相干路由器实验

"由量子态决定流向"是 QRAM 的核心原语;超导平台用四年把它从单路由器演示推进到两层相干路由网络,交出 95.74% 与 82.40% 两级保真度。

器件回顾:两条机制路线,三级阶梯

确定性量子路由器要回答的问题是:一个飞行量子信号的方向能否由一个量子比特的状态相干地决定——既不能测量地址(破坏叠加),也不能后选择(丢弃事件)。现有超导实验分两条机制路线。散射型(analog):路由器是腔 QED 散射体,单光子的反射/透射通道由开关量子比特的态选择。数字门型(digital):把路由编译为处理器原生门库中的受控交换门,信号以量子比特激发的形式在网络上搬运。本词条把两条路线逐个推导化,再把单路由器保真度接进 QRAM 的两本误差账(级联账与 Hann 预算;union bound 与 Hann 界的完整推导见 评价指标 与 桶队架构,本词条只引结论)。

散射型首证。 Wang 等 2021(PRApplied 15, 014049)实现首个超导确定性量子路由器,证明路由方向可由量子态相干决定:信号编码为弱相干微波脉冲,以纠缠见证(entanglement witness)严格验证开关比特与数据光子路径之间的纠缠,路由操作整体相干、无后选择(推导一)。

数字门型 Q² 路由。 Miao 等 2025(Stanford–Chicago)实现 signal 与 address 均为量子的完整路由(Q²-router,故名):固定频率 transmon 上以两个原生 c-iSWAP 门构成路由协议,$|eg⟩\leftrightarrow |gf⟩$ 边带驱动(sideband drive)负责布居转移,输入–开关间强 ZZ 相互作用使 iSWAP 具备选择性(推导二)。两个 c-iSWAP 门在有效子空间内保真度 97.77% 与 98.62%;16 个初态的平均路由保真度 95.3%,误差主要来自退相干与态制备和测量,误差放大(error amplification)测量给出协议口径 97.5±0.5%(拆账见推导二)。此前光子平台的 Q² 路由依赖非确定性后选择,该实验补上了确定性一环;作者指出擦除式探测与可调耦合器是后续改进方向。

两层 TCG 网络。 Zhang 等 2025(中科大+本源量子,超导处理器”悟空”,72 transmon + 126 耦合器)以跃迁复合门(transition composite gate,TCG)演示面向 bucket-brigade 的相干路由器与两层网络:用 transmon 的 $|2⟩$ 辅助能级作中介(如 $|11⟩\leftrightarrow |02⟩$ 跃迁),三次 $\sqrt{\mathrm{CZ}}$ 实现 CSWAP;路由地址编码在非相邻 qutrit 态 $|0⟩/|2⟩$ 上,泄漏到中间态 $|1⟩$ 即构成可检测的擦除错误(erasure error),测量后选择(post-selection)即可抑制(推导三)。门数对比:Clifford 分解需 20 个单比特门加 16 个双比特门、深度 30;TCG 擦除版仅 6+6 门、深度 12。实验结果:单路由器传输效率约 98%,随机寻址测试(RAT)保真度 95.74%(擦除后选择;无后选择 87.48%),两层网络平均 82.40%;仿真显示 $T_1$ 从 15 提到 60 μs 时可达 98.82%(非擦除)/99.51%(擦除)。布局以三角密铺把二叉路由树嵌入 2D 网格。

这一阶梯的意义在于”可逆、确定性、完整传输”:中科大论文明确指出,多数既有路由实验属非确定性或不完整传输,不适合可逆的 bucket-brigade QRAM。但两级实验均未包含完整的数据写入/读出循环——那一步由 浙大全架构实验完成,两者构成 2025 年中国超导 QRAM 实验的”双响”;同组的原生门集设计 Wang 等 2025 给出该路线的门级背景。

推导一:散射型路由器——真空 Rabi 劈裂与条件相位

散射型路由器的全部物理藏在一句哈密顿量里:transmon 与单腔模的 Jaynes–Cummings 型耦合(transmon 截断为二能级)

$$H/\hslash ={\omega }_c{a}^{†}a+\frac{{\omega }_q}{2}{\sigma }_z+g(a{\sigma }_{+}+a^{†}{\sigma }_{-}),\Delta :={\omega }_q-{\omega }_c,$$

