架构感知数据加载

当 QRAM 器件假设成立时,数据加载算法可以走多远?Berti–Ghisoni 的两篇工作把经典线段树与桶队 QRAM 绑定设计,给出 O(log²(MN)) 的矩阵振幅编码,并诚实标注这只是"寄存器记账练习"。

机制与记号回顾:单元合同、线段树与检索原语

设待装载矩阵 $A\in {\mathbb{R}}^{M\times N}$(复值见推导三),展平为长度 $K=MN$ 的条目序列 $a_0,\dots ,a_{K-1}$,目标态是振幅编码

$$|A⟩=\frac{1}{\Vert A{\Vert }_F}\sum _{i,j}{a}_{i,j}|i⟩|j⟩,$$

其中 $\Vert A{\Vert }_F=\sqrt{{\sum }_{i,j}|a_{i,j}{|}^2}$。地址宽 $k={\log }_{2}K$,输出寄存器 $\Theta ({\log }_2(MN))$ 比特。

Berti & Ghisoni 2025 把 BB-QRAM 硬件模型与经典线段树(作者明确指出其与 KP-tree 等价、仅记法不同)结合:兄弟节点对打包进同一 BBQRAM 单元(每单元 $1+2t$ 比特:符号位+两个 $t$ 比特平方范数),配合 $U_{2\mathrm{CR}}$ 受控旋转级联完成编码。定理 5:态制备时间 $O({\log }_2^2(MN))$——把 KP-tree 此前未指明的 $O(\mathrm{polylog}(MN))$ 收紧为显式 $O({\log }^2(MN))$;BBQRAM 单元数 $O(MN)$。引理 2:经流水线路由后,单次或叠加检索均为 $O({\log }_{2}K)$,无流水线则 $O({\log }^{2}K)$。整套构造依赖三层检索原语——根值(定标 $\Vert A{\Vert }_F$)、同层兄弟对的一次叠加检索、全体符号位——每层 $O(\log K)$,按 ${\log }_{2}K$ 个树层求和;若内存布局任意,则每层退化为 $O(K)$ 开销。

后续工作 Berti & Ghisoni 2026 在同一框架内做两件事:其一,把每步振幅分裂角 ${\theta }_z=2\arcsin \sqrt{T_R/(T_L+T_R)}$ 经典预计算后直接存入单元,QPU 上不再需要可逆加法器、除法器、平方根与 arcsin;其二,扩展到复值矩阵并给出定点误差界(定理 18:查询时间不变 $O({\log }_2^2(MN))$、查询次数 $2k+2$、QPU 仅需 $k+2t+1$ 比特)。规模示例($t=32$):$K=2^{10}$ 对应 QPU 75 比特、BBQRAM 约 $6.6\times 10^4$ 比特、22 次查询;$K=2^{20}$ 对应 85 比特、$6.7\times 10^7$、42 次;$K=2^{30}$ 对应 95 比特、$6.9\times 10^{10}$、62 次。

推导一:树内地址-数据映射:布局为什么是算法的一部分

权重递推与角度递推:两条恒等式

给二叉树 ${\mathcal{T}}_K$(深度 $k={\log }_{2}K$)的每个节点 $v$ 配一个非负平方权重 $T_v$:叶 $j$ 取 $T_j=a_j^2$(实值情形符号 $s_j\in \{\pm 1\}$ 另存一位),内部节点沿树累加

$$T_v=T_{v_L}+T_{v_R},$$

逐层归纳即得根值 $T_{\mathrm{root}}=\sum _j{a}_j^2=\Vert A{\Vert }_F^2$——这是第一条恒等式:树根自动完成弗罗贝尼乌斯定标,QPU 无须单独计算范数,只需一次根值检索。第二条恒等式定义每个内节点的分裂角

$${\theta }_v=2\arcsin \sqrt{\frac{T_{v_R}}{T_v}}⟺\cos \frac{{\theta }_v}{2}=\sqrt{\frac{T_{v_L}}{T_v}},\sin \frac{{\theta }_v}{2}=\sqrt{\frac{T_{v_R}}{T_v}},$$

