误差局域化

误差局域化是 bucket-brigade 噪声韧性的物理机制:错误被限制在被查询路径所在的分支内,无法污染整棵树。

机制:树上的指数小切口

在 bucket-brigade 的二叉路由树中(架构谱系见桶队架构),地址信息本身充当路由员:第 $\ell$ 层路由器只在 $N\cdot 2^{-\ell }$ 个分支中被激活、与地址纠缠,因此单个路由器出错只能毁掉指数少的查询分支。本词条统一采用如下记法:树深 $n={\log }_{2}N$,层 $\ell =1,\dots ,n$(根为第 1 层),第 $\ell$ 层有 $2^{\ell -1}$ 个路由器,每个路由器对应一个长度为 $\ell -1$ 的地址前缀 $u\in \{0,1{\}}^{\ell -1}$。

Hann 等的严格证明把这一直觉形式化为”错误不会从坏分支传播进好分支”的关键引理,并由此对任意 CPTP 噪声信道证得 $1-F\le 4\epsilon T\log N$ Hann 2021(定理全文与架构分档见一般噪声下的韧性)。与之对照,fanout 架构必须在 $O(N)$ 个组件上维持宏观叠加——每个组件都激活于全部分支,单个错误即可造成全局破坏(fanout QRAM)。资源态 QRAM 的嵌套单热编码同样继承该机制,数值模拟给出不保真度 ${\log }^{\alpha }N$、$\alpha \approx 3.8$(去极化)或 $\alpha \approx 1.9$(Z 偏置)Cesa 2026。

需要先做一个术语切割:此处的”误差局域化”(error localization)指错误损伤在查询分支空间里的局域化,与量子纠错里”征候提取定位错误位置”的 localization 不是同一件事——本词条全程不涉及编码,只涉及树结构对损伤传播的约束。本词条的任务是把”局域化”从口号变成可逐行验算的账本:先定义单错误的影响集与影响半径(推导二),证明树上的反比律”宽度×半径=1”并逐层求和得到 Hann 界(推导三),再算最远分支的影响界与两能级泄漏(推导四)、密度矩阵上的局域/全局对比账(推导五)、浙大错误注入实验斜率的对账(推导六)与算法层的 Grover 罚金(推导七)。奠基性的两个观测是激活份额与纠缠熵的逐层递减。

推导一:激活份额与纠缠熵的逐层递减

激活概率 $2^{-\ell }$

设地址处于均匀叠加 $(2^{-n/2}{\sum }_x|x⟩{)}^A$。考虑第 $\ell$ 层、前缀为 $u$ 的路由器。地址级联把它置为 $|x_{\ell }⟩$ 的前提是地址的前 $\ell -1$ 位恰为 $u$,概率 $2^{-(\ell -1)}$;条件于此前缀匹配,$x_{\ell }$ 均匀取值,故

$$\mathrm{Pr}(\text{路由器被置 }|1⟩)=\mathrm{Pr}(\text{前缀匹配})\cdot \mathrm{Pr}(x_{\ell }=1)=2^{-(\ell -1)}\cdot \frac{1}{2}=2^{-\ell }.$$

注意两个口径差一个因子 2:“被触碰”(路由动作发生,即总线穿过该节点)的份额是 $2^{-(\ell -1)}$;“被置 1”(开关打到右路)的份额是 $2^{-\ell }$。后文影响半径用前者、纠缠熵用后者,不可混用。

约化态与二元熵

路由器被置向 $x_{\ell }$ 后即与总线纠缠($|\text{左总线}⟩\perp |\text{右总线}⟩$),对其余系统求迹后非对角项消失,约化态为对角的

$${\rho }_{\ell }=(1-2^{-\ell })|0⟩⟨0|+2^{-\ell }|1⟩⟨1|,$$

本征值为 $\{1-2^{-\ell },2^{-\ell }\}$,von Neumann 熵即二元熵

$$S_{\ell }=-\mathrm{Tr}{\rho }_{\ell }{\log }_2{\rho }_{\ell }=H_2\left(2^{-\ell }\right),H_2(p)=-p{\log }_{2}p-(1-p){\log }_2(1-p).$$

逐层代入:

层 $\ell$	1	2	3	4	$\ell \gg 1$
$S_{\ell }$(比特)	$1$	$0.811$	$0.544$	$0.337$	$\approx (\ell +1.44)2^{-\ell }$