其中 ${\omega }_c$ 为腔频、${\omega }_q$ 为 transmon 频率、$g$ 为单光子耦合强度。取 $|g,0⟩$ 为能量零点,单激发流形 $\{|g,1⟩,|e,0⟩\}$ 内的哈密顿量是二维矩阵

$$H_1=\hslash \left(\begin{array}{cc}{\omega }_c& g\\ g& {\omega }_q\end{array}\right),$$

对角化($\mathrm{tr}{H}_1=\hslash ({\omega }_c+{\omega }_q)$、$\det H_1={\hslash }^2{\omega }_c{\omega }_q-{\hslash }^2{g}^2$)给本征能量

$$E_{\pm }=\frac{\hslash }{2}({\omega }_c+{\omega }_q)\pm \hslash \sqrt{g^2+\frac{{\Delta }^2}{4}}.$$

共振 $\Delta =0$ 时吸收频率为 ${\omega }_c\pm g$:一条腔共振劈成间距 $2g$ 的双线,即真空 Rabi 劈裂(vacuum Rabi splitting)——“真空”指劈裂在腔内光子数为零时依然存在,它度量”单个 transmon 激发 ↔ 单个腔光子”的互换速率。要分辨双线而非一条加宽的线,要求劈裂超过线宽之和

$$2g\gg \kappa +\gamma ,$$

$\kappa$ 为腔模总泄漏率、$\gamma =1/T_1$ 为 transmon 能量弛豫率;探测带宽还须 ${\sigma }_{\omega }\ll 2g$,否则同一脉冲同时照亮两条缀饰线(dressed line),选择性被抹平。

输入–输出:反射系数与 cooperativity

单口波导耦合的腔对弱探测场的线性响应用输入–输出理论(input–output theory)解出,海森堡–朗之万方程线性化:

$$\dot{a}=-(\frac{\kappa }{2}+i{\omega }_c)a-ig{\sigma }_{-}+\sqrt{\kappa }{a}_{\mathrm{in}},{\dot{\sigma }}_{-}=(\frac{\gamma }{2}+i{\omega }_q){\sigma }_{-}-iga,$$

其中 $a_{\mathrm{in}}$ 为入射场算符。取 $e^{-i\omega t}$ 稳态分量,两式化为代数方程;由第二式 ${\sigma }_{-}=\frac{-iga}{\gamma /2-i(\omega -{\omega }_q)}$ 代入第一式:

$$a=-\frac{\sqrt{\kappa }{a}_{\mathrm{in}}}{\frac{\kappa }{2}+i({\omega }_c-\omega )+\frac{g^2}{\frac{\gamma }{2}-i(\omega -{\omega }_q)}}.$$

输出场由边界条件 $a_{\mathrm{out}}=a_{\mathrm{in}}-\sqrt{\kappa }a$ 给出,反射系数

$$r(\omega )=\frac{a_{\mathrm{out}}}{a_{\mathrm{in}}}=1-\frac{\kappa }{\frac{\kappa }{2}+i({\omega }_c-\omega )+\frac{g^2}{\frac{\gamma }{2}-i(\omega -{\omega }_q)}}.$$

在共振点 $\omega ={\omega }_c={\omega }_q$ 上,分母的虚部相消、耦合项化为 $2g^2/\gamma$,于是

$$r({\omega }_0)=1-\frac{\kappa }{\frac{\kappa }{2}+\frac{2g^2}{\gamma }}=1-\frac{2\kappa \gamma }{\kappa \gamma +4g^2}=\frac{4g^2-\kappa \gamma }{4g^2+\kappa \gamma }=\frac{C-1}{C+1},C:=\frac{4g^2}{\kappa \gamma },$$

