查询语义:路由与读出

一次 QRAM 查询包含两个子任务:路由把叠加态地址的信息沿二叉树从根传递到叶子,读出把被激活单元的数据相干地搬到总线寄存器。

两个子任务:查询语义的分工

路由(routing):地址信息沿二叉树自根向叶传递,使每个分支”知道”自己是否被激活。这是 QRAM 区别于经典寻址的核心难点——经典地址是确定的,而 QRAM 的地址处于叠加,激活状态本身是量子态,路由必须全程保持相干、不引入任何测量。读出(readout):把被激活单元的数据比特(经典比特或量子态)相干地复制或交换到总线寄存器 Jaques-Rattew。两个子任务的难度不对称:路由承担了几乎全部相干性负担与硬件开销,读出则相对直接——这也解释了为什么实验阶梯从单路由器开始(见 路由器实验)。

但”分工”不等于”独立”:两者共享同一份相干性预算,中间还夹着常被一笔带过的复位(uncompute)。本词条把一次查询拆成这三个幺正阶段逐一推导,并延伸到噪声与成本:三寄存器受控分解、$n=2$ 迷你树演算、可克隆/不可克隆边界、uncompute 为何不可省略、误差局域化与四本成本账。

语义的幺正表述:三寄存器与受控分解

寄存器因子化与语义合同

规模 $N=2^n$ 的 QRAM 涉及四个量子系统,总希尔伯特空间按寄存器因子化:

$$\mathcal{H}=\underset{A:\text{地址}}{\underbrace{({\mathbb{C}}^2{)}^{\otimes n}}}\otimes \underset{R:\text{路由树}(N-1\text{节点})}{\underbrace{{\mathcal{H}}_{r_0}\otimes \cdots \otimes {\mathcal{H}}_{r_{N-2}}}}\otimes \underset{B:\text{总线}}{\underbrace{({\mathbb{C}}^2{)}^{\otimes m}}}\otimes \underset{M:\text{存储阵列}}{\underbrace{{\mathcal{H}}_{d_0}\otimes \cdots \otimes {\mathcal{H}}_{d_{N-1}}}},$$

其中 $n={\log }_{2}N$ 为地址位数,$m$ 为数据字长。查询开始前,路由树处于就绪态 $|W{⟩}_R=|W{⟩}^{\otimes (N-1)}$(全部节点等待),总线空载 $|0{⟩}_B$,阵列存着 $N$ 个数据字 $\{D_k\}$。理想查询是一个固定幺正 $U_{\mathrm{q}}$,其语义合同为

$$U_{\mathrm{q}}(|\mathbf{x}{⟩}_A|W{⟩}_R|0{⟩}_B|D{⟩}_M)=|\mathbf{x}{⟩}_A|W{⟩}_R|D_{\mathbf{x}}{⟩}_B|D{⟩}_M,\forall \mathbf{x}\in \{0,1{\}}^n.$$

等号里藏着三条硬性要求:地址保持(查询不消耗地址,否则 Grover 振幅放大等干涉步骤无从谈起)、树复位($R$ 回到 $|W{⟩}_R$,器件可立即复用)、数据相干装载(总线拿到的是 $D_{\mathbf{x}}$ 的量子态副本,而非测量结果)。合同只对计算基定义;对叠加态地址按线性延拓:

$$\sum _{\mathbf{x}}{\psi }_{\mathbf{x}}|\mathbf{x}{⟩}_A|0{⟩}_B⟼\sum _{\mathbf{x}}{\psi }_{\mathbf{x}}|\mathbf{x}{⟩}_A|D_{\mathbf{x}}{⟩}_B.$$

这条线性延拓正是 QRAM 与经典 RAM 的分水岭:经典硬件按地址做条件分支(本质是测量后选择),量子硬件必须无条件执行同一个幺正,全部分支在一次演化中同时发生 Jaques-Rattew。另一个事实常被忽略:数据值只在初态 $|D{⟩}_M$ 里,路由与读出的算符与数据内容无关——$U_{\mathrm{q}}$ 是不随数据重新编译的固定幺正,同一器件服务任意数据集。

