边界:NISQ 可训练近似 QRAM

NISQ 时代的"近似 QRAM"用可训练参数化电路以损失函数逼近地址–数据映射:无持久存储、或不支持相干叠加查询,本站仅作边界记录。

能力边界

Phalak 等提出 PQC 式近似 QRAM:以地址为输入、数据为输出,两步联训辅助与主电路 Phalak 2022。作者自述该架构”只能顺序访问数据”,读取输出的是测量概率分布,并不在地址叠加上做相干查询;二进制存储实验中,地址线从 2 增至 9 条时平均汉明距离从 0 升至 3.97(约占位数 45%),正确率从 100% 崩至 0.58%;凝聚层次聚类预处理后,9 地址线正确率也仅回升到 10.1%(4 条以内保持 100%)。

后续工作引入门剪枝与地址比特 Hadamard 叠加并行加载,并在 IBM Brisbane 真机上验证:剪枝阈值 $3\pi /10$ 时 Digits 数据集电路深度 399→129、门数 928→277(剪除 65.18%),分类精度恢复 100% Sajadimanesh 2026。但该路线的本质仍是可训练的数据编码/纠缠电路:“存储”是训练出来的参数,无持久记忆、每次访问需重执行;数据集很小(不超过 256 样本),且只报告分类精度,不报告查询保真度本身。

为什么记为边界案例

对照 QRAM 的操作定义:近似 QRAM 没有路由树与存储单元阵列,不做 $|\mathbf{x}⟩|0⟩\to |\mathbf{x}⟩|D_{\mathbf{x}}⟩$ 的幺正读出;其”地址叠加”只用于并行数据加载而非相干查询。它与 QRAM 的差别类似函数拟合与存储器:前者是算出来的,后者是存着的。作为 NISQ 数据编码策略,这类电路自有价值(为量子机器学习提供轻量加载器),但把 “QRAM” 之名用于它,会掩盖真正的器件难题——路由树的相干性、噪声标度与容错接口。

值得注意的是,Jaques–Rattew 定理 5.2 已证明连续/变分参数化的查表电路同样受 $\tilde{\Omega }(N)$ 门数下界约束 Jaques-Rattew——可训练性并不提供逃逸通道。

本词条剩余部分做一件事:把”近似”二字严格化,并沿三条线推导,说明可训练电路与 QRAM 理论之间隔着什么——ε-近似查询的定义与误差度量换算(第一节);单次查询误差的两个界,union bound 的 $\epsilon {\log }_{2}N$ 与一般噪声下的 $4\epsilon T\log N$(第二节);oracle 误差向算法输出的传播(第三节);最后以 $N=2^{30}$ 的具体数字收拢(第四节)。

操作定义:精确查询与 ε-近似查询

理想查询算子

QRAM 的操作定义是一个受控线性映射:

$$\mathcal{Q}:\sum _{\mathbf{x}\in \{0,1{\}}^n}{\alpha }_{\mathbf{x}}|\mathbf{x}⟩\otimes |0{⟩}^{\otimes w}⟼\sum _{\mathbf{x}}{\alpha }_{\mathbf{x}}|\mathbf{x}⟩\otimes |D_{\mathbf{x}}⟩,$$

其中 $n={\log }_{2}N$ 为地址比特数,每个单元存 $w$ 比特(或 $w$ 量子比特)数据 $D_{\mathbf{x}}$;经典数据时这是”按地址条件复制”,量子数据时读出只能是 SWAP 型的取出(见 查询语义:路由与读出)。两种情形下 $\mathcal{Q}$ 都是酉的。定义里真正的物理内容是对任意振幅 ${\alpha }_{\mathbf{x}}$ 的线性性:查询叠加地址的输出必须等于对各地址查询输出的相干叠加,相对相位原封不动——下游算法从 QRAM 里取走的正是这些相位,而不是测量统计。

ε-近似查询的定义式

定义(ε-近似查询). 称信道 $\tilde{\mathcal{Q}}$ 是理想查询 $\mathcal{Q}$ 的 ε-近似实现,若对所有纯输入态

$$\underset{|\psi ⟩}{\max }[1-F(\tilde{\mathcal{Q}}(|\psi ⟩⟨\psi |),\mathcal{Q}(|\psi ⟩⟨\psi |)\left)\right]\le \epsilon ,F(\rho ,\sigma )=(\mathrm{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho }\sigma \sqrt{\rho }}{)}^2,$$