$C$ 即合作度(cooperativity),相干与耗散之比的平方。把 transmon 移出共振(或使其解耦,$g_{\mathrm{eff}}\to 0$),同一公式退化为空腔值

$$r_0({\omega }_0)=1-\frac{\kappa }{\kappa /2}=-1.$$

两个极限即路由器的两分支:耦合分支 $r\to +1$(近乎全反射),解耦分支 $r_0=-1$(空腔全吸收再全发射)。条件相位(conditional phase)由此而来:$\Delta \phi =\arg r-\arg r_0\approx \pi$(修正量 $\sim 4/C$)。若在腔另一侧再开一个输出口,两分支还差一个幅度选择:裸腔分支共振透射、缀饰分支因劈裂失谐而反射——相位差与通道差合起来,就是”开关态决定出射通道”的频域起源。

数值上(本词条估算,典型超导腔 QED 量级):$C=100$ 给 $|r{|}^2=(99/101{)}^2=96.1\%$(约 3.9% 损失于 transmon 自发辐射通道);$C=1000$ 给 $|r{|}^2=99.6\%$。一般地 $1-|r{|}^2=4C/(C+1{)}^2\approx 4/C$:确定性的成色由合作度以 $1/C$ 定价——这是 3D 腔方案(见 超导腔 QRAM)把 $g$ 做大的原因。

相干路由的判据:concurrence 与纠缠见证

开关比特制备在叠加态 $\alpha |0⟩+\beta |1⟩$、入射单光子波包为 $|{\psi }_{\mathrm{in}}⟩$ 时,线性散射的条件幺正性给输出

$$|{\Psi }_{\mathrm{out}}⟩=\alpha t_0|0⟩|{\psi }_R⟩+\beta t_1|1⟩|{\psi }_L⟩,$$

$|{\psi }_R⟩,|{\psi }_L⟩$ 为两个正交输出通道的波包,$t_0,t_1$ 为两条通道的散射幅。归一化后,开关比特×路径比特这个二体纯态的并发度(concurrence)为

$$\mathcal{C}=\frac{2|\alpha t_0||\beta t_1|}{|\alpha t_0{|}^2+|\beta t_1{|}^2}\le 1,$$

等号要求幅度与权重完全平衡。两个定量判据:

• 幅度平衡:对平衡输入($|\alpha |=|\beta |$),记 $s=|t_1|/|t_0|$,则 $\mathcal{C}=2s/(1+s^2)$。$s=0.9$ 时 $\mathcal{C}=0.994$;$s=0.8$ 时 $\mathcal{C}=0.976$——并发度对幅度失配是二次不敏感的,一成以内的通道失衡几乎不伤纠缠。
• 相位稳定:相对相位 $\phi =\arg t_1-\arg t_0$ 涨落(方差 ${\sigma }_{\phi }^2$)使交叉项乘上 $⟨e^{i\phi }⟩\approx e^{-{\sigma }_{\phi }^2/2}$,纠缠指数衰减。$\phi (\omega )$ 在共振附近以 $\sim 1/\kappa$ 斜率卷绕,故带宽还须 ${\sigma }_{\omega }\ll \kappa$,与 ${\sigma }_{\omega }\ll 2g$ 同时成立。

实验正沿这条判据链验证:Wang 等 2021 用纠缠见证代替完整层析,逻辑是保真度判据:与最大纠缠态的重叠 $F_{\mathrm{Bell}}>1/2$ 即判定纠缠。理由:任何可分态 $\rho ={\sum }_k{p}_k{\rho }_k^{(1)}\otimes {\rho }_k^{(2)}$ 与 Bell 态 $|\Phi ⟩=(|00⟩+|11⟩)/\sqrt{2}$ 的重叠满足(柯西–施瓦茨)

$$⟨\Phi |\rho |\Phi ⟩=\sum _k{p}_k|⟨\Phi |{\rho }_k^{(1)}{\rho }_k^{(2)}⟩{|}^2\le \sum _k{p}_k\frac{1}{2}=\frac{1}{2},$$

(单步:$|⟨\Phi |u\otimes v⟩{|}^2=\frac{1}{2}|{\sum }_i{u}_i{v}_i{|}^2\le \frac{1}{2}$。)于是 $F_{\mathrm{Bell}}>1/2$ 是纠缠的充分证据,无需重建密度矩阵。