受控族分解:树几何是”结构化的控制器”

按地址基展开,任何满足语义合同的幺正都可写成受控族形式:

$$U_{\mathrm{q}}=\sum _{\mathbf{x}}{\Pi }_{\mathbf{x}}\otimes V_{\mathbf{x}},{\Pi }_{\mathbf{x}}=|\mathbf{x}⟩⟨\mathbf{x}{|}_A,$$

其中 $V_{\mathbf{x}}$ 作用于 $R\otimes B\otimes M$,表示”沿路径 $p(\mathbf{x})$ 路由并读出”。$U_{\mathrm{q}}$ 幺正当且仅当每个 $V_{\mathbf{x}}$ 幺正。三行证明:由 ${\Pi }_{\mathbf{x}}{\Pi }_{{\mathbf{x}}^{\prime }}={\delta }_{\mathbf{x}{\mathbf{x}}^{\prime }}{\Pi }_{\mathbf{x}}$,

$$U_{\mathrm{q}}^{†}{U}_{\mathrm{q}}=\sum _{\mathbf{x},{\mathbf{x}}^{\prime }}{\Pi }_{\mathbf{x}}{\Pi }_{{\mathbf{x}}^{\prime }}\otimes V_{\mathbf{x}}^{†}{V}_{{\mathbf{x}}^{\prime }}=\sum _{\mathbf{x}}{\Pi }_{\mathbf{x}}\otimes V_{\mathbf{x}}^{†}{V}_{\mathbf{x}},$$

块对角结构下总算符为 $1$ 当且仅当每块 $V_{\mathbf{x}}^{†}{V}_{\mathbf{x}}=1$。语义不禁止每分支各用一套机制,只要每套可逆——问题是朴素实现会让每个 $V_{\mathbf{x}}$ 触碰全部 $N-1$ 个节点(fanout 式级联)。架构设计的全部内容可压缩为一句话:利用树几何,把”对 $N$ 个分支的整体控制”分解为”$n$ 层局部控制的乘积”。地址按位因子化,路径是逐层二选一的拼接,因此路由可写成层算符之积

$$U_{\mathrm{route}}=U_n\cdots U_2{U}_1,U_{\ell }=\text{第 }\ell \text{ 个地址比特被已激活的上一层节点导引并被吸收},$$

读出是 $U_{\mathrm{out}}$,复位是 $U_{\mathrm{route}}^{†}$,整体查询呈共轭形式

$$U_{\mathrm{q}}=U_{\mathrm{route}}^{†}{U}_{\mathrm{out}}{U}_{\mathrm{route}}.$$

分工完全干净:$U_{\mathrm{route}}$ 只依赖树几何,$U_{\mathrm{out}}$ 只依赖通路结构,“控制”与”载荷”在算符层面解耦——这是后文误差局域化证明的结构基础 Hann 2021。

路由推导:迷你树上的完整态矢演算

路由器抽象:等待—指向映射

取最通用的三能级路由器(qutrit):等待态 $|W⟩$ 与两个指向态 $|L⟩,|R⟩$。它对过路量子比特执行两类基本动作。

吸收(节点处于 $|W⟩$ 时)——地址比特的值被转入指向态,过路比特被清零:

$$|W⟩|0⟩\mapsto |L⟩|0⟩,|W⟩|1⟩\mapsto |R⟩|0⟩.$$

导引(节点已被激活时)——指针态决定过路比特进入左还是右子通道,自身不变:

$$|L⟩|b⟩\mapsto |L⟩|b{⟩}_{\text{左}},|R⟩|b⟩\mapsto |R⟩|b{⟩}_{\text{右}}.$$

两类动作都是计算基上的置换,可逆、无测量。对叠加态地址比特,吸收给出 $|W⟩(\alpha |0⟩+\beta |1⟩)\mapsto (\alpha |L⟩+\beta |R⟩)|0⟩$:指针相干地记下比特值,右端已因子化——信息整体迁入路由器而非复制到两个系统。这是 GLM 光学方案”原子吸收光子并翻转指向”的电路抽象 GLM PRA 2008,逆映射在复位阶段原样调用。

