边界:态制备电路不是 QRAM

一般性量子态制备电路与容错查表电路(qROM 一类)实现的是与 QRAM 相同的数学映射,但走电路途径而非专用硬件途径,不属本站定义的 QRAM 器件。本词条从递推受控旋转出发推导一般纯态制备的 $O(N)$ 门数与匹配下界,解释态制备电路为何不需要路由结构,并逐项核算结构化特例与 QRAM 装载的成本边界。

同一映射的两种途径:定义回顾

查询映射与振幅编码

QRAM 器件执行的语义合同(推导与器件语义见 查询语义:路由与读出)是

$$Q_D:\sum _{\mathbf{x}}{\alpha }_{\mathbf{x}}|\mathbf{x}{⟩}_A|0{⟩}_B⟼\sum _{\mathbf{x}}{\alpha }_{\mathbf{x}}|\mathbf{x}{⟩}_A|D_{\mathbf{x}}{⟩}_B,$$

其中 $N=2^n$ 为数据条数、$m$ 为字长,合同包含三条硬性要求:地址保持、器件复位、数据相干装载。当数据是经典串、令总线从 $|0⟩$ 出发时,该映射把数据表 $D$ 的信息摊进总线寄存器的振幅;对总线追加一次与 $D$ 无关的对角变换,即得振幅编码(amplitude encoding)

$$|\mathbf{d}⟩=\frac{1}{\Vert D{\Vert }_2}\sum _{k=0}^{N-1}{d}_k|k⟩,$$

这正是 QML、HHL 类算法写作”输入态”时假设的对象。注意查询语义的两条主干事实,它们划定了本词条讨论的坐标系:其一,$Q_D$ 是数据无关的固定幺正——数据住在存储阵列里,换数据集不改器件、不改算符;其二,合同对任意叠加地址成立,器件必须无差别服务全部分支的线性延拓 Jaques-Rattew。

两条电路途径与排除标准

把同一映射用通用门序列实现,文献里有两条主线:

1. 一般性态制备电路:Möttönen、Shende–Bullock–Markov 一系,把任意振幅向量编译成受控旋转序列,门数 $O(N)$ 量级(§推导一);
2. 只读查表电路(qROM):unary iteration、select–swap 等,把”按量子地址读经典表”编成 Clifford+T 电路 Babbush 2018 Phalak 2022(§推导四)。

它们被排除出 QRAM 器件的判定标准只有一条,但内容是三件事的合取:专用硬件换取对数深度访问。电路途径没有专用硬件(门序列即全部代价),也就没有对数深度(Jaques–Rattew 定理 5.2 的 $\tilde{\Omega }(N)$ 门数下界,见 §推导二),只剩”同一映射的容错可实现版本”。Babbush 等对 qROM 的自述同样明确:读经典数据、按量子寄存器索引、只读不可写,“与 QRAM 截然不同” Babbush 2018。下文四节推导分别回答:态制备电路到底多少钱(§推导一)、它为什么省掉了路由结构(§推导二)、结构化数据能省到什么程度(§推导三)、与器件装载的账怎么算(§推导四)。

推导一:一般纯态制备的 $O(N)$ 门数

递推分解:按最高位劈开

设目标为 $n$ 量子比特归一化纯态($N=2^n$):

$$|\psi ⟩=\sum _{k=0}^{N-1}{\psi }_k|k⟩,\sum _k|{\psi }_k{|}^2=1.$$

把基矢标号写成最高位 $b\in \{0,1\}$ 与其余 $n-1$ 位的拼接 $(b,\bar{k})$,按 $b$ 把振幅分成两组,定义

$$p_b=\sum _{\bar{k}}|{\psi }_{(b,\bar{k})}{|}^2,|{\tilde{\psi }}^{(b)}⟩=\frac{1}{\sqrt{p_b}}\sum _{\bar{k}}{\psi }_{(b,\bar{k})}|\bar{k}⟩(p_b>0),$$

则目标态有精确分解

$$|\psi ⟩=\sqrt{p_0}|0⟩\otimes |{\tilde{\psi }}^{(0)}⟩+\sqrt{p_1}|1⟩\otimes |{\tilde{\psi }}^{(1)}⟩.$$