与 GLM 吸收门的关系

桶队架构推导一的吸收门 $G:|b⟩|\mathrm{w}⟩\mapsto |b⟩|p(b)⟩$ 在硬件上正是本节的散射矩阵 $S=|0⟩⟨0|\otimes S_0+|1⟩⟨1|\otimes S_1$,差别只在”吸收”的方向:GLM 节点要把地址吸进路由器(地址–光子互换),Wang 路由器则是开关驻留、光子改道——它证明的是最小原语,而非完整 QRAM 节点。同类条件通道选择在里德堡平台上由手性耦合实现,见 手性路由器。

推导二:Q² 路由器——ZZ 色散与 c-iSWAP 选择性

数字门型路由把”散射”换成”门”:路由协议 = 两个原生受控 iSWAP(c-iSWAP),条件性来自固定频率 transmon 间的 ZZ 相互作用。本节推导 ZZ 从哪来、边带驱动为何有选择性、95.3% 的误差账怎么拆。

ZZ 的二阶微扰推导

两个耦合 transmon(频率 ${\omega }_1>{\omega }_2$、失谐 $\Delta ={\omega }_1-{\omega }_2$、非谐 ${\alpha }_1,{\alpha }_2<0$、交换耦合 $J$),低能流形上的微扰项为 $J(a_1^{†}{a}_2+a_1{a}_2^{†})$。Schrieffer–Wolff 二阶能量修正逐态列出:

• $|10⟩\leftrightarrow |01⟩$(矩阵元 $J$):$\delta E_{10}=J^2/\Delta$,$\delta E_{01}=-J^2/\Delta$;
• $|11⟩\leftrightarrow |20⟩$(矩阵元 $\sqrt{2}J$,能差 ${\omega }_2-{\omega }_1-{\alpha }_1=-(\Delta +{\alpha }_1)$):贡献 $-2J^2/(\Delta +{\alpha }_1)$;
• $|11⟩\leftrightarrow |02⟩$(矩阵元 $\sqrt{2}J$,能差 $\Delta -{\alpha }_2$):贡献 $+2J^2/(\Delta -{\alpha }_2)$。

ZZ 耦合率定义为条件相位谱 $\zeta :=E_{11}-E_{10}-E_{01}+E_{00}$($E_{00}=0$ 无修正),逐项相加($\delta E_{10}$ 与 $\delta E_{01}$ 的 $\pm J^2/\Delta$ 恰好对消):

$$\zeta =2J^2[\frac{1}{\Delta -{\alpha }_2}-\frac{1}{\Delta +{\alpha }_1}]\stackrel{{\alpha }_1={\alpha }_2=\alpha }{\to }\frac{4J^2\alpha }{{\Delta }^2-{\alpha }^2}(<0).$$

数值代入(本词条估算的典型参数):$J/2\pi =20\mathrm{MHz}$、$\Delta /2\pi =400\mathrm{MHz}$、$\alpha /2\pi =-200\mathrm{MHz}$ 给 $\zeta /2\pi =4\times 20^2\times (-200)/(400^2-200^2)\mathrm{MHz}\approx -2.7\mathrm{MHz}$——比可调耦合器把 ZZ 关断到的 kHz 量级大两个量级以上,即 Q² 路由器”强 ZZ”工作点,换来无需调频的条件性。

边带驱动的有效二能级与选择性条件

布居转移由 $|eg⟩\leftrightarrow |gf⟩$ 边带驱动完成(脚标:信号,开关):信号 $|e⟩\to |g⟩$ 与开关 $|g⟩\to |f⟩$ 同步翻转,激发守恒。ZZ 项使这条跃迁的频率依赖条件分支:开关组态不同,边带频率被 $\zeta$ 与非谐性组合错开 ${\Delta }_{\mathrm{sel}}$。共振分支约化为二能级拉比问题

$$H_{\mathrm{eff}}/\hslash =\frac{\Omega }{2}(|gf⟩⟨eg|+|eg⟩⟨gf|),t_g=\frac{\pi }{\Omega }\text{(完全交换)},$$