图:bucket-brigade 路由树;地址比特串行进树,被激活节点构成一条从根到叶的路径(来源:QR002)

n=2 完整演算

取 $n=2$:地址 $\mathbf{x}=x_1{x}_2$,树有根 $r_0$ 与两个子节点 $r_1,r_2$(共 $N-1=3$ 个节点),四个叶子单元存 $D_0,\dots ,D_3$。地址比特串行进树:先 $x_1$,后 $x_2$。

阶段 0(就绪):

$$|{\Psi }_0⟩=(\sum _{x_1,x_2}{\psi }_{x_1{x}_2}|x_1{x}_2{⟩}_A)|W{⟩}_{r_0}|W{⟩}_{r_1}|W{⟩}_{r_2}|0{⟩}_B\underset{k}{⨂}|D_k{⟩}_{M_k}.$$

阶段 1($x_1$ 被根吸收):吸收映射按下标值分裂振幅,$x_1$ 槽位统一清零:

$$|{\Psi }_1⟩=|0{⟩}_{x_1}\otimes [({\psi }_{00}|0⟩+{\psi }_{01}|1⟩{)}_{x_2}|L{⟩}_{r_0}+({\psi }_{10}|0⟩+{\psi }_{11}|1⟩{)}_{x_2}|R{⟩}_{r_0}]|W{⟩}_{r_1}|W{⟩}_{r_2}|0{⟩}_B|D{⟩}_M.$$

取均匀叠加 ${\psi }_{x_1{x}_2}=\frac{1}{2}$ 检验:方括号内化为 $\frac{1}{2}(|0⟩+|1⟩{)}_{x_2}(|L⟩+|R⟩{)}_{r_0}$——仍是乘积态,纠缠为零;地址信息只是”换了个寄存器住”。

阶段 2($x_2$ 经根导引、被第 1 层节点条件吸收):根的指向成为条件控制——$|L{⟩}_{r_0}$ 把 $x_2$ 引给 $r_1$,$|R{⟩}_{r_0}$ 引给 $r_2$;被引到的等待节点执行吸收:

$$\begin{array}{rl}|{\Psi }_2⟩=(& {\psi }_{00}|LLW⟩+{\psi }_{01}|LRW⟩+{\psi }_{10}|RWL⟩+{\psi }_{11}|RWR⟩{)}_R\\ & \otimes |00{⟩}_A|0{⟩}_B\underset{k}{⨂}|D_k{⟩}_{M_k},\end{array}$$

指针串按 $(r_0,r_1,r_2)$ 书写,$|LLW⟩$ 即路径 $p(00)$。均匀叠加时树处于四个正交指针构型的相干叠加(以 $(r_0):(r_1{r}_2)$ 切割,纠缠熵为 1 比特);地址槽位已全部清零,地址信息以相干叠加整体迁入树中。树仍是纯态——正交指针记录要等与总线耦合后才转化为退相干(§复位推导)。

阶段 3(读出):空载总线 $|0{⟩}_B$ 从根注入,沿已 carve 出的路径到达叶子,与对应单元交换或复制:

$$|{\Psi }_3⟩=\frac{1}{2}(|LLW⟩|D_0{⟩}_B+|LRW⟩|D_1{⟩}_B+|RWL⟩|D_2{⟩}_B+|RWR⟩|D_3{⟩}_B),$$

