix C 用同一模拟器验证量子行走 QRAM 与 BB 同为平方错误标度(见 量子行走 QRAM)——异构化对其同样适用;行走的对数级主动资源与异构的常数器件要求是另一对互补。

讨论:适用边界与局限

• 常数因子大。 论文自承 $82$–$192$ 倍于裸架构,主因是表面码的 $3d^2$ 打包;异构对更高效的拓扑码开放,码的改进可直接兑换成常数。
• 界松、模拟不完整。 BB-Hetero 的 $O(n)$ 是保守上界(实测常数);模拟在逻辑级、只用 bit/phase-flip Kraus 信道,每并行层按最大码距次数施加错误,未做完整电路级仿真。
• 活动与能量口径未解。 异构没有回应 成本口径:激活门、干预与能量 的批判:全部 $2N-1$ 个节点仍须主动纠错——这正是推导一中”退化为 fanout”的部分。异构缓解的是资源梯度(码距跟踪敏感度),不是活动面积;对被动性/能耗的质疑依旧成立 Arunachalam 2015。
• 资质换规模。 器件质量要求从”支撑规模 $N$“降为”支撑某个小规模查询的保真度”:物理比特只要低于阈值,码距分配负责把任意规模的查询保真度钉在常数——这是”不要求物理硬件随规模改进”的准确含义 Singal 2025。
• 适用判据。 数据密集、高查询次数的场景收益最大;多项式次查询、对 $1-F$ 要求宽松的应用可能根本免纠错(四象限讨论见 一般噪声下的韧性)。

延伸阅读

• 容错资源红线
• 一般噪声下的韧性
• 蒸馏–传态协议
• Fat-Tree QRAM
• Clifford 化容错接口
• 资源态 QRAM
• 误差局域化
• 成本口径:激活门、干预与能量