即”右子块平方质量占比”的正弦。两条恒等式合起来:$K$ 个叶权重决定全部 $K-1$ 个角度,自由度恰好收支相抵,没有冗余存储。

值得点破一处等价性(本词条对照):对同一组数据,这里的 ${\theta }_v$ 与一般态制备电路(边界:态制备电路)递推分解的逐节点旋转角逐位相同——两边都以”右子块模方占比”定角。差别不在角度值,而在角度住在哪里、怎么被消费:态制备电路把角度编译进 Gray 码 CNOT 阶梯(门是电路的一部分,数据一变重新编译),Berti–Ghisoni 把角度存进 BBQRAM 单元(门型固定,数据在存储器里)。“KP-tree 等价、仅记法不同”的实质就在这一存储位置的迁移。

振幅编码的归纳证明

断言:执行到第 $\ell$ 层($\ell =1,\dots ,k$)后,QPU 寄存器处于

$$|{\psi }_{\ell }⟩=\sum _{|p|=\ell }\sqrt{\frac{T_p}{T_{\mathrm{root}}}}|p⟩,$$

其中 $p$ 遍历长度 $\ell$ 的二进制前缀,$T_p$ 是前缀 $p$ 下方子树的平方权重和,$|p⟩$ 是前 $\ell$ 个地址比特的取值。

基例 $\ell =1$:以根对 $(T_{v_L},T_{v_R})=(T_0,T_1)$ 中取出的角度对首个地址比特作用一次旋转,由 ${\theta }_{\mathrm{root}}$ 的定义,振幅为 $\sqrt{T_b/T_{\mathrm{root}}}$($b\in \{0,1\}$),断言成立。

归纳步:设 $|{\psi }_{\ell }⟩$ 成立。对每个前缀 $p$ 检索其兄弟对单元、以角度 ${\theta }_p$ 对第 $\ell +1$ 个地址比特施加以前缀为条件的旋转:

$$\sqrt{\frac{T_p}{T_{\mathrm{root}}}}|p⟩|0⟩⟼\sqrt{\frac{T_p}{T_{\mathrm{root}}}}\cos \frac{{\theta }_p}{2}|p0⟩+\sqrt{\frac{T_p}{T_{\mathrm{root}}}}\sin \frac{{\theta }_p}{2}|p1⟩=\sqrt{\frac{T_{pL}}{T_{\mathrm{root}}}}|p0⟩+\sqrt{\frac{T_{pR}}{T_{\mathrm{root}}}}|p1⟩,$$

末步代入 ${\theta }_p$ 的定义,中间因子 $T_p$ 精确相消。断言在 $\ell +1$ 层成立。∎

归一性核对:${\sum }_{|p|=\ell }{T}_p=T_{\mathrm{root}}$ 对每层成立(同层子树权重恰划分全部叶),故 $|{\psi }_{\ell }⟩$ 恒归一,无需事后 renormalize。终态:$\ell =k$ 时前缀即叶指标,

$$|{\psi }_k⟩=\sum _j\sqrt{\frac{T_j}{T_{\mathrm{root}}}}|j⟩=\frac{1}{\Vert A{\Vert }_F}\sum _j|a_j||j⟩,$$

再过符号层($|j⟩\mapsto s_j|j⟩$)即得 $|A⟩$。整个电路的门型与数据无关——每层固定是”一次以取出的 $(T_L,T_R)$ 为角度的受控旋转层”,数据只进单元内容;这正是 QRAM 语义”算符数据无关、数据住存储器”在装载问题上的翻版。