即最坏情形(worst-case)不保真度不超过 $\epsilon$。三条纪律值得写明:

1. 最坏情形而非平均情形:最大值取遍所有 $|\psi ⟩$,包括算法运行中途出现的、历史上经历过若干次有噪操作的”非典型”中间态(第三节会看到这为何不可省略);
2. 必须对叠加地址成立:只对计算基输入 $|\mathbf{x}⟩|0⟩$ 成立的逼近,对线性性没有任何承诺——线性性不是”训练到”的,要么由电路结构保证,要么不存在;
3. 态的保真度而非基测量分布的重合:两个态可以有完全相同的计算基测量分布而保真度为零。

PQC 路线实际给出的是第三条以下的证书:Phalak 等以训练集上的汉明距离/正确率为损失 Phalak 2022,Sajadimanesh 等报告分类精度 Sajadimanesh 2026——都是对计算基测量统计、在训练分布上的平均量。三条缺口(基态之外、平均之外、测量统计之外)各自都足以使 $\tilde{\mathcal{Q}}$ 不满足上述定义。

相位盲区有一个两行就能写出的玩具模型:

$$\frac{|0⟩+|1⟩}{\sqrt{2}}|0⟩\stackrel{\mathcal{Q}}{\to }\frac{|0⟩|D_0⟩+|1⟩|D_1⟩}{\sqrt{2}},\stackrel{\tilde{\mathcal{Q}}}{\to }\frac{|0⟩|D_0⟩-|1⟩|D_1⟩}{\sqrt{2}}.$$

两个输出在两个寄存器的计算基测量下分布逐比特相同——“分类准确率 100%“——但态重叠为 $0$,保真度 $F=0$:作为查询它是彻底失败的,因为相位估计、振幅放大等一切干涉类算法读的正是跨分支相对相位。训练目标(基测量损失)对这类相位错误完全不敏感,而 QRAM 的全部算法价值恰恰在相位里。

不保真度与迹距离:Fuchs–van de Graaf 换算

误差记账有两套货币:不保真度 $1-F$ 度量重叠品质,迹距离(trace distance)$D(\rho ,\sigma )=\frac{1}{2}\Vert \rho -\sigma {\Vert }_1$ 度量操作可区分性。算法分析偏爱 $D$(它对 CPTP 映射收缩、对酉不变,可逐门累积),物理与工程文献偏爱 $F$。两者的换算即 Fuchs–van de Graaf 不等式:

$$1-F(\rho ,\sigma )\le D(\rho ,\sigma )\le \sqrt{1-F(\rho ,\sigma {)}^2}\le \sqrt{2(1-F)}.$$

QRAM 查询的目标态是纯输入的像,属纯态目标情形,此时换算可以精确算出,且比一般不等式紧:

引理(纯态目标). 设 $\sigma =|\psi ⟩⟨\psi |$,$\delta :=1-F(\rho ,\sigma )=1-⟨\psi |\rho |\psi ⟩$,则

$$\frac{\delta }{2}\le D(\rho ,\sigma )=\frac{\delta +{\delta }^2}{2}\le \delta \le \sqrt{\delta }.$$

证明. 记 $p=⟨\psi |\rho |\psi ⟩$。当 $p<1$ 时,把 $\rho$ 按 $|\psi ⟩$ 与其正交补分解:

$$\rho =p|\psi ⟩⟨\psi |+(1-p){\rho }_{\perp },{\rho }_{\perp }=\frac{(1-|\psi ⟩⟨\psi |)\rho (1-|\psi ⟩⟨\psi |)}{1-p},$$

其中 ${\rho }_{\perp }$ 是支在正交补上的密度算子($\mathrm{Tr}{\rho }_{\perp }=1$);$p=1$ 时 $\rho =\sigma$,平凡。于是

$$\rho -\sigma =(p-1)|\psi ⟩⟨\psi |+(1-p){\rho }_{\perp },$$

两项支在相互正交的子空间上,迹范数可加:

$$\Vert \rho -\sigma {\Vert }_1=|p-1|\cdot 1+(1-p)\mathrm{Tr}{\rho }_{\perp }=(1-p)+(1-p{)}^2,$$

故 $D=\frac{(1-p)+(1-p{)}^2}{2}=\frac{\delta +{\delta }^2}{2}$;由 $\delta \in [0,1]$ 得 $\delta /2\le D\le \delta$。∎