非共振分支被失谐压制:布居振荡幅度 $(\Omega /{\Delta }_{\mathrm{sel}}{)}^2{\sin }^2(\frac{1}{2}\sqrt{{\Omega }^2+{\Delta }_{\mathrm{sel}}^2}t)$,在共振门时长内给出寄生抽运误差

$$P_{\mathrm{leak}}\lesssim (\frac{\Omega }{{\Delta }_{\mathrm{sel}}}{)}^2.$$

选择性给出设计不等式:$\Omega \ll {\Delta }_{\mathrm{sel}}$(压寄生抽运)且 $t_g=\pi /\Omega \ll T_2$(压退相干),夹出窗口 ${\Delta }_{\mathrm{sel}}\gg \Omega \gg \pi /T_2$。数值感(本词条估算):$\Omega /2\pi =5\mathrm{MHz}$、${\Delta }_{\mathrm{sel}}/2\pi \sim 180\mathrm{MHz}$(非谐性减 ZZ 修正)给 $P_{\mathrm{leak}}\approx 7.7\times 10^{-4}$/门、$t_g\approx 100\mathrm{ns}$;对 $T_2\sim 30$–$60\mu \mathrm{s}$,$t_g/T_2\sim 2$–$3\times 10^{-3}$。两个误差源同量级且均远小于实测门误差,说明 97.77%/98.62% 主要消耗在协议时长与串扰上,而非单门选择性——与”退相干为主”的归因一致。具体跃迁指认以论文为准,本节失谐代数是条件边带门的教科书级结构。

误差预算验算:2.7% + 1.7% + 97.5±0.5%

16 个初态的平均路由保真度 95.3%,即总误差 $1-F=0.047$。文献给出三个来源口径,先做自洽核算:

• 退相干:各比特相干项按 $e^{-t_k/T_{2,k}}$ 衰减,一阶并账(union bound 同款逻辑,严格版见 评价指标)为 $1-F_{\mathrm{dec}}\lesssim {\sum }_k{t}_k/T_{2,k}$。取 $T_2\approx 40\mu \mathrm{s}$,估计的 $2.7\%$ 对应总加权驻留 ${\sum }_k{t}_k\approx 1.1\mu \mathrm{s}$——对”两次边带门 + 若干百 ns 级操作”的协议是合理量级(本词条估算)。
• SPAM:约 $1.7\%$,由独立层析/基准测定。
• 误差放大外推:故意拉长协议中的可控时长,拟合 $1-F(\tau )=1-F_0+\Gamma \tau$ 的线性斜率,截距给出去除该误差通道后的协议口径保真度 $F_0=97.5\pm 0.5\%$。

三种口径的拼合:总误差 $0.047$ 对”协议口径 $0.025$ + SPAM $0.017$“之和 $0.042$ 的残差约 $0.005$,恰在 $\pm 0.005$ 不确定度内;协议口径的 $2.5\%$ 与退相干估计的 $2.7\%$ 在误差棒内重合——这就是”已达退相干极限”的定量含义:没有未经解释的大误差桶。一个陷阱须避开:把两个 c-iSWAP 的门误差($2.23\%+1.38\%=3.61\%$)再叠加退相干与 SPAM 会得到 $8\%$,超过实测——随机化基准(randomized benchmarking,RB)口径的门保真度已把门内退相干计入,直接相加是重复记账。

推导三:TCG 路由器——跃迁复合门与擦除后选择

门数账:为什么辅助能级省门

CSWAP(受控交换,Fredkin 门)的困难在于三体条件性。先写出一条把三体问题降为”两体+一次 Toffoli”的标准恒等式并逐基矢验证:

$$\mathrm{CSWAP}(a;b,c)={\mathrm{CNOT}}_{b\to c}\cdot {\mathrm{Toffoli}}_{ca\to b}\cdot {\mathrm{CNOT}}_{b\to c}.$$