层级打包:仿射地址映射与一次叠加检索

现在给”兄弟对单元”定地址。深度 $\ell$ 层的前缀 $p$(长 $\ell$ 位)之下那对子节点 $(v_{pL},v_{pR})$ 打包进单元 $c_{\ell }(p)$,地址取堆式编号

$$\mathrm{addr}(\ell ,p)=2^{\ell }+p,$$

即左子节点的堆编号,二进制写出来恰是”1 后接 $p$“的拼接。关键性质:$\mathrm{addr}$ 是前缀的移位拼接映射——QPU 把当前前缀寄存器左移、末位补 1 即得单元地址,$O(1)$ 个可逆操作,无需查表。于是一个树层的工作量是两项:

1. 一次叠加检索:把该层全体前缀的地址做成叠加、对 BBQRAM 查询一遍,所有前缀的兄弟对同时相干取出——由引理 2,流水线路由下耗时 $O(\log K)$,与叠加宽度无关;
2. 一层受控旋转:以取出的 $(T_L,T_R)$ 为条件角度的 $R_y$ 级联,$O(1)$ 层。

按 ${\log }_{2}K$ 个树层求和:

$$T_{\mathrm{prep}}=\sum _{\ell =0}^{k-1}O(\log K)=O\left(k\log K\right)=O\left({\log }^{2}K\right)=O({\log }^2(MN)),$$

这正是定理 5 的账目来源:对数因子一个来自树的深度、一个来自每次检索的路由深度,二者相乘,而 $K$ 因子整个消失 Berti & Ghisoni 2025。

布局失效的情形:任意置换的代价

设地址映射换成任意置换 $\pi$,$\mathrm{addr}=\pi (\ell ,p)$ 无闭式。要在叠加中取出”前缀 $p$ 的对”,QPU 必须先相干地算出 $\pi (\ell ,p)$;只有两条路:

• 存映射表:额外放一张 $K$ 格的地址表并按 QRAM 方式查询——但表本身的相干寻址又需要对数布局,递归回到原问题,且 $O(K)$ 格的表把刚省下的存储因子全数吐回;
• 扫描:对 $O(K)$ 个单元逐一试取,每层 $O(K)$,$k$ 层合计 $O(K\log K)$,对数优势荡然无存。

两难都不是常数级补丁:布局的规律性正是 $O({\log }^{2}K)$ 与 $O(K\mathrm{polylog}K)$ 的分界——原文”布局设计本身就是算法的一部分”的准确内容:打包方式是一次性的设计决策,决定此后每次查询的复杂度档位。

单元错误与访问热度:两个逐层账

布局还继承树的噪声几何。均匀叠加地址下,深度 $\ell$ 的每个单元只被前缀匹配的 $2^{-\ell }$ 份额分支访问;设单元错误率 ${\epsilon }_c$,一个错误只毁所在分支,期望不保真度为

$$\sum _{\ell =0}^{k-1}\underset{\text{单元数}}{\underbrace{2^{\ell }}}\cdot {\epsilon }_c\cdot \underset{\text{分支份额}}{\underbrace{2^{-\ell }}}=k{\epsilon }_c,$$

与桶队路由的逐层对消同构(数目与杀伤半径逐层相消;机制推导见 桶队架构 推导四与 误差局域化,不重复)——线性 $k$ 而非 $K$,布局本身不引入新的噪声脆弱点。访问热度:根对单元被 100% 分支访问,第 $\ell$ 层单元热度 $2^{-\ell }$;若存储分级(顶层驻留快速小存储),前 $d_0$ 层共 $2^{d_0}-1$ 个单元承揽 $d_0/k$ 的访问份额($k=30$、$d_0=10$:1023 个单元承揽约 1/3 访问;本词条估算)——“哪些单元是全局热点”的定量答案。