(均匀叠加,恒定因子省略;量子数据情形被读单元变为 $|0⟩$,见 §读出推导。)此刻总线与树纠缠:$(R):(B)$ 切割的纠缠熵为 2 比特。

阶段 4(复位):按进树逆序调用吸收的逆映射——$r_1,r_2$ 先吐回 $x_2$,根再吐回 $x_1$,全部指针回 $|W⟩$:

$$|{\Psi }_4⟩=(\sum _{\mathbf{x}}{\psi }_{\mathbf{x}}|\mathbf{x}{⟩}_A|D_{\mathbf{x}}{⟩}_B)\otimes |WWW{⟩}_R\otimes |D{⟩}_M.$$

地址与总线按语义合同纠缠(想要的输出叠加),树与之完全因子化,器件回到就绪态。

推广到一般 $n$:共 $n$ 次串行吸收,任意时刻至多 $n$ 个节点脱离等待态——这就是”任意时刻只有 $O(\log N)$ 个节点与地址纠缠”的准确含义 GLM PRL 2008;每阶段写入一比特分支记录,每层至多一个节点被激活。

逐层记账:激活比与指针熵

均匀叠加地址下,深度 $\ell$(根为 $\ell =0$)的节点仅在地址前缀与其路径一致的分支中被激活,概率 $2^{-\ell }$:根恒激活,第 1 层各激活一半,第 2 层各激活四分之一,依此类推。该节点指针的约化态是 $\mathrm{Pr}[W]=1-2^{-\ell }$、$\mathrm{Pr}[L]=\mathrm{Pr}[R]=2^{-\ell -1}$ 的混合,熵为

$$S_{\ell }=H_2(2^{-\ell })+2^{-\ell }\approx (\ell +2)2^{-\ell }(\ell \text{大}),$$

其中 $H_2$ 为二元熵函数($n\ge \ell +1$):

深度 $\ell$	0	1	2	3	4	5
$S_{\ell }$(比特)	1.000	1.500	1.061	0.669	0.394	0.232

除根与第一层外单调递减、按 $\ell 2^{-\ell }$ 量级指数衰减——越深的节点参与叠加越少。对 $n=3$(浙大实验规模),三层路由比特预期熵 $1.5\to 1.06\to 0.67$ 比特递减,与该实验测得的纠缠熵随深度递减趋势相符 Shen 2026(见 错误局域化)。

激活比 $2^{-\ell }$ 同时是错误污染比:深度 $\ell$ 节点出错只毁掉经过它的 $2^{-\ell }$ 比分支——§噪声 的求和全靠这一点。

对照:fanout 把叠加放在了哪里

fanout 架构用 CNOT 级联把第 $k$ 个地址比特扇出到 $2^k$ 个开关,所有 $N-1$ 个节点都携带完整地址的叠加记录:激活比从 $2^{-\ell }$ 变为 1,每层求和项不再衰减,单门误差必须压到 $O(2^{-n})$;GLM 自陈该路线大规模下”必然屈服于噪声与退相干” GLM PRA 2008(见 fanout 架构)。差异不在用门数目,而在量子叠加被放置的位置:bucket-brigade 把叠加限制在一条 $O(n)$ 活性路径上,fanout 把叠加摊满整棵树——这是一切噪声分析的几何根源(见 桶队架构)。

读出推导:经典可复制,量子须交换

经典数据:CNOT、相位回踢与幂等性

QRACM(量子地址、经典数据)中每个单元存 $m$ 位经典串,编码为计算基态 $|D_k⟩=|D_k^{(1)}\cdots D_k^{(m)}⟩$。读出即 $m$ 个受控非:激活叶子 $M_{\mathbf{x}}$ 的每个数据比特向总线对应比特做 CNOT,

$$|0{⟩}_B|D_{\mathbf{x}}{⟩}_{M_{\mathbf{x}}}⟼|D_{\mathbf{x}}{⟩}_B|D_{\mathbf{x}}{⟩}_{M_{\mathbf{x}}},$$