由此立得两条推论。其一,定义式等价性:最坏情形不保真度 $\le \epsilon$ 蕴含最坏情形迹距离 $\le \epsilon$(纯态目标,无放大);反之迹距离 $\le \epsilon$ 给出不保真度 $\le D\le \epsilon$。两种定义至多差一个平凡因子,记账时注明用哪种即可。其二,Hann 界可进入算法分析:第二节的 $1-F\le 4\epsilon T\log N$ 是对查询输出态的保真度陈述,经本引理转为迹距离陈述后,才能在第三节逐查询累积。

数量级感受:$1-F=10^{-2}$ 时,一般信道只有 $D\le \sqrt{0.02}\approx 0.141$,纯态目标则 $D\in [0.005,0.01]$;$1-F=10^{-4}$ 时为 $0.014$ 对 $10^{-4}$。文献中”误差 $\epsilon$“指哪套货币、是否最坏情形,直接改变数字含义。

单次查询的误差预算:从 union bound 到 Hann 定理

GLM 界:Boole 不等式与 $\epsilon {\log }_{2}N$

bucket-brigade(桶队)架构中,地址信息沿 $n$ 层二叉树下行,只有被地址激活的路径上的 $n$ 个路由器被依次写入并执行受控操作,其余 $N-1-n$ 个路由器停留在初态、不参与任何门 GLM PRL 2008 GLM PRA 2008(机制详见 桶队架构 与 成本口径:激活门、干预与能量)。GLM 对该架构的噪声记账是一次 union bound(Boole 不等式):设每个开关单次调用出错概率 $\le \epsilon$,$A_{\ell }$ 为”第 $\ell$ 层被激活的那个路由器本次出错”这一事件,则”本次查询出错”当且仅当至少一个 $A_{\ell }$ 发生,

$$\mathrm{Pr}(\text{查询出错})=\mathrm{Pr}\left(\bigcup _{\ell =1}^n{A}_{\ell }\right)\le \sum _{\ell =1}^n\mathrm{Pr}(A_{\ell })\le n\epsilon =\epsilon {\log }_{2}N.$$

三点评注。(i) Boole 不等式对事件的任意相关性成立——它只是概率测度的次可加性,不需要错误独立;独立情形下可再展开二阶项 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right){\epsilon }^2$,在 $\epsilon n\ll 1$ 时可忽略。(ii) 这是对概率的记账:它预设”错误发生在哪些开关上”有良定义的概率分布,即等待态路由器的退相干、相干失谐这类”不在激活路径上的坏事”不在账上——这正是它与 Hann 定理的分水岭。(iii) 记账对象是成功概率,输出是启发式而非最坏情形保证。

GLM 的标志性数字由此而来 GLM PRA 2008:$\epsilon =0.1\%$、$n=100$ 时 $\epsilon {\log }_{2}N=0.1$——$2^{100}$ 个地址、单次查询总误差 10%,而传统 RAM 设计每次寻址需拨动 $O(N)$ 个开关 GLM PRL 2008。反向读:要求单次查询误差 $\le \eta$,则每开关容差 $\epsilon \le \eta /{\log }_{2}N$,即 量子机器学习的 QRAM 依赖 引述的”每开关可容忍 $O(1/{\log }_{2}N)$ 错误率”口径。对照组是 fanout 架构:每次调用驱动全部 $O(N)$ 个开关,union bound 给 $O(\epsilon N)$,计入深度后 Hann 等的 Table I 给出 $N\log N$ 标度 Hann 2021。取 $N=2^{30}$、$\epsilon =10^{-6}$:fanout 约 $\epsilon N{\log }_{2}N\approx 3\times 10^4$(彻底失效),桶队 GLM 记账 $3\times 10^{-5}$,相差九个数量级——误差预算与 $N$ 无关、只随深度线性增长,这是”误差局域化”的第一层含义。

Hann 界:一般噪声下的 $4\epsilon T\log N$(证明骨架)

Hann、Lee、Girvin、Jiang 把设定推到最不利 Hann 2021:树上全部 $O(N)$ 个路由器——包括处于等待态、与本次查询”无关”的组件——都承受任意 CPTP 信道,涵盖初态制备错误、门错误、任意门分解与常数范围的相关错误;结论是最坏情形

$$1-F\le 4\epsilon T\log N,T=O(\log N),$$

其中 $\epsilon$ 为单操作错误率、$T$ 为电路深度(一次完整调用的下行+读出+上行层数)。证明按错误构型把输出分解为 good/bad 分支,混合酉情形常数 4、适用域 $\epsilon T\log N\le 1/4$,完全任意信道常数稍差($A\approx 6-2{\epsilon }_W/\epsilon$);完整表述见 一般噪声下的韧性,此处抽取证明骨架的四步:

第一步(分支分解). 把查询输出按地址计算基分支拆开:好分支 = 整条激活路径无错,其权重为 $E(\Lambda )=(1-\epsilon {)}^{T\log N}$;坏分支 = 路径上至少一处出错。

第二步(关键引理:错误不跨分支). 错误不会从坏分支传播进好分支(error transparency 类性质)。物理根源是路由器间有限纠缠:第 $\ell$ 层路由器只在经过它的 $2^{-\ell }$ 比例的分支中与地址纠缠——树根与全部地址纠缠,越深层路由器只与越指数少的分支有量子关联。这也是浙江大学错误注入实验的直接观测:被查询路径保真度斜率 $-0.255$,最远分支近乎免疫($-0.005$)Shen 2026,见 误差局域化。

第三步(逐层加权求和). 单层贡献 = 该层路由器数 × 单个路由器影响的分支比例 × 单次错误权重:

$$1-F\lesssim \sum _{\ell =1}^n\underset{\text{第 }\ell \text{ 层路由器数}}{\underbrace{2^{\ell -1}}}\cdot \underset{\text{单路由器的分支占比}}{\underbrace{2^{-(\ell -1)}}}\cdot \epsilon T=\epsilon T\sum _{\ell =1}^{n}1=\epsilon T{\log }_{2}N.$$

每层的乘积恰好是 1:浅层路由器少而影响面大,深层路由器多而各管一隅,两相抵消。树结构把”$O(N)$ 个组件都可能出错”折算成”每层至多一份有效错误”——这是 $4\epsilon T\log N$ 里 $\log N$ 因子的来源,也是”有限纠缠”的定量形态。

第四步(时间累积与常数). 深度 $T$ 上线性累积;混合酉噪声经 Pauli 基展开计数给出常数 4。好分支权重非负性由 Bernoulli 不等式保证:

$$(1-\epsilon {)}^m\ge 1-m\epsilon (\epsilon \in [0,1],m\in \mathbb{N}),$$

两行归纳:$(1-\epsilon {)}^{m+1}\ge (1-m\epsilon )(1-\epsilon )=1-(m+1)\epsilon +m{\epsilon }^2\ge 1-(m+1)\epsilon$。以 $m=T\log N$ 代入即得 $E(\Lambda )\ge 1-\epsilon T\log N$,适用域 $\epsilon T\log N\le 1/4$ 保证右端为正。

定理的若干直接推论(均见 一般噪声下的韧性 与 噪声韧性之争):双能级路由器下错误经”左端口”上行的节点至多 ${\log }^{2}N$ 个,故 $1-F\lesssim 4\epsilon T(\log N+{\log }^{2}N)=O({\log }^{3}N)$,计时错误同为 $O({\log }^{3}N)$ Hann 2021;任意初态的韧性可由”查询两次利用幂等性”获得,代价 $T\to 2T$;纠错后的逻辑桶队满足同型界 $1-F_L\le 4{\epsilon }_L{T}_L\log N$,直接推翻”纠错毁掉桶队优势”的论断。

两界的相对地位

	GLM union bound	Hann 定理
承受噪声的组件	仅被激活路径上的 $n$ 个	全部 $O(N)$ 个,含等待态
噪声类型	每开关独立随机错误	任意 CPTP:去极化、相干、常数范围相关
记账对象	出错概率 $\le n\epsilon$	最坏情形不保真度 $\le 4\epsilon T\log N$
数学地位	启发式(一阶)	严格上界,附适用域

在 $\epsilon \to 0$、$T=1$、且只有激活路径受噪的理想化下,Hann 界退化为 $4\epsilon \log N$,与 GLM 的 $\epsilon \log N$ 同阶——GLM 界是 Hann 界的一阶特例,Hann 用”有限纠缠”把这阶估计从”知道哪些开关活跃、错误只落在其上”的理想世界搬进了任意噪声世界。付出的代价是保守性:$4T$ 的常数乘子与最坏情形陈述。

