误差过滤

误差过滤(EF)是"纠错之前"最实用的误差抑制策略:以通告率换保真度,资源开销与被保护操作的规模无关。

从通信到门

EF(error filtration,误差过滤)最初是为稳定量子通信提出的(Gisin–Linden–Massar–Popescu,2005):把单个消息复用并经 $T$ 条相似噪声信道传送,事后检测并丢弃出错的部分,保真度意义上的错误从 $\epsilon$ 压到 $\epsilon /T$——无错轨迹在后选择下相干合并、出错轨迹只剩 $1/T$ 权重。Lee、Hann、Puri、Girvin、Jiang 把它推广到门级量子计算(gate-based EF):保护对象从”传态”(恒等操作)扩展为任意规模的黑盒量子操作,不需要对操作本身做逻辑编码,也不需要知道其内部结构 Lee 2023;中科大团队随后用大规模模拟厘清了它在真实 QRAM 参数下的有效区间与失效区 Wang 2025(见QRAM 模拟器)。

协议设定:黑盒、三个寄存器与记号

设有一个实现理想酉 $U$ 的黑盒装置,实际执行 CPTP 信道 $\mathcal{U}$,Kraus 算符集 $\{K_0,K_1,\dots ,K_R\}$ 中 $K_0$ 与 $U$ 最接近。两种等价参数化贯穿全文:

$$K_0=U-\epsilon \xi ,\Vert \xi \Vert =1;\text{或}{K}_0=\sqrt{1-\epsilon }U,K_{i\ne 0}=O(\sqrt{\epsilon }).$$

前者最一般,后者是”以概率 $\epsilon$ 出一个随机错误”的混合酉(mixed-unitary)模型。黑盒基保真度(base fidelity)$F_0=⟨\psi |U^{†}\mathcal{U}(|\psi ⟩⟨\psi |)U|\psi ⟩$:非幺正错误下 $1-F_0=O(\epsilon )$,纯相干错误下 $1-F_0=O({\epsilon }^2)$。协议用三个寄存器:控制寄存器($T$ 个高质量辅助比特,初始为 $|+{⟩}^{\otimes T}$)、记忆寄存器(memory,装载待保护输入 $|\psi ⟩$)、活性寄存器(active,初始化为任意易制备的”空转态”$|\varphi ⟩$,可取热态/真空,结束后丢弃)。

流程:对控制寄存器的每个计算基分支 $|t⟩$($t=0,\dots ,2^T-1$),用受控 SWAP(cSWAP)网络把 $|\psi ⟩$ 换入调用路径、让黑盒的第 $t$ 次调用打在 $\psi$ 上,其余 $2^T-1$ 次调用打在 $\varphi$ 上;末尾把控制寄存器投影回 $|+{⟩}^{\otimes T}$(等价于 $T$ 个 $X$ 基测量全 $+1$,即 Lee 原文的”全零后选择”)。记号约定:本词条以 $T$ 记控制比特数、$2^T$ 记调用次数(QR042 原文以 $T$ 记调用次数,引用其公式时已换算)。定义接受态、成功概率与条件保真度:

$${\tilde{\rho }}^{(T)}=\Pi {\rho }_{\mathrm{out}}\Pi ,P_S^{(T)}=\mathrm{Tr}{\tilde{\rho }}^{(T)},(1-F{)}_T=1-\frac{⟨U\psi |{\tilde{\rho }}^{(T)}|U\psi ⟩}{P_S^{(T)}},$$

其中 $\Pi =|+⟩⟨+{|}^{\otimes T}$ 是后选择投影。资源账:$1/2$ 抑制需追加 1 个控制比特和 1 份与输入规模(而非黑盒规模)相同的记忆寄存器;加深到 $1/2^T$ 只需再追加 $T-1$ 个控制比特——开销与黑盒门数、内部结构、是否非 Clifford 全都无关。

后选择的一般代数

先把”接受态”的账目立起来。对任意归一化输出 ${\rho }_{\mathrm{out}}$ 与投影 $\Pi$:

$${\rho }_{\mathrm{acc}}=\frac{\tilde{\rho }}{P_S},1-F_{\mathrm{acc}}=\frac{P_S-⟨{\psi }_{\mathrm{id}}|\tilde{\rho }|{\psi }_{\mathrm{id}}⟩}{P_S}=\frac{\mathrm{Tr}[\tilde{\rho }(I-|{\psi }_{\mathrm{id}}⟩⟨{\psi }_{\mathrm{id}}|)]}{P_S}\ge 0,$$

末一步用”两个半正定算符的迹非负”($\tilde{\rho }⪰0$ 由 Kraus 构造保证,$I-|{\psi }_{\mathrm{id}}⟩⟨{\psi }_{\mathrm{id}}|⪰0$ 显然):后选择只会削减、不会放大误差。EF 的全部内容是定量回答分子被压到多少、$P_S$ 付出多少:无条件接受时分子恰为 $1-F_0$,下面看到干涉结构把它压掉 $2^T$ 倍,而分母 $P_S^{(T)}$ 只从 1 退到常数——这正是它与”逐组件擦除探测”的差别(后者通过率随组件数指数衰减,账目见共识设计策略推导 III)。