渐近式来自 $H_2(p)=p{\log }_2(1/p)+p{\log }_2\mathrm{e}+O(p^2)$ 在 $p=2^{-\ell }$ 处的代换:深层路由器与查询整体共享的纠缠指数趋零。这正是浙大实验测到的”熵逐层递减”序列(实测:地址寄存器约 0.96、第一层开关 0.86–0.88、第二层约 0.77、第三层 0.61–0.71;SPAM 与弛豫把两端向全混值 1 收拢但保序。数据与逐层推导见BB-QRAM 实验)。qutrit 版多出等待态贡献的 $+2^{-\ell }$ 项,推导见桶队架构。

“有限纠缠=局域化”的直观在这里首次量化:一个组件与查询共享的熵,是它能造成的最大损伤权重的一阶代理——下一节把这变成定理。

推导二:影响半径——单错误的分支权重上界

影响集与影响半径

定义(本词条)。 对单次错误事件 $e=(v,t,E)$(树内导线或路由器 $v$、时刻 $t$、Kraus 算符 $E$),其影响集 $\mathcal{I}(e)\subseteq \{0,1{\}}^n$ 定义为”末态地址–数据分量可被 $e$ 改变的地址集合”;影响半径(influence radius)为其相对给定地址分布 $\{|{\psi }_x{|}^2\}$ 的权重

$$\mathcal{R}(e)=\sum _{x\in \mathcal{I}(e)}|{\psi }_x{|}^2,$$

均匀地址下 $\mathcal{R}(e)=|\mathcal{I}(e)|/N$。

引理与证明

引理(局域化;结论与 Hann 2021 的不传播引理一致,证明为本词条整理)。 三能级(带等待态)bucket-brigade 中,作用于第 $\ell$ 层节点 $v$(前缀 $u$)的错误满足

$$\mathcal{I}(e)\subseteq \{x:x_1\dots x_{\ell -1}=u\},\text{故}\mathcal{R}(e)\le 2^{-(\ell -1)}.$$

证明。 查询电路由逐节点的路由门构成:节点 $v$ 上的门只作用在 $v$ 自己的路由量子比特、入射总线 $\mathrm{bus}(v)$ 与两个子总线 $\mathrm{bus}(v_0)$、$\mathrm{bus}(v_1)$ 上,全部落在以 $u$ 为根的子树导线集 $W(u)$ 内。错误 $E$ 直接作用在 $v$ 的导线上;它对其他分支的影响只能经”被污染的导线随后被哪些门触碰”扩散,而每条门的支撑要么含于 $W(u)$、要么与 $W(u)$ 不相交,故污染被锁在 $W(u)$ 内。对 $x\notin \{x_1\dots x_{\ell -1}=u\}$ 的分支,其理想轨迹只占用自己的路径导线 $\mathrm{path}(x)$,且 $\mathrm{path}(x)\cap W(u)=\varnothing$:该分支的演化与 $E$ 所作用的子系统互为张量因子,逐门对易,末态地址–数据分量与无 $E$ 时相同。∎

引理的前提”错误作用在树内导线上”不可省略:总线入射口(根,第 1 层,半径 $2^0=1$)与驻留的地址寄存器是半径为 1 的全局点;存储单元自身更安全——只有被查询到才会被触碰,半径 $2^{-n}=1/N$。

反比律:宽度×半径=1

把引理对所有层列表,立即得到一条结构性恒等式(本词条总结):第 $\ell$ 层有 $2^{\ell -1}$ 个节点、每个半径至多 $2^{-(\ell -1)}$,故

$$(\text{每层节点数})\times (\text{单点半径})\le 2^{\ell -1}\cdot 2^{-(\ell -1)}=1,\forall \ell .$$

换言之,半径为 $r$ 的组件数至多 $1/r$:树把”少数全局点、大量局部点”排得严丝合缝。这条反比律是后续全部求和的引擎。对比 fanout:$N$ 个组件全部半径为 1,同型乘积是 $N$ 而非 1。

单错误快照($N=8$、均匀地址):第 3 层前缀 “10” 的路由器出一个错,至多毁掉 $\{100,101\}$ 两条分支,$1-F\le \frac{1}{4}$;同样概率的一个错落在根上,$1-F\le 1$。局域化不消灭大半径事件,它保证大半径事件稀少(每层至多一个)。