误差向算法输出的传播

混合论证:线性放大

设算法 $\mathcal{A}$ 对初态 $|\psi ⟩$ 依次执行 $U_0,\mathcal{Q},U_1,\mathcal{Q},\dots ,U_{k-1},\mathcal{Q},U_k$,共 $k$ 次查询。理想与实际输出:

$$|{\Gamma }_{\mathrm{ideal}}⟩=U_k\mathcal{Q}{U}_{k-1}\cdots U_1\mathcal{Q}{U}_0|\psi ⟩,|\Gamma ⟩=U_k\tilde{\mathcal{Q}}{U}_{k-1}\cdots U_1\tilde{\mathcal{Q}}{U}_0|\psi ⟩.$$

定义混合态(hybrid)$|{\Gamma }_i⟩$:前 $i$ 次查询用 $\tilde{\mathcal{Q}}$、其余用 $\mathcal{Q}$($|{\Gamma }_0⟩=|{\Gamma }_{\mathrm{ideal}}⟩$,$|{\Gamma }_k⟩=|\Gamma ⟩$)。相邻 hybrid 只在一个 oracle 槽位不同:

$$D({\Gamma }_i,{\Gamma }_{i-1})=D(U_i\tilde{\mathcal{Q}}|{\varphi }_i⟩,U_i\mathcal{Q}|{\varphi }_i⟩)=D(\tilde{\mathcal{Q}}|{\varphi }_i⟩,\mathcal{Q}|{\varphi }_i⟩)\le \epsilon ,$$

第二个等号用迹距离的酉不变性,不等号用 ε-近似的定义。注意 $|{\varphi }_i⟩$ 是”已经历 $i-1$ 次有噪查询”的任意中间态——最坏情形定义正是为这一步而设,对训练分布的平均证书在这里断链。三角不等式相加得望远镜求和:

$$D(\Gamma ,{\Gamma }_{\mathrm{ideal}})\le \sum _{i=1}^{k}D({\Gamma }_i,{\Gamma }_{i-1})\le k\epsilon .$$

再对任意末尾测量 $\mathcal{M}$ 与事件 $E$ 用数据处理不等式(测量是 CPTP 映射,迹距离收缩):

$$|\tilde{P}(E)-P(E)|\le D(\mathcal{M}(\Gamma ),\mathcal{M}({\Gamma }_{\mathrm{ideal}}))\le D(\Gamma ,{\Gamma }_{\mathrm{ideal}})\le k\epsilon .$$

结论:$k$ 次查询的算法,输出分布的误差保证至多放大 $k$ 倍;要算法级误差 $\le \eta$,每查询预算为 $\epsilon \le \eta /k$。这个放大是算法结构性消耗的,与器件无关——器件侧能做的是把每查询的 $\epsilon$ 压下去。

Grover 振幅放大对 oracle 误差的敏感性

Grover 搜索是放大效应最锋利的试金石。$N=2^n$ 个地址中 $M$ 个标记项,均匀叠加态落在 $\{|\alpha ⟩,|\beta ⟩\}$(未标记/标记均匀态)张成的二维空间内,与 $|\beta ⟩$ 夹角 $\theta =\arcsin \sqrt{M/N}$。oracle $O_{\gamma }$ 给标记子空间翻相位,diffusion 算子 $D_s=2|s⟩⟨s|-1$ 沿平均态 $|s⟩$ 作反射;两次反射合成一个 $2\theta$ 旋转,故 $k$ 次迭代后

$$\cos ((2k+1)\theta )|\alpha ⟩+\sin ((2k+1)\theta )|\beta ⟩,P(k)={\sin }^2((2k+1)\theta ),$$

最优迭代数 $k^{\text{*}}\approx \frac{\pi }{4\theta }-\frac{1}{2}\approx \frac{\pi }{4}\sqrt{N/M}$(理想成功概率 $1-O(M/N)$)。设每次查询带迹距离误差 $\delta$,混合论证给出 $|\tilde{P}-P|\le k\delta$;要求增益损失 $\le \eta$:

$$\delta \le \frac{\eta }{k^{\text{*}}}\approx \frac{4\eta }{\pi }\sqrt{\frac{M}{N}}=\Theta \left(2^{-n/2}\right)(M=O(1)).$$