验证:对 $a=0$,中间的 Toffoli 不动作,两个 CNOT 抵消($c\to c\oplus b\to c\oplus b\oplus b=c$),整体恒等 ✓;对 $a=1$,三步依次给 $c^{\prime }=c\oplus b$、$b^{\prime }=b\oplus (c^{\prime }\cdot 1)=c$、$c^{\prime \prime }=c^{\prime }\oplus b^{\prime }=c\oplus b\oplus c=b$——$b,c$ 互换 ✓。困难于是全部集中到 Toffoli:在 CZ 原生门库上,无辅助比特的 Toffoli 至少要 6 个 CZ(教科书结果),这就是 Clifford 分解”20 单比特 + 16 双比特、深度 30”的来源。

TCG 的办法是用 $|2⟩$ 能级把三体条件降维成频率条件:控制比特为 $|1⟩$ 时,ZZ 位移使目标的 $|1⟩\leftrightarrow |2⟩$ 跃迁(如 $|11⟩\leftrightarrow |02⟩$)移到一个独一无二的频率上,驱动它等价于”仅在控制为 1 时对目标施加相位”——原本 6 个 CZ 拼出的条件相位,由跃迁选择性直接给出。三次 $\sqrt{\mathrm{CZ}}$ 按复合脉冲(composite pulse)方式串联:中间层以辅助跃迁为中介、外侧两层以常规跃迁回卷,泄漏幅值成对相消,计算子空间内合成 CSWAP。账面从 16 CZ/深度 30 压到 6+6/深度 12(Zhang 等 2025;门集背景见 Wang 等 2025)。三次复合的具体脉冲表属论文细节,本节推导的是”辅助能级 → 频率条件 → 门数下降”的结构性原因。

擦除模型的参数反解

地址编码在非相邻 qutrit 态 $|0⟩/|2⟩$ 的直接后果:主要错误通道($|2⟩\to |1⟩$ 弛豫、驱动寄生的 $|0⟩\to |1⟩$)都把地址打进中间态 $|1⟩$——错误自带标签。读出 qutrit 后,“地址 $\notin \{0,2\}$“的事件整体丢弃,即擦除后选择。设错误分擦除型(可检测,概率 $e_L$)与非擦除型(不可检测,概率 $e_N$),单错误近似下:

$$F_{\mathrm{raw}}=1-e_L-e_N=0.8748,F_{\mathrm{ps}}=\frac{1-e_N}{1-e_L}=\mathrm{0.9574.}$$

解出 $e_L=0.0422$、$e_N=0.0830$(本词条按模型反推,非文献原文数字):原始误差 $12.5\%$ 中约 $34\%$ 是可检测擦除。代价是通告率:接受比例 $S=(1-e_L{)}^n$ 指数衰减——$n=10$ 剩 $65\%$,$n=30$ 剩 $27\%$,$n=100$ 仅 $1.3\%$。这与浙大全架构实验的坦承同构:对全部路由比特做后选择在大规模下不可行(BB-QRAM 实验);擦除信息的正确用法是当错误指证喂给纠错层,而非无限期后选择(见 误差局域化)。

两层网络的缺口归因

若两层网络只是两个独立路由器的级联,后选择口径应给 $F_2=0.9574^2=91.7\%$;实测 $82.40\%$,缺口 9.3 个百分点。几何平均反推,每层有效保真度仅 $0.8240^{1/2}=90.8\%$,比独立的 95.74% 低约 5 个百分点——对应第二层空闲退相干、层间连接与编译开销、更多 qutrit 的读出误差(文献未逐项拆分,本词条只做量级核对);结论与 十八年时间线 一致:元件保真度不等于架构保真度。好消息由仿真给出:$T_1$ 15→60 μs 时单路由器可达 98.82%/99.51%Zhang 等 2025——按推导四,这正是把可负担层数从 2 推到 10 所需的幅度。

推导四:级联账——从单路由器保真度到树保真度

$r^n$ 的推导与三种读法

模型:查询沿树激活 $n={\log }_{2}N$ 个路由器,各路由器独立、无错概率 $r$($\epsilon =1-r$),任一错误毁掉所在分支(最保守记账)。$n$ 层全好的概率为乘积

$$F_{\mathrm{tree}}=\prod _{k=1}^{n}r=r^n\ge (1-\epsilon {)}^n\ge 1-n\epsilon ,$$