推导三:逐层求和——从反比律到 $4\epsilon T\log N$

预算推导

设每条导线每层电路承受错误概率 $\epsilon$。按最坏情形记账——错误一旦落在某分支的影响集内就毁掉该分支的全部理想权重——总损伤概率

$$q\le \sum _e\mathrm{Pr}(e)\mathcal{R}(e)=\sum _{\ell =1}^n\sum _{v:\mathrm{lvl}(v)=\ell }\sum _{t=1}^T\epsilon \cdot 2^{-(\ell -1)}=\epsilon T\sum _{\ell =1}^n\underset{=1}{\underbrace{2^{\ell -1}\cdot 2^{-(\ell -1)}}}=\epsilon Tn.$$

中间一步是反比律的逐层兑现:每层贡献恰好 $\epsilon T$,与层号无关,求和只剩层数 $n={\log }_{2}N$。之所以对每个路由器都能取满 $T$ 个时刻,是因为路径路由器从地址位装入起直到逆序 uncompute 都持有 which-path 信息,期间任何一个 $X$ 型错误都会在总线随后到来时造成误路由——易损窗口是整个查询深度 $T$,不是总线穿过的那一拍;流水线化改善吞吐但不缩短单条查询自身的 $T$。

Hann 等的严格结论把这个账本加上小心常数后写成

$$1-F\le 4\epsilon T\log N(\text{混合酉情形,要求 }\epsilon T\log N\le \frac{1}{4}),$$

完全任意信道下常数退为 $A\approx 6-2{\epsilon }_W/\epsilon$ Hann 2021(因子 4 的来历——好分支下界与迹距离换算——见评价指标与一般噪声下的韧性)。定量的内容不在常数而在标度:不保真度由”每层 $\epsilon T$、共 $\log N$ 层”决定,与树宽 $N$ 无关。

值得与 GLM 的启发式账 $1-F\le \epsilon \log N$(只数激活门,推导见评价指标)对照。启发式必须假设”未激活元件不出错”才成立;上面的预算推导不需要这个假设——空闲路由器照样出错,但由引理,它们的错误只砸在自己的指数小子树里。这正是 Hann 对此前 contrived 噪声模型批评的回应:局域化把”不出错”弱化成”出错也不传染”。

减法结构:测前 $K$ 层的误差缓解

逐层账本还解释了可扩展误差缓解的定量形式 Shen 2026:只测量前 $K$ 层路由比特并后选择(丢弃任何非 $|0⟩$ 读数),被探测掉的是前 $K$ 层发生的错误;对剩下的 $n-K$ 层重复同一求和,残余不保真度

$$1-F^{\prime }\le 4\epsilon T(O(\log N-K)+O((\log N-K{)}^2)),$$

即预算随 $K$ 线性递减——每屏蔽一层,就从反比律账本上划掉一行 $\epsilon T$(线性递减的读法为本词条解读,公式为该工作补充材料的结果)。代价是后选择成功率:只涉及前 $K$ 层的 $2^K-1$ 个路由比特,样本成本随 $N$ 仅对数增长。“逐层预算”由此从定理变成工程旋钮。

推导四:对最远分支的影响界与两能级泄漏

三能级:子树之外严格为零

引理给出的是支撑集陈述,比”半径小”更强:子树外的分支所受影响严格为零——不是指数小,是恒等。用树距离表述:设错误节点 $v$ 在第 $\ell$ 层、分支 $x$ 的前缀与 $u$ 在第 $j\le \ell -1$ 位首次分岔,则 $x$ 不在 $v$ 的子树内,$\mathcal{I}(e)$ 对 $x$ 的指示恒为 0;分岔越早(对被查询路径而言”越远”),可共享的传播通道越少。“距被查询路径最远的分支免疫”是这条支撑集陈述的直接推论——这正是第六节实验对账中位置 4 的理论预言。