这就是本节的核心数字:Grover 的平方加速要求 oracle 精度随规模指数提高。每一次调用在桶队里只动 $O(\log N)$ 个开关、GLM 记账下每查询误差只有 $\epsilon {\log }_{2}N$,但查询次数是 $2^{n/2}$,两个因子相乘仍是指数——对数深度没有被”赖掉”,它只是把指数搬进了精度要求。

这正是 Arunachalam 等严格化的结论 Arunachalam 2015:在 right/wrong/no-path 错误模型下,桶队用作 Grover 预言机时每门错误率必须为 $o(2^{-n/2})$(借助 Regev–Schiff 的故障预言机不可能性结果);他们并猜想,超多项式次查询的算法需要超多项式小的错误率,从而必须纠错。对照面也是他们指出的:HHL 矩阵求逆、量子机器学习这类只需多项式次查询的算法,错误率多项式小即可,纠错可能不必要。这条分界后来被 Hann 等精确化为存储规模 $N\times$ 查询次数 $Q$ 的四象限 Hann 2021(见 一般噪声下的韧性)。

把 Hann 界代入同一预算:单查询 $1-F\le 4\epsilon T\log N$,经纯态引理转迹距离后 $k^{\text{*}}$ 次查询总误差 $\le 4\epsilon k^{\text{*}}T\log N$,要求 $\le \eta$:

$$\epsilon \le \frac{\eta }{4k^{\text{*}}T{\log }_{2}N}=\Theta \left(\frac{2^{-n/2}}{T\log N}\right),$$

指数墙没有移动,只多除掉一个多项式因子。物理桶队免纠错跑 Grover 因此无望;出路是逻辑桶队——纠错后满足同型逻辑界 $1-F_L\le 4{\epsilon }_L{T}_L\log N$,把物理错误率换成可工程化的逻辑错误率 Hann 2021。注意纠错方式有讲究:CSS 式整体纠错会持续激活全部节点、把桶队退化为 fanout Arunachalam 2015,现代方案走异构码距、蒸馏–传态等结构保持路线(见 异构纠错 QRAM)。

近似 PQC 为什么接不上这套理论

上述链条——定义(最坏情形保真度)→ 换算(纯态引理)→ 单查询预算(union bound / Hann)→ 传播(混合论证)——每一环都对可训练电路断开:

1. 无逐查询证书。 PQC 报告的是训练分布上的基测量精度,不是最坏情形不保真度;混合论证的中间态 $|{\varphi }_i⟩$ 恰恰会走出训练分布,证书在那里失效。
2. 无局域化结构。 union bound 与 Hann 定理的 $\log N$ 都来自路由树的分支局域化(错误只毁掉自己所在的指数少分支);PQC 的近似误差是相干的、依赖输入的,没有 good/bad 分支分解,第三步的逐层加权无从谈起——任何 polylog 标度对它都不成立。
3. 存在性壁垒。 即便接受”训练出 ε-近似查询”为目标,Jaques–Rattew 定理 5.2 表明连续/变分参数化的查表电路同样受 $\tilde{\Omega }(N)$ 门数下界约束 Jaques-Rattew:在保持查询语义的前提下,“以训练换资源”绕不开指数成本。PQC 路线实际绕开的是查询语义本身(顺序访问、非相干读出),于是它的误差只能在 QML 的货币(任务精度)里度量,不能兑换成 QRAM 的货币(保真度/迹距离)。

数值算例:$N=2^{30}$

取 $n=30$、$N=1073741824$;往返深度 $T=2n=60$($T=O(\log N)$ 内的具体取值只影响常数)。

表 1|单次查询误差上界

$\epsilon$	GLM:$\epsilon {\log }_{2}N$	Hann:$4\epsilon T{\log }_{2}N(=7200\epsilon )$
$10^{-2}$	$0.30$	$72$(越出适用域)
$10^{-3}$	$0.03$	$7.2$(越出适用域)
$10^{-4}$	$3\times 10^{-3}$	$0.72$
$10^{-5}$	$3\times 10^{-4}$	$0.072$

适用域检验:混合酉常数 4 要求 $\epsilon T\log N\le 1/4$,本参数下即 $\epsilon \le 1/(4\cdot 60\cdot 30)\approx 1.4\times 10^{-4}$,故前两行的 Hann 值越出其证明前提,仅列作对照。形态已清晰:GLM 界小两个数量级,换来它的是”只有路径受噪、错误独立”的理想化;Hann 界在 $\epsilon =10^{-4}$ 档给出 0.72,说明最坏情形陈述在此错误率下几乎不提供保证,而 GLM 记账的 $3\times 10^{-3}$ 表明理想化条件下的期望行为仍然良好——两界之间的空隙,就是从理想化记账走到一般噪声定理所付的保守性价格。