逐项验证:右端 $|b⟩|\bar{k}⟩$ 分量的系数是 $\sqrt{p_b}\cdot {\psi }_{(b,\bar{k})}/\sqrt{p_b}={\psi }_{(b,\bar{k})}$;两个子态各自归一(因子 $\sqrt{p_b}$ 恰好补齐范数),且因最高位不同而相互正交;总模方 $p_0+p_1=1$。若某支 $p_b=0$,对应分支直接跳过(旋转角取 0),不需要改变电路结构。

由此得到三步递推方案:

1. 在最高位施加旋转 $R_y({\theta }_1)$,取 $\cos ({\theta }_1/2)=\sqrt{p_0}$、$\sin ({\theta }_1/2)=\sqrt{p_1}$;由 $R_y(\theta )|0⟩=\cos (\theta /2)|0⟩+\sin (\theta /2)|1⟩$,首寄存器变为 $\sqrt{p_0}|0⟩+\sqrt{p_1}|1⟩$;
2. 在其余 $n-1$ 位上条件制备两个子态:$|{\tilde{\psi }}^{(0)}⟩$ 受控于首比特 $|0⟩$,$|{\tilde{\psi }}^{(1)}⟩$ 受控于 $|1⟩$;
3. 对每个子态递归调用同一方案,直到块内只剩一个基矢(旋转角为 0,停机)。

整个方案对应一棵二叉树:第 $\ell +1$ 层把 $2^{\ell }$ 个长度为 $2^{n-\ell }$ 的块各劈成两半,树的所有内节点上各放一个旋转角。门数账目由此化为”数节点”。

多路受控旋转的 Gray 码分解

同一层的 $2^{\ell }$ 个角都打在同一个目标量子比特上,控制位恰好是前 $\ell$ 个比特、角度随前缀取值而异——这正是多路受控旋转(uniformly controlled rotation,multiplexed rotation)的规范形:

$$U_{\mathrm{mux}}[\mathbf{\theta }]=\sum _{j=0}^{2^{\ell }-1}|j⟩⟨j{|}_{\text{控制}}\otimes R_y({\theta }_j).$$

它的关键分解(Möttönen 等)值得完整看一遍最小情形。单控制、双角度时:

$$U_{\mathrm{mux}}[{\theta }_0,{\theta }_1]=R_y({\alpha }_1)\cdot \mathrm{CNOT}\cdot R_y({\alpha }_2)\cdot \mathrm{CNOT},{\alpha }_1=\frac{{\theta }_0+{\theta }_1}{2},{\alpha }_2=\frac{{\theta }_0-{\theta }_1}{2}.$$

验证:控制位为 $|0⟩$ 时两个 CNOT 均不翻转,净效果 $R_y({\alpha }_1+{\alpha }_2)=R_y({\theta }_0)$;控制位为 $|1⟩$ 时目标在两次旋转之间被 $X$ 夹持,用 $X{R}_y({\alpha }_2)X=R_y(-{\alpha }_2)$ 得 $R_y({\alpha }_1)R_y(-{\alpha }_2)=R_y({\theta }_1)$。两个角度同时被一个双 CNOT 结构实现。一般 $\ell$ 位控制的情形同理:按 Gray 码次序排布 $2^{\ell }$ 个 CNOT(相邻项只差一位,每个控制比特在串中恰被触碰两次、净效果抵消),中间夹 $2^{\ell }$ 个无控 $R_y$,等效角度由一次线性变换 $\mathbf{\alpha }=M_{\ell }\mathbf{\theta }$(离散余弦/Walsh 型矩阵)给出。结论可以记成一行:

$$\text{一个 }{2}^{\ell }\text{ 角多路旋转}=2^{\ell }\text{个 CNOT}+2^{\ell }\text{个单比特旋转},$$

角度本身是经典预计算量,不占量子门。

总账:两笔几何级数

逐层清点(实振幅情形只需一层 $R_y$ 多路旋转):

层 $\ell$	旋转角数	CNOT 数	单比特旋转数
0	1	0	1
1	2	2	2
$\ell$	$2^{\ell }$	$2^{\ell }$	$2^{\ell }$
$n-1$	$2^{n-1}$	$2^{n-1}$	$2^{n-1}$