两能级:左脊柱泄漏与 ${\log }^{2}N$

两能级路由器没有等待态兜底:默认态 $|0⟩$ 的路由操作把入射口与左输出口互换,于是子树内路由器上的错误可以沿”左输出口$\to$入射口”逐级上行,前提是链上每个节点都是其父节点的左孩子且处于 $|0⟩$。爬升到深度 $k$ 的祖先 $a$ 后,污染可进入 $a$ 的入射总线,波及一切经过 $a$ 子树的分支。对路径上深度为 $k$ 的节点,这样的”左脊柱”至多 $n-k$ 个节点,全路径求和

$$\sum _{k=0}^{n-1}(n-k)=\frac{n(n+1)}{2}=\Theta ({\log }^{2}N)$$

(几何细节与相干性分析见两能级路由器推导三)。每爬一级还须额外付一次 $O(\epsilon )$ 的传播概率,故泄漏项

$$\delta \le \epsilon T{\log }^{2}N+O({\epsilon }^2)⟹1-F\lesssim 4\epsilon T(\log N+{\log }^{2}N)=O\left(\epsilon {\log }^{3}N\right).$$

浙大团队把 Hann 原本只覆盖计时误差的标度理论扩展到门错误情形,证明的正是这个两能级形式 $1-F<4\epsilon T(O(\log N)+O({\log }^{2}N))$($T=O(\log N)$),即查询失真约 $O(\epsilon {\log }^{3}N)$,并指出 CSWAP 门保真度是关键瓶颈;2–9 层的数值仿真显示,维持目标保真度所需门错误率随层数按幂律衰减,拟合指数约 2.688——介于最坏情形的 $-3$ 与 dephasing 情形的 $-2$ 之间 Shen 2026(拟合复现见BB-QRAM 实验)。

对”最远分支”的含义:两能级泄漏只沿左脊柱走,而最远分支与被查询路径在前缀上尽早分岔、与受污染脊柱共享的长度最短——局域化即便有漏洞,也是沿树结构定向的漏洞,不是各向同性的雾状扩散(定性判断为本词条解读)。

推导五:局域错误 vs 全局错误:密度矩阵上的对比账

混合分解与保真度下界

把噪声的硬币展开写成混合形式:好构型(无损伤错误发生)给出理想输出,坏构型合计概率 $q$,则

$${\rho }_{\text{out}}=(1-q){\rho }_{\text{id}}+q\chi ⟹F=(1-q)+q⟨{\psi }_{\text{id}}|\chi |{\psi }_{\text{id}}⟩\ge 1-q,$$

且迹距离 $D({\rho }_{\text{out}},{\rho }_{\text{id}})\le \frac{1}{2}q\Vert \chi -{\rho }_{\text{id}}{\Vert }_1\le q$(不等式链的完整推导见评价指标)。局域化定理的全部内容就是给出 $q$ 的树结构上界;误差进入密度矩阵的方式是”好概率减少一块”,而非”相干性全局退化”:按地址分支分解,$\chi$ 的支撑只落在受损分支的块里,好分支的块原封不动(块分解的合法性由推导二引理的支撑论证保证,表述为本词条推导)。

两本对比账

	fanout	bucket-brigade(三能级)
半径为 $r$ 的组件数	$\Theta (N)$ 个 $r=1$	每层 $2^{\ell -1}$ 个 $r=2^{-(\ell -1)}$
单组件损伤预算	$\epsilon T$	$\epsilon T{2}^{-(\ell -1)}$
每查询总预算 $q$	$\sim \epsilon TN$($T=O(\log N)$ 时 $\sim \epsilon N\log N$)	$\le 4\epsilon T\log N$($\sim \epsilon {\log }^{2}N$)

同样 $\epsilon$、同样 $T$ 下,两本账之比

$$\frac{q_{\text{fan}}}{q_{\text{BB}}}\sim \frac{\epsilon TN}{\epsilon T\log N}=\frac{N}{\log N}$$

是指数差距(只差一个对数因子)。这不是常数因子的工程差别,而是”错误损伤是否随系统规模相干累加”的结构差别:Hann 的 Table I 给出同一分档(fanout $\sim N\log N$、三能级 $\sim {\log }^{2}N$、两能级 $\sim {\log }^{3}N$)Hann 2021。局域化的物理根源——有限纠缠——在推导一的 $S_{\ell }\to 0$ 里已经现形:一个与查询只共享 $2^{-\ell }$ 比特熵的组件,不可能把 $O(1)$ 的损伤均匀涂到全部 $N$ 个分支上。