末步是 Bernoulli 不等式(证明见 评价指标)。三种等价读法:

1. 指数读法:$\ln F_{\mathrm{tree}}=n\ln r$,特征层数 $\xi =-1/\ln r$。$r=0.953$ 给 $\xi \approx 20.8$ 层:每过约 21 层,保真度再折一个 $e$。
2. 幂律读法:$F_{\mathrm{tree}}=r^{{\log }_{2}N}=N^{{\log }_{2}r}$——对 $N$ 是幂律而非指数。${\log }_{2}0.953=-0.0695$:容量每翻一倍,保真度乘一次 $0.953$。
3. 预算读法:要求 $F_{\mathrm{tree}}\ge F_{\min }$,则 $\epsilon \le -\ln F_{\min }/n$;取 $F_{\min }=0.9$,预算常数 $-\ln 0.9=0.105$。

代入三组实测/推导的单路由器保真度:

树深 $n$	$0.953^n$(Q² 实测)	$0.9574^n$(TCG 后选)	$0.975^n$(Q² 协议口径)	$F\ge 0.9$ 所需单层 $r$
10	61.8%	64.7%	77.6%	98.95%
30	23.6%	27.1%	46.8%	99.65%
100	0.8%	1.3%	8.0%	99.90%

预算只够两层:实验阶梯的定量含义

倒过来算”当前误差能撑几层”:$n_{\max }=0.105/\epsilon$。实测总口径 $\epsilon =0.047$ 给 $n_{\max }=2.2$,即 2 层;扣除 SPAM 的协议口径 $0.025$ 给 $n_{\max }=4.2$。2025 年的阶梯——单路由器(95.3%、95.74%)到两层网络(82.40%)——恰好停在这条预算线上:不是巧合,而是同一份器件参数在”演示”与”可扩展”之间的分界。撑 10 层需 $\epsilon \le 1.05\%$、30 层需 $0.35\%$、100 层需 $0.105\%$,即从当前最好值再提一到两个量级。口径提醒:级联账只数被激活的路由器,隐含”等待节点不出错”;含空闲退相干与任意信道的严格账是下节的 Hann 预算,要求更严。

推导五:与 Hann 预算的 gap 分析

四本账的误差要求表

Hann 等对全部 $2^n-1$ 个路由器(含等待态)施加任意 CPTP 噪声,证明混合酉信道下

$$1-F\le 4\epsilon T{\log }_{2}N,(\text{前提 }\epsilon T\log N\le \frac{1}{4})$$

两能级路由器因错误沿树上行,保守账涨到 $O(\epsilon T{\log }^{3}N)$(推导见 桶队架构与 两能级路由器)。取总误差目标 $\delta =0.1$、完整查询深度 $T=2n$(进树 + 逆序读回,与桶队事件账一致),反解各账本的单操作错误率要求:

账本	误差要求 ${\epsilon }_{\mathrm{req}}$	$n=20$($N=2^{20}$)	$n=30$($N=2^{30}$)	与当前硬件 ${\epsilon }_{\mathrm{hw}}=4.7\times 10^{-2}$ 的差距
级联/GLM(只数激活开关)	$0.105/n$	$5.3\times 10^{-3}$	$3.5\times 10^{-3}$	9 倍 / 13 倍(约 1 个量级)
Hann,qutrit 桶队	$\delta /(8n^2)$	$3.1\times 10^{-5}$	$1.4\times 10^{-5}$	$1.5\times 10^3$ / $3.4\times 10^3$(3.2 / 3.5 个量级)
Hann,两能级	$\approx \delta /(8n^3)$	$1.6\times 10^{-6}$	$4.6\times 10^{-7}$	$3.0\times 10^4$ / $1.0\times 10^5$(4.5 / 5.0 个量级)
fanout(对照下界)	$\delta /(N-1)$	$4.8\times 10^{-8}$	$9.3\times 10^{-11}$	$9.9\times 10^5$ / $5.1\times 10^8$(6.0 / 8.7 个量级)