两个几何级数求和:

$$G_{\mathrm{CNOT}}=\sum _{\ell =1}^{n-1}{2}^{\ell }=2^n-2=N-2,G_{1\mathrm{q}}=\sum _{\ell =0}^{n-1}{2}^{\ell }=2^n-1=N-1,$$

合计

$$\boxed{G_{\mathrm{real}}(N)=2N-3}$$

个基本门,对任意 $n$ 比特实振幅纯态成立——这就是”一般态制备门数 $O(N)$“的准确内容,Möttönen、Shende–Bullock–Markov 一系方案的共同骨架。复振幅情形在每层追加一个 $R_z$ 多路旋转,CNOT 与旋转数各乘约 2,标度不变。两笔容易被漏掉的附加账目:经典角度预计算共 $O(N)$ 次模方与加法(沿同一棵二叉树自叶向根累加 $p_b$),加上每层的 $\mathbf{\alpha }=M_{\ell }\mathbf{\theta }$ 变换,总计 $O(N\log N)$ 以内的经典算术;电路深度同为 $\Theta (N)$——仅最后一层多路旋转就含 $2^{n-1}$ 个串行 CNOT,所以该方案赢在门数而不在深度,浅深度制备需另借辅助比特做分治。

参数计数下界:为什么 $\Omega (N)$ 逃不掉

上界之外还有下界,而且论证只要三行。$n$ 量子比特归一化纯态(模掉全局相位)构成实维数

$$d=2\cdot 2^n-2=2N-2$$

的流形:复振幅 $2N$ 个实参数,减归一化约束 1、减全局相位 1。取定门库——每个门至多携带 $c$ 个连续实参数(任意单比特门 $c=3$;一般双比特门 $c=15$),$G$ 个门的电路至多携带 $cG$ 个实参数。门序列及其参数决定一个从参数空间 ${\mathbb{R}}^{cG}$ 到态流形的光滑映射,而光滑映射的像的维数不超过定义域维数;若 $cG<d$,像在流形中有零测度,不可能覆盖每一个态。于是

$$cG\ge 2N-2⟹G\ge \frac{2N-2}{15}=\Omega (N).$$

所以 $O(N)$ 方案在最坏情形下至多差常数因子,Shende–Bullock–Markov 的下界定理把这一点做严(精确到常数与低阶项)。这个论证对门族完全不敏感:换成任何连续参数化的变分门,参数照旧进不了足够多的维数——与 Jaques–Rattew 就电路 QRAM 给出的裁定同调 Jaques-Rattew。同时注意下界的测度论内容:它说的是”参数随机取的态几乎必然需要 $\Omega (N)$ 门”,不是一切态都需要——哪些态能大幅跑赢,由数据的结构决定(§推导三)。

推导二:态制备为何不需要路由结构

语义对照:地址的去留

把两份合同并排写清楚。QRAM 查询要求:

• 地址保持:$A$ 寄存器原样穿过查询——振幅放大等干涉步骤依赖于此;
• 数据无观察(oblivious):算符与 $D$ 无关,同一器件服务任意数据集,查询是可反复调用的黑盒;
• 全域成立:合同对全部 $N$ 个计算基逐条成立,再按线性延拓到叠加 Jaques-Rattew。

态制备电路的合同只有一行:

$$P_{\psi }|0{⟩}^{\otimes n}=|\psi ⟩=\sum _k{\psi }_k|k⟩,$$

输入是单一固定态,没有任何地址寄存器需要穿越电路。这就是路由结构可以整个消失的原因:QRAM 必须用路由树把”叠加当前走到哪个叶子”相干地携带、使用、再擦除(见 查询语义:路由与读出 的三阶段推导);态制备里同样的信息已经溶解在旋转角里——§推导一那棵二叉树的 $2^{\ell }$ 个角度,就是节点上的”分支记录”,只不过它以经典编译产物而非量子指针的形式存在,制备时既不需要谁去”读”它,查询后也不需要谁去”擦”它。Casares 的工作把这条边界演示得最直白:把 bucket-brigade 路由逐位编译成 qutrit 门电路完全可行,单次查询路由操作 $n(n-1)/2$ 次、仅纠缠 $n$ 个 qutrit Casares 2020——但那是把器件语义搬进电路;态制备 ${\sum }_k{\psi }_k|k⟩$ 压根没有叶子要寻址,不需要这份开销(该电路”搭建一次 $O(2^n)$、此后每次 $O(n)$“的记账口径问题见 成本口径)。