推导六:错误注入实验的对账:$-0.255$ 对 $-0.005$

实验设定与去极化换算

2026 年浙江大学的 bucket-brigade QRAM 实验在三层树($N=8$)中向第三层路由比特注入可调错误 Shen 2026:数据载入后,以各 $p/3$ 的概率随机施加 $X$、$Y$、$Z$ 之一。换算成标准去极化信道只需一步 Bloch 代数:设 $\rho =\frac{1}{2}(I+\mathbf{r}\cdot \mathbf{\sigma })$,则 $X\rho X$、$Y\rho Y$、$Z\rho Z$ 分别把 $\mathbf{r}$ 的 $x$、$y$、$z$ 分量变号,三者平均为 $\frac{1}{2}(I-\frac{\mathbf{r}\cdot \mathbf{\sigma }}{3})$,于是

$$\mathcal{E}(\rho )=(1-p)\rho +\frac{p}{3}\sum _{P\in \{X,Y,Z\}}P\rho P=(1-\frac{4p}{3})\rho +\frac{4p}{3}\cdot \frac{I}{2},$$

即标准去极化率 $e_d=4p/3$(实验扫 $p\in [0,0.8]$,$e_d$ 至 $\approx 1.07$;完全正性只要求 $e_d\le 4/3$,信道全程合法)。

局域化预言与实测斜率

查询 $|00+⟩$ 点亮 $\{000,001\}$ 两条分支(各权重 $\frac{1}{2}$)。第三层四个路由器(前缀 00/01/10/11)对均匀地址的影响半径全是 $2^{-2}=\frac{1}{4}$——半径本身分辨不了它们;分辨它们的是影响集的位置:对查询分布 $|00+⟩$,只有前缀 “00” 的路由器(位置 1)影响半径为 1,其余三个为 0。理想局域化的预言因此是(以 $e_d$ 为横轴):斜率向量 $(-\eta ,0,0,0)$,$\eta \in [0,1]$ 为”致命率”——注入的 Pauli 恰逢该路由器尚有路由任务、且错误分量确实破坏地址–数据寄存器的概率。

实测(5 次重复,横轴 $p$;论文源数据):

注入位置(前缀)	角色	斜率(每单位 $p$)	折合每单位 $e_d$
1(“00”)	被查询路径	$-0.2549\pm 0.0108$	$-0.191$
2(“01”)	未查询(近邻)	$-0.0279$	$-0.021$
3(“10”)	未查询(近邻)	$-0.0301$	$-0.023$
4(“11”)	最远分支	$-0.0053\pm 0.0129$	$-0.004$

三个未查询位置平均斜率 $-0.0211\pm 0.0069$。对账分四步(验算为本词条推导):

1. 方向与量级。 被查询支对最远支的斜率比 $|-0.2549|/|-0.0053|\approx 48$(近 50 倍),对未查询平均约 12 倍;理想预言是 $(1,0,0,0)$ 对 $0$、比值为无穷。方向完全一致,有限比值度量非理想局域的程度。
2. 统计显著性。 被查询支斜率偏离零约 $24\sigma$($0.2549/0.0108\approx 23.6$);最远支 $|-0.0053|<0.0129$,在 $1\sigma$ 内与零相容——“最远分支近乎免疫”是统计陈述,不是修辞。
3. 绝对刻度与 $2^{-\ell }$ 的角色。 位置 1 的影响集恰覆盖全部被查询权重,故若每个注入 Pauli 都致命,每单位 $e_d$ 的斜率上限为 $-1$(每单位 $p$ 为 $-4/3$);实测 $-0.191$ 给出致命率 $\eta \approx 0.19$——多数注入错误在时序上错过该路由器的有效路由窗口,或以不破坏输出的方式传播(窗口分解为本词条估算)。注意斜率上限里不含 $2^{-\ell }$:固定查询把该路由器对均匀地址的半径 $\frac{1}{4}$ 兑现成全额权重。若地址改为均匀 $|+++⟩$,四个位置排列对称,局域化预言四条斜率同为 $-\frac{1}{4}\eta$——实验选 $|00+⟩$ 正是为了打破这个对称,让”影响集在哪”而非”半径多大”成为唯一变量。
4. 残差的归属。 未查询斜率呈空间梯度:最远支比两个近邻支低约五倍。树内传播(两能级左脊柱)应随前缀共享长度衰减,芯片串扰随物理布局距离衰减,两者方向在此一致;近邻支的小斜率更像共模串扰或读出渗漏而非树内逻辑传播(归因为本词条解读,空间梯度为论文定性结论)。对地址叠加态分别做误差缓解的补充实验同样显示未查询分支的错误被屏蔽 Shen 2026。