单元内容原样保留。此处”复制”不违反不可克隆定理:CNOT 对计算基是可逆置换,被复制的是已知的经典比特串而非未知量子态——定理禁止的是对任意叠加态的普适复制(下一节)。相位变体把读出结果编码进相位:XOR 型读出 $O:|\mathbf{x}⟩|y⟩\mapsto |\mathbf{x}⟩|y\oplus D_{\mathbf{x}}⟩$ 以总线为靶位,置总线于 $|-⟩=\frac{|0⟩-|1⟩}{\sqrt{2}}$ 后即得 $O|\mathbf{x}⟩|-⟩=(-1{)}^{D_{\mathbf{x}}}|\mathbf{x}⟩|-⟩$,即相位回踢(phase kickback),Grover、Deutsch–Jozsa 类算法使用的正是此形态;两种读出在经典数据下可互相转换。

XOR 型读出还有一个常被低估的代数性质:自逆——$O^2|\mathbf{x}⟩|y⟩=|\mathbf{x}⟩|(y\oplus D_{\mathbf{x}})\oplus D_{\mathbf{x}}⟩=|\mathbf{x}⟩|y⟩$,故 $O^2=1$、本征值只能是 $\pm 1$,这正是相位 oracle 存在的原因;Hann 等处理任意输入态的技巧也源于此:连查两次利用幂等性抵消第一遍扰动,代价仅 $T\to 2T$ Hann 2021。

量子数据:不可克隆定理与 SWAP 语义

设单元可能存未知量子态 $|{\phi }_k⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$。若仍试图”复制”,需幺正 $C$ 满足 $C|\phi ⟩|0⟩=|\phi ⟩|\phi ⟩$ 对一切 $|\phi ⟩$ 成立。基态要求给出 $C|0⟩|0⟩=|00⟩$、$C|1⟩|0⟩=|11⟩$;对叠加态按线性,

$$C(\alpha |0⟩+\beta |1⟩)|0⟩=\alpha |00⟩+\beta |11⟩,$$

而复制成功则应得到 $(\alpha |0⟩+\beta |1⟩{)}^{\otimes 2}={\alpha }^2|00⟩+\alpha \beta (|01⟩+|10⟩)+{\beta }^2|11⟩$。两式相等当且仅当 $\alpha \beta =0$——普适克隆幺正不存在(Wootters–Zurek 不可克隆定理)。于是量子数据的读出唯一出路是交换:

$${\mathrm{SWAP}}_{B,M_{\mathbf{x}}}:|0{⟩}_B|{\phi }_{\mathbf{x}}{⟩}_{M_{\mathbf{x}}}⟼|{\phi }_{\mathbf{x}}{⟩}_B|0{⟩}_{M_{\mathbf{x}}},$$

态被”搬走”而非”抄走”,单元被清空——QRAQM 的查询消耗单元内容。这解释了 Kuperberg 四分类的实现难度分层:QRACM 只需 CNOT 型读出,是算法最常假设的形态;QRAQM 读出为 SWAP 型,且”按量子地址写入”的一半几乎没有任何方案——写入与读出受同一组”线性延拓 + 不可克隆”约束(见 分类学) Jaques-Rattew。

电路层面,SWAP 读出常写成以指针态为控制的受控交换(Fredkin/CSWAP)网络:指针 $|L⟩/|R⟩$ 控制总线与左/右子通道逐层互换。浙大实验的硬件高效分解把该网络深度压缩 30% 以上 Shen 2026;而路由器必须确定性、完整传输、可逆——非确定性后选择或不完整传输都无法支撑 $U_{\mathrm{route}}^{†}$(见 路由器实验)。

复位推导:uncompute 为何不可省略

残余指针=which-path 记录:三行退相干证明

假设跳过阶段 4,停在

$$|{\Psi }_3⟩=\sum _{\mathbf{x}}{\psi }_{\mathbf{x}}|p(\mathbf{x}){⟩}_R|D_{\mathbf{x}}{⟩}_B$$