数据的三种形态与三种代价

态制备电路的真实成本由数据的描述复杂度决定,分三种情形:

情形 A:数据在编译期已知。 角度 $\{{\theta }_j\}$ 是 $D$ 的经典函数,一次性算好、烧进电路(§推导一的 $O(N)$ 账)。数据一变,电路重编译。适用判据不是查询次数,而是”$N$ 是否本来就是问题的自然规模”:$N=10^4$ 的表格付 $2\times 10^4$ 个门,往往完全可接受。

情形 B:数据有高效可逆电路描述。 若 $D_{\mathbf{x}}=f(\mathbf{x})$ 且 $f$ 有规模 $s(n)$ 的可逆电路 $C_f$,则

$$O_f:|\mathbf{x}⟩|y⟩\mapsto |\mathbf{x}⟩|y\oplus f(\mathbf{x})⟩$$

的规模是 $O(s(n)+n)$——多项式对数,与 $N$ 无关,任何存储器件都不需要。逻辑很干净:$f$ 的电路就是数据的紧凑存储,“空间换时间”被”计算换存储”取代。此时同一个电路服务所有 $\mathbf{x}$,语义上反而更接近 QRAM 的 oblivious 性质,但代价账已经完全不同。

情形 C:黑盒任意数据。 既无编译便利、又无结构可用时,只能把表本身编进门序列。香农式计数把”逃不掉”量化:统计 $\{0,1{\}}^n\to \{0,1{\}}^b$ 的全部函数共 $2^{Nb}$ 个;规模 $s$ 的可逆电路,每个门从 $O(Nb)$ 根线里选输入、从常数个门型里选一,总数不超过 $[\mathrm{poly}(Nb){]}^s=2^{O(s\log (Nb))}$ 个。令 $2^{O(s\log (Nb))}\ge 2^{Nb}$,解出

$$s\ge \Omega \left(\frac{Nb}{\log (Nb)}\right),$$

即几乎所有数据表的最小可逆电路规模为 $\tilde{\Omega }(N)$。这与 Jaques–Rattew 定理 5.2 从幺正实现一侧给出的 $\tilde{\Omega }(N)$ 门数下界互相印证(该下界对任意门族成立,连续/变分参数化同样不能豁免——数据常数总得进入门的参数) Jaques-Rattew。两条论证合起来给出本边界的精确条款:$\tilde{\Omega }(N)$ 下界的前提是数据不可压缩;情形 B 的存在精确标出了下界的漏洞,而漏洞的大小由 $f$ 的电路复杂度决定。

推导三:结构化态制备的账目

均匀叠加:$n$ 个门

最极端的”结构”是完全因子化。均匀叠加态满足

$$|s⟩=\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum _{\mathbf{x}}|\mathbf{x}⟩=(\frac{|0⟩+|1⟩}{\sqrt{2}}{)}^{\otimes n}=H^{\otimes n}|0{⟩}^{\otimes n},$$

$n$ 个单比特门、深度 1,与 $N$ 无关。对照下界:态流形是 $2N-2$ 维的,$|s⟩$ 只是其中一个点;参数计数对单个点无话可说。这个例子划定语义:$O(N)$ 是最坏情形复杂度,不是一切态的复杂度——实用数据的振幅远非随机,账要逐例算。

W 态:$O(n)$ 门而非 $O(2^n)$

$W$ 态在 $n$ 量子比特上只有 $n$ 个非零振幅:

$$|W_n⟩=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{j=1}^n|0{⟩}^{\otimes (j-1)}|1⟩|0{⟩}^{\otimes (n-j)}.$$

递推分解(从首比特劈):断言

$$|W_n⟩=\sqrt{\frac{n-1}{n}}|0{⟩}_1|W_{n-1}{⟩}_{2\dots n}+\frac{1}{\sqrt{n}}|1{⟩}_1|0{⟩}^{\otimes (n-1)}.$$