推导二:从原始权重到预计算角度:把算术搬离 QPU

$U_{2\mathrm{CR}}$ 的隐藏账单

QR056 版本单元里存的是原始平方范数 $(T_L,T_R)$,角度须在 QPU 上就地合成:

$${\theta }_z=2\arcsin \sqrt{\frac{T_R}{T_L+T_R}}.$$

把右端拆开,是三件可逆算术的接力:定点除法 $T_R/(T_L+T_R)$(可逆迭代除法器)、平方根(可逆牛顿迭代)、arcsin(级数或 CORDIC 型可逆逼近)。每一件单独看都是 $\mathrm{polylog}$ 规模、常数巨大且吃辅助寄存器——“每层一次”的节拍下,三件套的深度才是态制备的真实主导项。Berti & Ghisoni 2026 的第一个改进就是把三件套整体搬回经典侧:装载期算好角度、以 $t$ 位定点直接存入单元,QPU 每层只剩”取角度—转一次”。代价是摘要明说的那条:QRAM 里存的是预计算定点角度,不是原始子树权重——数据失去了”从叶权重可重算一切”的紧凑性,更新一个元素须沿根-叶路径重算全部角度(摊销账见推导四)。这是”可重算性”换”可查表性”的一笔显式交易。

定点角度误差的望远镜界

模型:各层角度带独立误差 $|\Delta {\theta }_p|\le {\delta }_{\theta }$(定点舍入),$R_y$ 门自身实现误差 ${ϵ}_y$;相位层误差 ${\delta }_{\phi },{ϵ}_{\phi }$ 只出现一次。

第一步(单层算符差)。 旋转角平移 $\Delta$ 的算符差

$$\Vert R_y(\theta +\Delta )-R_y(\theta )\Vert =2|\sin (\Delta /4)|\le |\Delta |/2,$$

第 $\ell$ 层的多路受控旋转是块对角算符、各块角度误差同受 ${\delta }_{\theta }$ 控制,故整层算符差范数 $\le {\delta }_{\theta }/2+{ϵ}_y$。

第二步(望远镜求和)。 对两个酉积做逐项拆分:

$$U_k\cdots U_1-{\tilde{U}}_k\cdots {\tilde{U}}_1=\sum _{\ell =1}^k{\tilde{U}}_k\cdots {\tilde{U}}_{\ell +1}(U_{\ell }-{\tilde{U}}_{\ell })U_{\ell -1}\cdots U_1,$$

取范数,两侧因子由酉性消去:

$$\Vert |A⟩-|\tilde{A}⟩\Vert \le \sum _{\ell =1}^k(\frac{{\delta }_{\theta }}{2}+{ϵ}_y)=k(\frac{{\delta }_{\theta }}{2}+{ϵ}_y).$$

相位层只作用一次,贡献 ${\delta }_{\phi }+{ϵ}_{\phi }$;合计

$$\Vert |\tilde{A}⟩-|A⟩\Vert \lesssim k(\frac{{\delta }_{\theta }}{2}+{ϵ}_y)+{\delta }_{\phi }+{ϵ}_{\phi },$$

即定理 18 引用的定点误差界。读法:角度误差是”每层摊一点”的小转角,唯一放大器是深度 $k={\log }_{2}K$——误差界线性于 $\log K$,与 $K$ 无关(相干错误记账惯例见 评价指标)。

第三步(位数反解)。 角度以 $t$ 个定点小数位存于 $[0,2\pi )$,舍入半径半格:${\delta }_{\theta }\le \pi 2^{-t}$。要求幅值项不超过 $\eta /2$:

$$k\frac{{\delta }_{\theta }}{2}\le \frac{\eta }{2}⟺2^t\ge \frac{\pi k}{\eta }⟺t=O(\log ((k+1)/\eta )),$$

定理 18 的位数处方由此而来(常数 $\pi$ 随舍入约定出入)。数值(本词条核算):$\eta =10^{-3}$、$k=30$ 时 $2^t\ge \pi \times 3.1\times 10^4\approx 9.7\times 10^4$,取 $t=17$ 已够;而 $t=32$ 时幅值项仅 $k{\delta }_{\theta }/2\approx 30\times \pi \times 2^{-33}\approx 1.1\times 10^{-8}$——比预算低五个数量级。这说明该工作点的真实瓶颈在 ${ϵ}_y$(受控旋转本身的保真度),不在角度位数:位数给到 32 是工程裕量,不是精度必需。