(恒定因子省略)。不同地址的指针构型正交:$⟨p({\mathbf{x}}^{\prime })|p(\mathbf{x})⟩={\delta }_{\mathbf{x}{\mathbf{x}}^{\prime }}$,因为两组指针串至少在一个 qutrit 因子上取不同基态。对树求偏迹,总线约化态为

$${\rho }_B=\sum _{\mathbf{x},{\mathbf{x}}^{\prime }}{\psi }_{\mathbf{x}}{\psi }_{{\mathbf{x}}^{\prime }}^{\ast }⟨p({\mathbf{x}}^{\prime })|p(\mathbf{x})⟩|D_{\mathbf{x}}⟩⟨D_{{\mathbf{x}}^{\prime }}|=\sum _{\mathbf{x}}|{\psi }_{\mathbf{x}}{|}^2|D_{\mathbf{x}}⟩⟨D_{\mathbf{x}}|.$$

第三步即全部内容:非对角项(数据分支之间的相干性)被指针构型的零重叠消灭。树在查询中扮演了双缝实验里 which-path 探测器的角色——正交的环境记录等价于完全退相干,总线拿到的是数据的经典混合,而非语义合同要求的 ${\sum }_{\mathbf{x}}{\psi }_{\mathbf{x}}|D_{\mathbf{x}}⟩$。任何依赖分支间干涉的后续步骤(振幅放大、相位估计)随之失效。注意这不依赖数据是否量子:即使 $D_{\mathbf{x}}$ 全是经典比特,混合态也不是相干叠加;仅当地址到数据的映射大量简并时,简并类内部的相干才部分存活。GLM 原始论文即把复位列为查询流程的一步,原因在此 GLM PRA 2008。

数值:跳过复位,保真度坍缩到 $1/N$

仍取 $n=2$、均匀叠加、四个数据态彼此正交。合同要求的目标总线态为 $|\phi ⟩=\frac{1}{2}{\sum }_k|D_k⟩$;跳过复位得到 ${\rho }_B=\frac{1}{4}{\sum }_k|D_k⟩⟨D_k|$。保真度

$$F=⟨\phi |{\rho }_B|\phi ⟩=\sum _k\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{N}=\frac{1}{4}.$$

一般 $N$ 下 $F=1/N$;完整复位后理想情形 $F=1$。复位不是工程上的礼貌,而是查询语义的组成部分——路由器”借用”地址分支信息实现控制,uncompute 就是把相干性原样归还。

共轭结构、可复用性与无泄露

把复位写成 $U_{\mathrm{route}}^{†}$ 后,查询呈共轭形式 $U_{\mathrm{q}}=U_{\mathrm{route}}^{†}{U}_{\mathrm{out}}{U}_{\mathrm{route}}$,三条性质自动成立:$U_{\mathrm{q}}$ 幺正;树回到 $|W{⟩}_R$、器件立即复用——背靠背查询即 $U_{\mathrm{q}}$ 连乘,对 Grover 的 $O(\sqrt{N})$ 次迭代与 HHL 类的多次装载是硬需求;无信息滞留——树若残留指针记录,后续对树的任何测量都构成地址旁路泄露,复位后树与 $A\otimes B$ 因子化,泄露通道关闭。

噪声下的查询语义:误差局域化的求和推导

分支计数:三行求和

设单操作错误率 $\epsilon$、电路深度 $T$,树上每个组件独立承噪。深度 $\ell$ 节点的错误只污染经过它的分支,占比 $2^{-\ell }$;该层共有 $2^{\ell }$ 个节点。第 $\ell$ 层的错误权重

$$\underset{\text{节点数}}{\underbrace{2^{\ell }}}\times \underset{\text{污染分支比}}{\underbrace{2^{-\ell }}}\times \underset{\text{单节点错误预算}}{\underbrace{\epsilon T}}=\epsilon T,$$

对 $n$ 层求和:

$$1-F\lesssim \sum _{\ell =0}^{n-1}\epsilon T=\epsilon T{\log }_{2}N.$$

指数衰减的激活比与指数增长的节点数逐层相消,每层贡献恰好抵消成一个 $\epsilon T$:这就是 bucket-brigade 噪声韧性的全部机制,也是 GLM 数字 ${\log }_{2}N\cdot \epsilon$ 的出处 GLM PRA 2008。对照 fanout:激活比为 1,层内 $2^{\ell }$ 个节点全部计入,不保真度按 $N\epsilon T$ 量级累积——单门误差必须指数小。