证明:右端第一项展开为 $\sqrt{\frac{n-1}{n}}\cdot \frac{1}{\sqrt{n-1}}{\sum }_{j=2}^n|0{⟩}^{\otimes (j-1)}|1⟩|0{⟩}^{\otimes (n-j)}$,系数恰为 $\frac{1}{\sqrt{n}}$,补齐 $j=2,\dots ,n$ 诸项;第二项正是 $j=1$ 项。逐项相加即得左端。∎

电路与账目。 第一步:单比特旋转 $R_y({\theta }_n)$,${\theta }_n=2\arcsin (1/\sqrt{n})$,把首比特置于 $\sqrt{\frac{n-1}{n}}|0⟩+\frac{1}{\sqrt{n}}|1⟩$。第二步:在”首比特为 $|0⟩$“的条件下递归制备 $W_{n-1}$;注意 $|1⟩$ 分支必须保持尾部全零,故第 $m$ 层旋转的控制条件是”前 $m-1$ 个比特全为零”。于是共 $n-1$ 个旋转节点、控制宽度逐层加一。账目取决于多控旋转的分解:允许借用(脏)辅助比特时,每个 $k$-控旋转花 $O(k)$ 个两比特门,链式总计 $O(n^2)$;采用平衡二分的专用构造(一般 $k$ 激发 Dicke 态方案在 $k=1$ 的特例),门数压回 $O(n)$、深度也显著更低。无论哪一档,都与 $2^n$ 拉开指数差距——非零振幅数(或等价地,振幅向量的描述长度)才是门数的决定量,$N=2^n$ 只是希尔伯特空间的维数,不是信息量。

可积分布:角度可算 $\ne$ 门数变少

Grover–Rudolph 思路处理”振幅来自概率分布”的特例:目标 ${\sum }_{\mathbf{x}}\sqrt{p(\mathbf{x})}|\mathbf{x}⟩$,$p$ 离散化到 $n$ 比特。§推导一的递推照用,唯一的新问题是每个节点角度能否显式写出。角度是二进区间上的积分比:

$${\theta }_j^{(\ell )}=2\arcsin \sqrt{\frac{{\int }_{I_{2j+1}^{(\ell )}}p(x)dx}{{\int }_{I_j^{(\ell )}}p(x)dx}},$$

其中 $I_j^{(\ell )}$ 是第 $\ell$ 层的第 $j$ 个二进区间。若 $p$ 的累积分布可经典高效计算(正态、对数正态等闭式可积族),全部角度闭式可得。但必须分清两件事:可积性让”角度编译”可行,并不减少旋转节点数——电路仍由 $N-1$ 个角度、$N-2$ 个 CNOT 组成,量子门数照旧 $\Theta (N)$。金融应用正是按此口径行事的:期权定价的振幅估计流水线把装载电路当作显式对象逐门构造、上机运行 Stamatopoulos 2020。因此”可积分布可高效装载”的正确读法是:高效可计算的角度消除的是编译障碍,不是复杂度标度;想把门数降到 polylog,要么数据本身有简洁电路(情形 B),要么引入 QRAM 器件(§推导四)。

推导四:与 QRAM 装载的成本对比

三本账对照

把”得到数据叠加”的三种实现放进同一张表($N$ 条数据、字长 $b$、查询次数 $Q$):

途径	每次制备成本	数据更新	主要瓶颈
编译态制备	$\Theta (N)$ 门(实振幅 $2N-3$)	重新编译	表规模进电路;黑盒数据下已是最坏情形最优
qROM 电路	T-count $4N-4$(unary iteration,与字长无关)	重新编译	总账 $\Theta (QN)$;NISQ 深度
QRAM 器件	时间 $O(\mathrm{polylog}N)$;不保真度 $O(\epsilon \mathrm{polylog}N)$	器件写入(困难)	$O(N)$ 组件、主动性/干预/能耗