查询次数 $2k+2$ 的读法

定理 18 报查询次数 $2k+2$(与 $K$ 无关、随深度线性)。一种自洽读法(本词条重构;精确分账以原文为准):$k$ 层幅值下降各需一次兄弟对检索,角度与叶相位同单元存放使每层再计一次取出口径,末端加根值检索(定标)与相位层前的一次全叠加叶查询。要点不在常数归属,而在量级:振幅编码的 QRAM 访问次数从”逐条目 $K$ 次”压到 $O(\log K)$ 次,每次内部由引理 2 的流水线路由收账 $O(\log K)$ 时间——两笔相乘即定理 5 的 $O({\log }^{2}K)$。

推导三:复值扩展:幅值-相位两段账

极坐标两段式

复条目取极坐标 $a_j=|a_j|e^{i{\phi }_j}$。幅值段与实值版完全同构:单元存预计算分裂角(叶相位 ${\phi }_j$ 同单元并存),受控 $R_y$ 级联产出

$$|{\psi }_k⟩=\frac{1}{\Vert A{\Vert }_F}\sum _j|a_j||j⟩.$$

相位段:一次全叠加查询取全体叶相位,受控相位门级联 $|j⟩\mapsto e^{i{\phi }_j}|j⟩$:

$$\frac{1}{\Vert A{\Vert }_F}\sum _j|a_j|e^{i{\phi }_j}|j⟩=\frac{1}{\Vert A{\Vert }_F}\sum _j{a}_j|j⟩=|A⟩.$$

实值有号情形就是相位 ${\phi }_j\in \{0,\pi \}$ 的一比特特例——摘要所谓”the real signed case is naturally subsumed as a one-bit phase specialization”。两篇工作的接口由此对齐:QR056 单元里的符号位,恰是 QR057 相位的一比特量化;单元宽度(实值 $1+2t$、复值 $2t$)与寄存器账($k+2t+1$)在两种读法下各自自洽。

两段式的顺序有语义理由(本词条读法):相位门按叶指标寻址,而叶指标只在幅值段走完、地址展开到全 $k$ 位后才良定义;先相位后幅值则相位寻址须挂在半成品前缀上,多付一层索引账。误差侧,相位段只过一遍,故 ${\delta }_{\phi }+{ϵ}_{\phi }$ 不带因子 $k$——望远镜界里两段的不对称地位正来自”幅值误差逐层累积、相位误差一次付清”。

推导四:装载策略的形式化:预装载、在线制备与分页换入的摊销账

三种策略的成本模型

把”得到 $|A⟩$“的三条途径放进同一套记号($K=MN$、$k={\log }_{2}K$、算法侧制备/使用 $Q$ 次;货币口径见 成本口径):

策略	一次性成本	每次制备成本	持有成本
器件预装载(本词条)	经典构建 $B(K)$	$2k+2$ 次查询、$O(k\log K)$ 检索时间	$k+2t+1$ 个相干比特常驻
在线态制备电路	无	$2K-3$ 门(实振幅,见边界词条)	无(用完即弃)
分页换入	经典构建 $B(K)$	页化后的查询深度(见下)	同预装载,加页驻留

器件构建账 $B(K)$ 由三部分组成(本词条核算):$O(K)$ 次叶模方与沿树累加、$O(K)$ 次 arcsin 反解、$K-1$ 个单元写入——全部经典操作,不占相干预算。器件路线把 $\Theta (K)$ 压进经典一次性构建,量子侧只剩 $O({\log }^{2}K)$,且制备好的 $|A⟩$ 常驻寄存器、后续算法查询零装载成本——制备好的态本身就是缓存。