直接回答”离 $2^{20}/2^{30}$ 还差几个量级”:以 ${\epsilon }_{\mathrm{hw}}=4.7\times 10^{-2}$ 计,离 Hann qutrit 账差约 3.2/3.5 个量级;用扣除 SPAM 的口径 $2.5\times 10^{-2}$ 则收窄到约 2.9/3.3 个量级;离乐观的 GLM 级联账只差约 1 个量级——真实可达标线介于两者之间,取决于等待态退相干与相干错误的占比(Hann 数值仿真与浙大错误注入数据都表明实际不保真度贴近乐观端,见 噪声韧性)。fanout 端的指数要求($6$–$9$ 个量级、每加一位地址翻倍)显出 bucket-brigade 路线的结构性优势(详见 fanout 架构 与 硬件共识设计策略)。

改进斜率与两条出路

各账本对”每加一位地址”的收紧速度:级联账 ${\epsilon }_{\mathrm{req}}\propto 1/n$(约 $5\%$/位);Hann qutrit 账 $\propto 1/n^2$(约 $10\%$/位);fanout 账 $\propto 2^{-n}$(每位置指数)。问题不在标度而在绝对值:从 $4.7\times 10^{-2}$ 到 $10^{-5}$ 需约三个半量级的器件改善,而近年斜率(双比特门错误率 $10^{-2}\to \sim 3\times 10^{-3}$,BB-QRAM 实验)表明纯器件进步还需多年。这解释了方案谱系为何收敛到两条出路:架构减负——擦除标记把 $34\%$ 的错误变成可指证信息(推导三)、错误局域化让未查询分支近乎免疫、专用散射器件(3D 腔、$C\gg 1$,推导一)把单节点误差压到 $\gamma$ 通道极限;离线化——资源态 QRAM 把最重的操作移出在线段,以可后选的批量制备换在线预算(见 成本口径)。推导一至三的实验在两份清单上各交了一行数据。

讨论:实验–理论对照与边界

实验	机制家族	关键读数	对应理论账	检验内容
Wang 2021	散射型条件路由	弱相干脉冲;纠缠见证证实开关–路径纠缠	GLM 条件路由原语(吸收门的条件半边)	“由量子态决定流向”的相干性与确定性
Miao 2025	数字门型 c-iSWAP	95.3%(16 态);协议口径 97.5±0.5%	union bound/级联:$\epsilon \approx 4.7\times 10^{-2}$ → 可撑 2 层	Q² 路由可行性;误差归因(退相干极限)
Zhang 2025	TCG 擦除路由	95.74%(后选)/87.48%(原始);两层 82.40%	级联 $0.9574^2=91.7\%$ vs 实测(网络开销 9.3 pp)	擦除后选择有效性;首个网络级数据点
Shen 2026	全循环桶队	两层/三层 0.800/0.604;斜率 $-0.255$ vs $-0.005$	Hann 局域化/有限纠缠	架构级噪声韧性(见 误差局域化)

三条边界须同时记牢。其一,三者都不是完整 QRAM:完整写入/读出循环与层间连接由浙大实验补上,元件–网络–架构三级至此闭合。其二,后选择不可规模化:接受率 $(1-e_L{)}^n$ 指数衰减,且级联账与擦除账在 $n\gtrsim 30$ 时都要求单路由器进入 $10^{-3}$ 区间——阶梯的下一级只能靠专用器件或纠错接口。其三,口径纪律:级联账是开关口径(乐观),Hann 预算是全组件口径(保守),实验门保真度多为 RB 口径(含门内退相干、不含 SPAM),跨口径直接加减会得出超实测的”账面误差”(推导二的教训)。把三个实验放进正确的账本,结论一致:QRAM 路由器的物理原语已全部走通,剩下的差距是工程量的差距,不是原理的差距。

延伸阅读

• bucket-brigade 首次全架构实验
• 电路级优化
• 硬件平台全景
• 两能级路由器
• 误差局域化
• 超导腔 QRAM