qROM 一行的账目出处:unary iteration 以 $4N-4$ 个 T 门遍历长度 $N$ 的表、与字长无关,Babbush 等电子结构应用的整体 T 复杂度 $O(N+\log (1/ϵ))$ 正由这类 select 网络主导 Babbush 2018;NISQ 一侧,Phalak 等的预译码逻辑把 8 位地址 QROM 的深度/门数最多降 75×、编译时间降 85×,代价 2.28× 比特,实验保真度 73% 对 40.8% Phalak 2022;Zhu–Sundaram–Low 进一步把量子比特数、非 Clifford 门数与误差韧性之间的折中统一成参数化架构,且只假设二维局域连通 Zhu 2024。器件一行的不保真度数字来自 Hann–Lee–Girvin–Jiang:任意噪声信道下 bucket-brigade 的查询不保真度只按内存规模的对数增长 Hann 2021——这是器件语义独有的性质,电路途径没有对应保证(见下节 union bound)。

误差与摊销的两笔推导

误差 union bound。 $G$ 个门的电路在每门错误率 $\epsilon$ 下,不保真度至多 $G\epsilon$(对门数求 union bound)。三条途径代入:编译态制备与 qROM 给 $1-F=O(\epsilon N)$,器件给 $1-F=O(\epsilon \mathrm{polylog}N)$ Hann 2021。$N$ 大时两者差指数多——但器件结论的前提是 $O(N)$ 组件的物理代价已经付过,而这正是全部争论所在 Jaques-Rattew(见 成本口径 与 机会成本定理)。

摊销临界点。 算法对同一张表查询 $Q$ 次:电路途径总成本 $\Theta (QN)$——每次制备都跑全电路,没有”缓存”可用;器件途径 $\Theta (Q\mathrm{polylog}N)+\Theta (N)$——建造项只付一次。令两式相等,临界查询数

$$Q^{\ast }\approx \frac{N}{\mathrm{polylog}N}.$$

$Q\ll Q^{\ast }$ 时电路胜;$Q\gtrsim Q^{\ast }$ 且器件存在时器件胜。以 Grover 为例,$Q=\Theta (\sqrt{N})\ll Q^{\ast }$:电路途径给出 $\Theta (N^{3/2})$ 的 T 门总量,多项式、可容错核算;器件途径把它压到 $\Theta (\sqrt{N}\mathrm{polylog}N)$,但增益是否兑现取决于器件的物理常数(干预、能耗)——这正是机会成本定理的裁定对象。还要注意比较的货币必须一致:器件账用激活/干预/能量口径,电路账用 T 门口径,混用两种货币正是 成本口径 词条记录的公案。

数值算例汇总

算例 1(一般态制备,$N=8$,全部角度闭式)。 目标 $\psi =(1,2,3,4,5,6,7,8)/\sqrt{204}$。逐节点角度($\sin (\theta /2)$ 为右子块模方占比):

节点(前缀)	劈分的子向量	$\sin (\theta /2)$	$\theta$(rad)
根	$(1{\cdots}4),	,(5{\cdots}8)$	0.9235
0	$(1,2),	,(3,4)$	0.9129
1	$(5,6),	,(7,8)$	0.8059
00	$1,	,2$	0.8944
01	$3,	,4$	0.8000
10	$5,	,6$	0.7682
11	$7,	,8$	0.7526

门账:层 0 一个单比特 $R_y$、层 1 一个单控多路旋转(2 CNOT)、层 2 一个双控多路旋转(4 CNOT),合计 7 个旋转 + 6 个 CNOT $=13=2N-3$ 个门;经典侧 $\le 8$ 次模方加法完成角度编译。根角核验:$\sqrt{174/204}=0.9235$ ✓。

算例 2(W 态与一般态的指数差)。 一般 $n$ 比特态要 $2^{n+1}-3$ 个门;$W$ 态链式 $O(n^2)$、优化构造 $O(n)$。代入:$n=8$ 时 509 对数十门;$n=16$ 时 $131069$ 对数百门;$n=24$ 时 $33554429\approx 3.4\times 10^7$ 对数百门——比值按 $2^n/n^2$ 指数拉大。差距的来源不是技巧,而是非零振幅数 $n$ 对维数 $2^n$ 的差。