临界制备次数与两条附注

摊销账:

$$C_{\mathrm{QRAM}}(Q)=B(K)+Qq(k),C_{\mathrm{ckt}}(Q)=Q(2K-3),$$

其中 $q(k)=O(k\log K)$ 为器件侧每次制备的操作量级(本词条估算)。解 $C_{\mathrm{QRAM}}=C_{\mathrm{ckt}}$,临界制备次数

$$Q^{\ast }=\frac{B(K)-q(k)}{(2K-3)-q(k)}\approx \frac{B(K)}{2K}=O(1),$$

末步用 $B(K)=\Theta (K)$(构建与电路门同阶)。结论稳健:只要同一张表要制备的次数超过常数,器件路线在门数货币下就占优——两条路线的 $\Theta (K)$ 项,一个进了经典账、一个留在量子账。两条诚实附注:其一,$B(K)$ 是经典货币、$2K-3$ 是量子门货币,跨货币比较须先过 成本口径 那一关(经典预计算由 CPU 付账,不进相干预算,但也不是免费的零);其二,“持有”要求 $k+2t+1$ 个逻辑比特的相干寿命覆盖整个算法运行期,这笔持有成本在两文的记账练习里均未计,却是器件路线真正的软肋(容错侧的资源红线见 容错资源红线)。

更新账:根-叶路径重写

改一个元素 $a_j$:叶权重 $T_j$ 变,则根-叶路径上 $k$ 个节点的平方权重与角度全变——受影响单元恰是路径上每层各一个兄弟对单元,共 $k$ 次单元重写、$O(k)$ 次经典加法与 arcsin。数值:$K=2^{20}$、$k=20$,每次更新 20 次单元重写 + 20 次角度反解,经典耗时微秒量级,$10^6$ 次/秒的更新流也只是 $2\times 10^7$ 次/秒的经典写入——经典侧的更新带宽从来不是瓶颈(本词条估算)。真正的约束在量子侧:单元一变,QPU 上持有的旧 $|A⟩$ 即过期,须重新制备(再一次 $q(k)$)。故该架构的自然节奏是”经典侧高频更新、量子侧按批制备”,不适合逐元素相干流式消费——即原文”无动态更新原语”的操作含义。

容量不足时的分页换入

单元数 $\approx K-1$、位宽 $2t$(复值),存储位数 $\approx 2t(K-1)$。器件容量以单元计为 $C<K$ 时,把叶集切成 $2^k$ 页、每页 $2^m$ 叶($k+m={\log }_{2}K$),只把覆盖当前页的子树连同其上的页骨架驻留 BBQRAM,页号走顺序查询电路——这正是虚拟 QRAM 的页化构造,深度-宽度最优化($d(k)=m+(m+1)\cdot 2^k$ 与宽度 $w(k)=2^m+k$ 的平衡点、load-once 的 T 账指数改进)已在该词条完整推导,见 虚拟 QRAM,不重复。此处只补 Berti–Ghisoni 特有的两条(均为本词条估算):

• 位宽吃容量:$t=32$ 时每页占 $2t\cdot 2^m\approx 2^{m+6}$ 比特;给 $2^{20}$ 比特(128 kB)单元预算,$m\le 14$,单页至多 $1.6$ 万条目。位数 $t$ 直接从容量预算里扣——“寄存器记账练习”的提醒在此落地:精度位数与可寻址规模共用同一个存储账本。
• 换页无克隆负担:${\theta }_z$ 与 $\phi$ 是权重的确定性经典函数,新页角度可现场重算(经典 $O(2^m)$)或整页拷入;与虚拟 QRAM 的类控 SWAP 换页不同,交换的是经典配置而非量子态,页交换语义更轻。

推导五:算法侧应感知的架构参数

把”QRAM 查询成本 $=1$“的 oracle 抽象换成器件账单时,算法侧至少要感知四个参数,每个参数各挂一条账:

1. 深度 $k={\log }_2(MN)$:查询数 $2k+2$、检索时间 $O(k\log K)$、幅值误差 $k{\delta }_{\theta }/2$、受影响更新单元数 $k$——四条账都线性挂在这一个数上,算法设计者应先算 ${\log }_2(MN)$ 再谈标度。
2. 产率(器件按资源态-工厂方式供给时):制备速率受 $R=\min (1/T_{\mathrm{query}},k_f/T_{\Phi })$ 限制($k_f$ 个工厂并行;工厂周期与吞吐的排队账见 QRAM 工厂)。需要反复重制备的算法(数据每次更新后)按 $1/R$ 折算墙钟——oracle 抽象里免费的”重新制备”,在器件账单上是产率约束。
3. 容量与缓存:单元数 $\approx K$、位数 $\approx 2tK$;容量不足走分页,深度按虚拟 QRAM 的 $d(k)$ 重估,精度位数 $t$ 从容量里扣(推导四)。
4. 误差预算:每次制备不保真度 $\lesssim \eta (t)$;算法若制备 $P$ 次,union bound(一般形式见 评价指标)给 $P\eta \le {\epsilon }_{\mathrm{alg}}$,代回位数处方:

$$2^t\ge \frac{\pi kP}{2{\epsilon }_{\mathrm{alg}}}⟹t=O(\log (kP/{\epsilon }_{\mathrm{alg}})),$$

位数随制备次数只对数增长。数值($k=20$、${\epsilon }_{\mathrm{alg}}=10^{-2}$,本词条核算):单次制备($P=1$)需 $2^t\ge \pi \times 20/(2\times 10^{-2})\approx 3.1\times 10^3$,$t=12$;$P=100$ 时 $t=19$;$P=10^4$ 时 $t=25$——制备次数乘一百、乘一万,位数只加 7 与 13,这是误差线性累积 + 位数对数反解的联合红利。

数值算例

算例 1:$K=8$ 的全套账单

取 $a=(1,2,3,4,5,6,7,8)$,则 $T_j=j^2$,$T_{\mathrm{root}}=\sum j^2=204$。层级打包的七个单元($K-1=7$;地址为左子堆编号”1$p$”)与角度(按第二条恒等式逐格计算)如下:

层 $\ell$	前缀 $p$	单元 $(T_L,T_R)$	地址 $2^{\ell }+p$	$\theta$(rad)
0	(空)	$(30,174)$	1	2.352
1	0	$(5,25)$	2	2.300
1	1	$(61,113)$	3	1.875
2	00	$(1,4)$	4	2.214
2	01	$(9,16)$	5	1.855
2	10	$(25,36)$	6	1.749
2	11	$(49,64)$	7	1.705

资源账($t=32$):BBQRAM $7\times 65=455$ 比特;QPU 寄存器 $k+2t+1=3+64+1=68$ 比特;查询 $2k+2=8$ 次。三条核验:根角 $\sqrt{174/204}=0.9235$ ✓;七个角度与态制备边界词条用同一组数据独立算出的递推角逐位一致 ✓(等价性的实例化);归纳终态振幅 $j/\sqrt{204}$,符号全正,符号层为恒等 ✓。

算例 2:规模阶梯与存储密度

$t=32$ 固定,规模阶梯($K=2^{10},2^{20},2^{30}$)上把定理 18 的报告值与本词条核算公式并排:

$K$	QPU $k+2t+1$	BBQRAM(文献)	$2t(K-1)$(核算)	折合字节	查询 $2k+2$
$2^{10}$	75	$\approx 6.6\times 10^4$	$6.5\times 10^4$	$\approx 8.1$ kB	22
$2^{20}$	85	$\approx 6.7\times 10^7$	$6.7\times 10^7$	$\approx 8.4$ MB	42
$2^{30}$	95	$\approx 6.9\times 10^{10}$	$6.9\times 10^{10}$	$\approx 8.6$ GB	62