同一装置对各层路由开关态层析测得的纠缠熵递减序列(推导一 $H_2(2^{-\ell })$ 序列的实验版)与斜率梯度互相印证:静态图像(深层关联弱)与动态图像(错误传不开)在同一器件上闭合,“有限纠缠=韧性”由此从定理变成测量(逐层数字与推导见BB-QRAM 实验)。

推导七:算法层放大:Grover 的 $2^{-n/2}$ 罚金

$Q$ 次调用的 union bound

算法层不关心单次查询,关心 $Q$ 次调用的累积。设各次调用的噪声独立实现,第 $i$ 次走全好分支的事件为 $G_i$,$\mathrm{Pr}(G_i)\ge 1-q$。由独立性,

$$\mathrm{Pr}\left(\bigcap _{i=1}^Q{G}_i\right)=\prod _{i=1}^Q\mathrm{Pr}(G_i)\ge (1-q{)}^Q\ge 1-Qq,$$

而在 ${\bigcap }_i{G}_i$ 上算法严格按理想电路运行,故成功概率 $p_{\text{succ}}\ge 1-Qq$。推导只用了两条:逐次查询的损伤以有界概率发生(局域化定理供货)、各次调用独立(马尔可夫噪声)。损伤按 $Q$ 线性累加而非相干放大,本身就是局域化的馈赠(本词条推导)。

Grover 的标度

无结构搜索需 $Q=\frac{\pi }{4}\sqrt{N}=2^{n/2}$ 量级次 oracle 调用。要求 $Qq\ll 1$:

$$4\epsilon T{\log }_{2}N\ll 2^{-n/2}⟹\epsilon \ll \frac{2^{-n/2}}{4T{\log }_{2}N}=o\left(2^{-n/2}\right).$$

这与 Regev–Schiff 型结果一致:Arunachalam 等证明,对一类错误模型,用作搜索 oracle 的 bucket-brigade QRAM 门错误率须为 $o(2^{-n/2})$ Arunachalam 2015——上面的 union-bound 推导以更少的模型假设复现了同一个指数,并把 polylog 因子显式化(该因子正是局域化的分红;推导为本词条整理,原文结论限一类错误模型,作者猜想对现实模型普遍成立)。

对照 fanout:$q_{\text{fan}}\sim \epsilon TN$ 给 $\epsilon \ll 2^{-n/2}/(TN)\sim 2^{-3n/2}$——多付 $N/\mathrm{polylog}$ 倍的指数罚金(本词条估算)。而多项式次调用的算法(HHL、量子机器学习)只要求 $Q=\mathrm{poly}(n)$,于是 $\epsilon =1/\mathrm{poly}(n)$ 足够、可能免纠错 Arunachalam 2015;按 $Q$ 与 $N$ 分档的”何时免 QEC”矩阵见一般噪声下的韧性。局域化的算法层角色一句话:它把错误率需求里的 $N$ 换成 $\mathrm{polylog}(N)$,把”哪些算法还能免纠错”的边界向外推了一个指数。

数值算例

算例一:逐层预算表($N=2^8$,$\epsilon =10^{-4}$,$T=16$)

层 $\ell$	节点数 $2^{\ell -1}$	半径 $2^{-(\ell -1)}$	层预算 $\epsilon T\times (\text{节点}\times \text{半径})$
1	1	1	$1.6\times 10^{-3}$
2	2	1/2	$1.6\times 10^{-3}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
8	128	1/128	$1.6\times 10^{-3}$

八层合计 $q\le 8\times 1.6\times 10^{-3}=1.28\times 10^{-2}$;Hann 界给 $4\epsilon T{\log }_{2}N=5.1\times 10^{-2}$(适用条件 $\epsilon T\log N=1.28\times 10^{-2}\le 1/4$ ✓)。同参数 fanout:$\sim \epsilon N{\log }_{2}N=10^{-4}\times 256\times 8\approx 0.20$——差 16 倍;差距按 $N/\mathrm{polylog}$ 拉开,$N=2^{30}$ 时约 $1.8\times 10^7$ 倍(外推为本词条估算)。