Hann–Lee–Girvin–Jiang 把这一启发式升级为一般噪声下的严格定理:即使全部 $O(N)$ 个路由器——包括从未被激活的等待节点——承受任意 CPTP 信道(覆盖去极化、相干错误、制备错误等),混合酉信道情形

$$1-F\le 4\epsilon T\log N(\text{要求 }\epsilon T\log N\le \frac{1}{4}),$$

完全任意信道的常数稍差;对数底只差常数因子。证明的关键引理是”错误不会从坏分支传播进好分支”,结构基础是共轭分解:控制只依赖地址几何,坏分支的错误被限制在自己的张量因子内 Hann 2021(细节与各架构标度见 噪声韧性)。

实验侧写

2025–2026 年浙大超导实验首次直接检验该机制:向三层 QRAM 的第三层路由比特注入可调去极化误差,被查询路径保真度以斜率 $-0.255$ 近线性下降,最远分支斜率仅 $-0.005$(约 50 倍差),误差局域化得到定量成像;两层/三层架构误差缓解后保真度分别为 $0.800\pm 0.026$ 与 $0.604\pm 0.005$,CSWAP 门保真度是关键瓶颈 Shen 2026。器件前提——确定性、可逆的路由器——已由超导 c-iSWAP 与 TCG 路由网络补齐(见 路由器实验)。

数值算例汇总

算例 1(GLM 误差预算)。 $\epsilon =10^{-3}$:$n=100$ 时 $n\epsilon =0.1$,即可对 $2^{100}$ 个地址做叠加寻址而总误差 10%;$\epsilon =10^{-2}$ 时 $n=10,20,30$ 对应 $10\%,20\%,30\%$ GLM PRA 2008。

算例 2(Hann 定理取数)。 $\epsilon =10^{-5}$、$N=2^{30}$、$T=n=30$:前提 $\epsilon T{\log }_{2}N=9\times 10^{-3}\le \frac{1}{4}$ 满足,故 $1-F\le 4\times 10^{-5}\times 900=0.036$,即 $F\ge 96.4\%$:十亿单元规模、免纠错、每操作逻辑错误率 $10^{-5}$ 时的查询保真度。

算例 3(Grover 场景的严苛对照)。 上述 $10^{-5}$ 对多项式次查询(HHL、qPCA 型)足够;但把 BB-QRAM 用作 Grover 预言机($\Theta (\sqrt{N})$ 次查询)时,Regev–Schiff 型论证要求 $\epsilon \in o(2^{-n/2})$ Arunachalam 2015。以 $n=30$ 核验:总误差粗略为 $Q\cdot n\epsilon$,取 $\epsilon =10^{-5}$、$Q\approx 2.6\times 10^4$ 得 $\approx 8$——加速被噪声淹没;须压到 $\epsilon \lesssim 2^{-15}\approx 3\times 10^{-5}$ 量级并配合纠错(见 噪声韧性 与 噪声韧性之争)。

算例 4(跳过复位)。 $n=2$:$F=1/4$;一般 $F=1/N$。

算例 5(实验锚点)。 两层保真度 $0.800\pm 0.026$、三层 $0.604\pm 0.005$;错误注入斜率 $-0.255$ 对 $-0.005$ Shen 2026。