表 2|用作 Grover 预言机($M=1$,增益损失预算 $\eta =0.1$)

$\theta =\arcsin 2^{-15}\approx 3.052\times 10^{-5}$,$k^{\text{*}}=\pi /(4\theta )-\frac{1}{2}\approx 25735$,理想成功概率 ${\sin }^2((2k^{\text{*}}+1)\theta )\approx 1-7\times 10^{-10}$。

量	数值
允许的每查询迹误差 ${\delta }^{\text{*}}=\eta /k^{\text{*}}$	$\approx 3.9\times 10^{-6}$
指数尺度 $2^{-n/2}$	$3.05\times 10^{-5}$
GLM 记账每开关:$\epsilon \le {\delta }^{\text{*}}/30$	$\approx 1.3\times 10^{-7}$
Hann 记账每开关:$\epsilon \le {\delta }^{\text{*}}/7200$	$\approx 5.4\times 10^{-10}$
Arunachalam 等的阈值(每门,$o(2^{-n/2})$)Arunachalam 2015	$o(3.05\times 10^{-5})$

同一物理要求在三种记账下给出相差二至五个数量级的每门阈值——因为各口径对”一次查询消耗多少错误预算”的假设不同(30 个活跃开关、一般噪声下全部组件、或错误模型内部的记账)——但指数标度一致:墙在 $2^{-n/2}$,不因记账方式移动。

外推看趋势。$n=60$($N\approx 1.15\times 10^{18}$):$k^{\text{*}}\approx \frac{\pi }{4}{2}^{30}\approx 8.4\times 10^8$,${\delta }^{\text{*}}\approx 1.2\times 10^{-10}$,GLM 记账下每门须 $\epsilon \lesssim 2\times 10^{-12}$——免纠错彻底出局。对照多项式查询量的算法,取 $Q=n^2=900$:${\delta }^{\text{*}}=1.1\times 10^{-4}$、GLM 记账每门 $\epsilon \lesssim 3.7\times 10^{-6}$,多项式小——这就是 Arunachalam 2015 “HHL/QML 或许可免纠错”的量化形态,也是 Hann 四象限中”$N$ 指数、$Q$ 多项式”一格的来源 Hann 2021。

最后回到本词条的边界主角:让 PQC 电路达到 Grover 所需的 ${\delta }^{\text{*}}\approx 3.9\times 10^{-6}$ 每查询保真度证书,既无测量手段(它只报分类精度),也无结构机制(无局域化),更无存在性依据($\tilde{\Omega }(N)$ 下界);而桶队路线下同样的预算对应的是明确的器件指标(每开关 $10^{-7}$ 量级或逻辑错误率)。数值把”近似”的两种含义彻底分开了。

讨论:两套误差货币不可自由兑换

“近似 QRAM”的命名问题,在推导之后可以精确表述了。QRAM 理论里的”近似”是 ε-近似查询:最坏情形、对叠加态、以保真度/迹距离计价,并配有一整套关于 $\epsilon$ 如何随 $N$ 标度(union bound、$4\epsilon T\log N$)与向算法传播(线性放大、$2^{-n/2}$ 阈值)的定量理论。可训练 PQC 路线的”近似”是任务精度:训练分布、计算基测量、以准确率计价。两者只有名字相同:前者是带保修单的存储器件语义,后者是一种数据编码策略。

这不是否认 PQC 加载器的价值:在 QML 场景里,若算法本身只消费测量统计(分类、采样),基测量精度就是恰当的货币,相干性根本不在需求清单上。但那时应当诚实地说这是态制备/编码电路(见 边界:态制备电路不是 QRAM),并在 QML 的假设清单里给它记账(见 量子机器学习的 QRAM 依赖 与 Oracle 假设谱系);六维打分卡里”查询语义”与”误差标度”两维因此都打在低档(见 评价指标:六维打分卡)。

延伸阅读

• 边界:态制备电路不是 QRAM
• 量子机器学习的 QRAM 依赖
• Oracle 假设谱系
• 评价指标:六维打分卡
• 一般噪声下的韧性
• 误差局域化
• 桶队架构
• 边界:qROM 电路与 QROM 模型