寄存器列与 $k+2t+1$ 逐行精确吻合(75/85/95),存储列与 $2t(K-1)$ 在末位舍入内一致——规模示例即两条公式的取值表。存储密度值得单独说:每条目 $2t=64$ 比特,约为双精度复矩阵(128 比特/条目;$K=2^{30}$ 时 16 GB)的一半;但精度上限同时被 $t$ 钉死在 $\eta \sim k{2}^{-t}\sim 10^{-8}$($k=30$)——比双精度的 $10^{-16}$ 粗八个数量级。角度化买的是”可被叠加检索”,付的是定点精度;要双精度就得加大 $t$ 并按推导四重算容量预算。

算例 3:两条路线的操作量对照

$K=2^{30}$、实振幅:电路路线每次制备 $2K-3\approx 2.1\times 10^9$ 门(一般态制备的最坏情形账;查表电路口径为每查 $4N-4$ 个 T 门 Babbush 2018);器件路线 $2k+2=62$ 次查询、每查 $O(k)=30$ 层路由,合计 $O(10^3)$ 量级交互步加 $O(k)$ 层受控旋转(本词条估算)。门数货币下相差约六个数量级,差距的来源就是 $2^{30}$ 与 $30^2$ 之差;但墙钟货币下还要乘各自动作速率、纠错开销与经典构建 $B(K)$ 的摊销——兑换率问题见 成本口径 与 机会成本批判。

算例 4:更新流的节奏核算

设数据流每毫秒更新一个元素、$K=2^{20}$($k=20$):经典侧每次更新 20 次单元重写 + 20 次角度反解,合计每秒 $2\times 10^4$ 次重写——比任何现代存储带宽低多个量级,无压力(本词条估算)。量子侧每次更新后若需新鲜 $|A⟩$,重制备一次 = 42 次查询;以检索步速率 $10^6$ 步/秒、每查询 $O(k)=20$ 层路由估算,单次制备 $\sim 10^{-3}$ 秒——与更新节奏恰好同量级,即”逐更新重制备”勉强打平,“按批制备”才留有裕量。选型判据:更新率 $\times$ 重制备时间 $\ll 1$ 时器件路线从容,逼近 1 时应改批处理或加大更新间隔(本词条估算)。

讨论:诚实的边界与架构立场

作者的诚实标注值得记录:资源表”应读作 QPU 寄存器与 BBQRAM 内存的记账练习,而非完整可行性估计”——不含开关、纠错、控制硬件与魔法态工厂;$O({\log }^{2}K)$ 界以”带流水线路由的硬件 BBQRAM”为前提,而电路级 BBQRAM 受 $\Omega (2^n)$ 逻辑门下界约束 Jaques & Rattew 2025;无动态更新原语,改一个元素需更新根-叶路径上的全部角度(推导四的更新账)。这种”承认电路下界、只信硬件模型”的立场,恰是 QRAM 假设分歧的缩影:它以 桶队架构器件的存在为先决条件,其可信度与器件路线(如 资源态 QRAM)的进展直接挂钩。与之对照,不依赖 QRAM 的电路式与数据结构式加载见 边界:态制备电路 与 去量子化。

把本词条的推导合起来,可以得到一张三层栈的定位图(本词条综合):布局层(Berti–Ghisoni)回答”数据在器件里怎么摆、检索怎么收账”,其全部收益以器件容量足够为前提;容量层(虚拟 QRAM)回答”器件不够大时怎么页化、深度与宽度怎么换”,其深度账 $d(k)=m+(m+1)2^k$ 直接接管分页后的时间预算;供给层(QRAM 工厂)回答”器件按查询消费资源态时谁来做补货”,其吞吐 $k_f/T_{\Phi }$ 给推导五的产率参数以物理内容。三层的账目组合时相乘而非相加——推导五的意义,就是把三层参数在设计早期放进同一张预算表。

延伸阅读

• 桶队架构
• 机会成本批判
• 边界:态制备电路
• Fat-Tree 共享 QRAM
• 虚拟 QRAM
• QRAM 工厂
• 成本口径:激活门、干预与能量