四本成本账:时间、空间、门、能耗

把架构 $\mathfrak{A}$ 在规模 $N$ 的一次查询记为四元账本 $(T,S,G,E)$。

• 时间账 $T_{\mathrm{q}}(\mathfrak{A},N)$:单次查询关键路径。bucket-brigade 串行进树需 $O(n^2)$ 步;流水线化后摊销 $O(n)$ 层 GLM PRA 2008;Paler 等证明地址翻译后有效查询可达 $O(1)$ 并行度、与表面码兼容 Paler 2020(见 电路级优化)。
• 空间账 $S(\mathfrak{A},N)$:物理系统总数 $=N$ 个存储单元 $+N-1$ 个路由器 $+O(n)$ 地址/总线/辅助。“指数多辅助比特”是 bucket-brigade 换取查询速度的显式代价 Paler 2020。
• 门账 $G_{\mathrm{q}}(\mathfrak{A},N)$:每次查询实际执行的纠缠两体门数。激活口径:fanout 为 $O(N)$,bucket-brigade 为 $O(n)$ 量级(计入门分解至多 $O({\log }^{2}N)$) GLM PRL 2008 GLM PRA 2008;装机口径两者同为 $O(N\log N)$ 量级——不省”造”的成本,省的是每次查询”动”的成本。其噪声投影即不保真度标度:三能级 $\epsilon {\log }^{2}N$、两能级 $\epsilon {\log }^{3}N$ 量级 Hann 2021(见 两能级路由器)。
• 能耗账 $E_{\mathrm{q}}(\mathfrak{A},N)$:每次查询耗散的能量,粗记 $E_{\mathrm{q}}\approx P_{\mathrm{on}}{T}_{\mathrm{q}}+N_{\mathrm{act}}{E}_{\mathrm{sw}}$($N_{\mathrm{act}}\sim n$ 为激活开关数)。GLM 指出 bucket-brigade 把寻址能耗从 $O(N)$ 降到 $O(\log N)$ 量级 GLM PRL 2008;Jaques–Rattew 的量级估算给出密码分析规模参照:$2^{50}$ bit 访问能耗约 1 kJ、$2^{80}$ bit 约 1 GJ,而格密码筛选需 $2^{49}$–$2^{78}$ bit Jaques-Rattew(口径之争见 成本口径 与 机会成本定理)。

四本账彼此掣肘:压 $T_{\mathrm{q}}$ 常增大 $S$ 或 $G_{\mathrm{q}}$;压 $E_{\mathrm{q}}$ 撞上主动/被动之辨;$1-F$ 决定要不要纠错层。评价方案应同时报告全部账目,单维最优的宣称默认不完整(见 评价指标:六维打分卡)。

边界与讨论

查询语义的适用边界。 本词条默认数据静态、地址量子、读出目标是总线。三个方向的偏移各对应一族”形似 QRAM”的对象:以静态门阵列替代器件者属 qROM 电路——语义仍是 QRACM,但无路由树与器件韧性,不保真度按 $\epsilon N{\log }^{2}N$ 累积 Hann 2021(见 边界:qROM 电路与 QROM 模型);一般态制备电路只实现特定叠加而非通用查询(见 边界辨析);经典地址存取量子态的 RAQM 无叠加寻址、不执行语义合同(见 边界:RAQM 与量子存储)。

主动/被动之辨落在哪一环。 被动性要求整条 $U_{\mathrm{route}}^{†}{U}_{\mathrm{out}}{U}_{\mathrm{route}}$ 链由不含时哈密顿量自主完成;进树时钟、uncompute 的逆序触发等外部时序驱动都计入每次查询的干预成本,若每节点皆需干预,总额外干预可达 $\Omega (N)$ Jaques-Rattew(见 分类学)。

读出不对称的最后一层含义。 经典数据可复制,单元可备份、查询可重放;量子数据须 SWAP,单元一次性、查询具消耗性。Jaques–Rattew 称量子内存的一次访问为 “the mother of all cache misses”——缓存失效尚可重取,量子单元取走即空 Jaques-Rattew。QRAQM 读出语义已完备(§读出推导),缺的是”按量子地址写入”的半边,故至今停留在分类学一行字里。

延伸阅读

• QRAM 总览
• 桶队架构
• 噪声韧性
• 边界:RAQM 与量子存储
• 两能级路由器
• 边界:qROM 电路与 QROM 模型