算例二:Grover 预算($N=2^{50}$,$T=100$,目标成功率 $\ge 0.9$)

预算 $Qq\le 0.1$,$Q=2^{25}\approx 3.4\times 10^7$:

• bucket-brigade:$q\le 0.1/Q=3.0\times 10^{-9}$,而 $q=4\epsilon Tn=2\times 10^4\epsilon$,解得 $\epsilon \le 1.5\times 10^{-13}$;
• fanout:$q=\epsilon TN=1.1\times 10^{17}\epsilon$,解得 $\epsilon \le 2.6\times 10^{-26}$。

比值 ${\epsilon }_{\text{BB}}/{\epsilon }_{\text{fan}}=N/(4{\log }_{2}N)\approx 5.6\times 10^{12}$:局域化把同一算法的可行性判断分在了两侧(均为本词条估算,常数取 1)。

算例三:致命率折算(实验值)

被查询支实测每单位 $p$ 斜率 $-0.2549$;以 $e_d$ 计即 $-0.2549\times \frac{3}{4}=-0.191$。对照”全致命”上限 $-1$:$\eta \approx 0.19$。等价地,若只有 $X/Y/Z$ 中约一半的 Pauli 种类在关键子空间上致命、且关键窗口约占剩余电路的四成,则 $\eta \approx 0.5\times 0.4=0.2$,与实测同量级——拆分方式不唯一,但”致命率显著小于 1”本身即与注入点(数据载入后)之后该路由器只承担有限次路由动作的电路事实相容(拆分为本词条估算)。

局域化的算法化利用

错误局域性不仅是物理性质,也是计算资源:大规模 QRAM 模拟器的”子树包含准则”剪枝——故障 $e=(\ell ,p)$ 只影响地址区间 $[2^{n-\ell }p,2^{n-\ell }p+2^{n-\ell }-1]$ 内的分支(该文记法以根为第 0 层,区间长度 $2^{n-\ell }=N\cdot 2^{-\ell }$,与影响半径是同一几何)——正是把不传播引理算法化的产物 Wang 2025(见QRAM 模拟器)。模拟器据此只沿被查询分支做稀疏态编码、把与输出无关的错误构型整支剪掉,20 层系统得以在 1 GB 内存内完成噪声仿真;同一框架还重新标定了误差过滤后选择的可用区间——剪枝的收益与后选择的代价是局域化的对偶面(与误差过滤的关联为本词条注记)。

讨论:局域化的边界

1. 局域化 ≠ 容错。 它不编码、无阈值:预算 $4\epsilon T\log N$ 仍要求 $\epsilon$ 随查询次数与规模按 $1/\mathrm{polylog}$ 下降,Grover 类指数查询依旧需要 $2^{-n/2}$ 量级门错误,超多项式次查询必须上纠错 Arunachalam 2015。纠错层接口见异构纠错 QRAM 与 Clifford 容错接口。
2. 半径 1 的点始终存在。 根总线入射口与驻留地址寄存器位于第 1 层、半径为 1;局域化的力量不在消灭全局点,而在反比律保证每层至多一个全局点。
3. 两能级泄漏是定向的。 $\Theta ({\log }^{2}N)$ 个左脊柱节点可把子树错误送进主总线,标度从 ${\log }^{2}N$ 恶化到 ${\log }^{3}N$;dephasing 类错误不翻转路由器取值、泄漏通道关闭,回到 ${\log }^{2}N$(见两能级路由器)。
4. 引理前提是”错误作用在树内单点上”。 横跨多导线的相关错误只在常数范围内被 Hann 的证明覆盖 Hann 2021;芯片级串扰(实验残差的疑似来源)是否满足该前提,是把实验标度外推到大规模时真正的未知数。
5. 读出与 SPAM 不在此框架内。 对全部路由比特的后选择之所以可行,恰因理想整循环后路由器与查询解纠缠——那是查询语义的结构性质,不是局域化引理(机制见BB-QRAM 实验)。

延伸阅读

• 一般噪声下的韧性
• 噪声韧性之争
• QRAM 模拟器
• bucket-brigade QRAM 实验
• 桶队架构
• 两能级路由器
• 误差过滤
• 评价指标:六维打分卡