算例 3(qROM 总账与 Grover)。 $N=2^{30}$ 的表:unary iteration 每查询 T-count $4N-4\approx 4.29\times 10^9$ Babbush 2018;Grover 需 $Q\approx \frac{\pi }{4}\sqrt{N}\approx 2.6\times 10^4$ 次查询,总账 $\approx 1.1\times 10^{14}$ 个 T 门。换成(假想的)bucket-brigade 器件:串行进树 $O(n^2)=900$ 步/查询、流水线 $O(n)=30$ 层/查询,总操作量 $\sim 10^6$–$10^7$ 次激活级操作。两列数字是不同货币(T 门对激活操作),任何”省了 $10^7$ 倍”的换算都要先过 成本口径 那一关。误差侧的配套数字:$N=2^{20}$ 的 qROM 有 $G\approx 4.19\times 10^6$ 个门,要把 $1-F\le G\epsilon$ 压到 $1\%$,每门逻辑错误率须 $\epsilon \lesssim 2.4\times 10^{-9}$——这解释了 qROM 为何是”容错时代的确定性底账”而非 NISQ 部件。

算例 4(电路版 bucket-brigade 的口径账)。 Casares 电路版每次查询 $n(n-1)/2$ 次路由操作、纠缠 $n$ 个 qutrit Casares 2020:$n=8$ 为 28 次、$n=20$ 为 190 次、$n=40$ 为 780 次——多项式;但”搭建一次 $O(2^n)$“项分别为 $2^8=256$、$\sim 10^6$、$\sim 10^{12}$。电路化把”器件的 $O(N)$ 组件”换成了”电路的 $O(N)$ 构建门数”:口径变了,$N$ 项没有变。

算例 5(NISQ 侧写)。 8 位地址($N=256$)的 QROM 超出 NISQ 能力;预译码后深度/门数最多降 75×、编译时间降 85×,代价 2.28× 比特,实测保真度 73% 对 40.8% Phalak 2022。常数因子优化的真实量级,恰说明电路途径的战场在常数与编译,而非渐近标度。

讨论:适用边界

选型清单。 其一,单次或低次振幅编码、$N$ 是问题自然规模(经典数据集一次性喂给 QML 流水线):编译态制备即最坏情形最优(§推导一下界),不值得为它造器件。其二,数据有简洁电路或闭式角度(解析可算的 $f$、可积分布):在线计算与角度编译把代价与 $N$ 脱钩——但记住可积分布只解决”角度可算”,门数仍 $\Theta (N)$(§推导三)。其三,同一张表高查询次数:先过 qROM 的容错账($4N-4$ T/次 Babbush 2018),再评估器件语义能省多少;任何”QRAM 使能”的算法宣称,都应能通过这条电路底线核算(见 边界:qROM 电路与 QROM 模型)。

Oracle 模型的细则。 振幅放大、量子行走、HHL 类算法的复杂度以”查询成本 1”计。当 oracle 由态制备/qROM 电路背书时,$Q$ 次查询的真实门数是 $Q\times \Theta (N)$,渐近叙事可能因此改写——去量子化批判与 Oracle 假设的谱系正是围绕这一细则展开(见 Oracle 假设谱系 与 去量子化)。

边界的回环:态制备与 QRAM 互相定义。 资源态 QRAM 把”实现 QRAM”归约为”制备一个与数据无关的资源态”,离线工厂批量生产、在线部分仍执行完整查询语义 Cesa 2026——态制备在这里是 QRAM 的发动机,但器件身份由在线查询语义界定,故不落在本边界内(见 资源态 QRAM)。反方向的对照是 Berti–Ghisoni:以硬件 BB-QRAM 的存在为前提设计内存布局,把矩阵振幅编码压进 $O({\log }^2(MN))$ 时间 Berti & Ghisoni 2025——那是”QRAM 使能的态制备”,不是态制备冒充 QRAM(见 架构感知数据加载)。Jaques–Rattew 的裁定仍是底线:电路途径不提供对数深度的物理访问,变分与连续参数化也逃不出 $\tilde{\Omega }(N)$ Jaques-Rattew。“把同一映射编进电路”与”用专用硬件实现对数深度访问”是两个命题,态制备电路属于前者。

延伸阅读

• 边界:qROM 电路与 QROM 模型
• 查询语义:路由与读出
• 架构感知数据加载
• 电路级优化
• 机会成本定理
• 资源态 QRAM
• 成本口径:激活门、干预与能量