单控制比特:接受态的显式构造与减半证明

两次调用的接受态

$T=1$(两次调用)时,分支 $|0{⟩}_c$ 先对 $\psi$ 后对 $\varphi$ 调用 $\mathcal{U}$,分支 $|1{⟩}_c$ 先 $\varphi$ 后 $\psi$;对控制寄存器做末端 Hadamard 后选 $|0⟩$,等价于投影 $⟨+|\cdot |+⟩$。文献算得的未归一接受态为 Lee 2023:

$${\tilde{\rho }}^{(1)}=\frac{1}{2}\mathcal{U}(|\psi ⟩⟨\psi |)+\frac{1}{2}\sum _{i,j}{K}_i|\psi ⟩⟨\psi |K_j^{†}\mathrm{Tr}\left({\rho }_{\varphi }{K}_i^{†}{K}_j\right).$$

读法:第一项是两条时序分支各自独立通过信道的非相干贡献(对角项,投影对角权重各 $1/2$);第二项是两条时序分支的相干干涉(非对角项,由 $⟨0|+⟩⟨+|1⟩$ 接通),它把 $\psi$ 那次调用的 Kraus 指标对 $(i,j)$ 与 $\varphi$ 上调用的重叠 $\mathrm{Tr}({\rho }_{\varphi }{K}_i^{†}{K}_j)$ 配对。由于 $K_{i\ne 0}=O(\sqrt{\epsilon })$,双错误指标 $i,j\ne 0$ 的项是 $O({\epsilon }^2)$,一阶计算只需保留含 $K_0$ 的项。

成功概率

对接受态取迹,在混合酉模型 $K_0=\sqrt{1-\epsilon }U$、$K_1=\sqrt{\epsilon }V$ 下逐项代入 $(i,j)=(0,0),(1,1),(0,1),(1,0)$:

$$P_S^{(1)}=\frac{1}{2}[(1-\epsilon {)}^2+{\epsilon }^2]+\epsilon (1-\epsilon )\mathrm{Re}\{X\}+O({\epsilon }^2)=1-\epsilon (1-\mathrm{Re}X)+O({\epsilon }^2),$$

其中 $X:=⟨\psi |U^{†}V|\psi ⟩\mathrm{Tr}({\rho }_{\varphi }{V}^{†}U)$。由 $U,V$ 酉性,$|\mathrm{Re}X|\le 1$,故最坏情形

$$1-P_S^{(1)}\le 2\epsilon .$$

接受率亏损是 $O(\epsilon )$:一次错误最多”偷走”常数阶通过率,这就是后选择代价的来源。

分子、相消与减半

与理想态 $|U\psi ⟩$ 的内积同样逐项展开:$(0,0)$ 项给出 $\frac{1}{2}(1-\epsilon )\cdot 1\cdot (1-\epsilon )$($⟨U\psi |U|\psi ⟩=1$ 恰为酉性),合并错误与交叉项后

$$⟨U\psi |{\tilde{\rho }}^{(1)}|U\psi ⟩=\frac{1}{2}{F}_0+\frac{1}{2}-\epsilon (1-\mathrm{Re}X)+O({\epsilon }^2).$$

分子与分母中的 $O(\epsilon )$ 修正完全相同(同一个 $\delta :=\epsilon (1-\mathrm{Re}X)$),相减后精确消去:

$$(1-F{)}_1=\frac{(1-\delta )-(\frac{1}{2}{F}_0+\frac{1}{2}-\delta )}{1-\delta }=\frac{\frac{1}{2}(1-F_0)}{1-\delta }=\frac{1}{2}(1-F{)}_0+O({\epsilon }^2),$$

末步因 $(1-F{)}_0=O(\epsilon )$、$\delta =O(\epsilon )$,乘积 $O({\epsilon }^2)$ 可并入余项。不保真度被单个辅助比特精确减半,且结果与 $|\psi ⟩$、$|\varphi ⟩$、错误么正 $V$ 的选取全部无关 Lee 2023。机制上,接受态是”一半原始输出(条件保真度 $F_0$)+ 一半条件理想”的混合:干涉分支要求两次调用的 Kraus 结果在数据与辅助寄存器上完全自洽——这个自洽条件本身就是一次无错投影,其条件保真度恰为 1;结构上,干涉项实现的正是输出态的”二次方”组分(${\rho }_0^2$ 型,见下节),与虚拟蒸馏类方案用 ${\rho }^k$ 提纯的思路同源,差别在于这里以后选择取用。

精确判据:$F_0>1/2$

上式是微扰结果。取 $|\varphi ⟩=|\psi ⟩$ 可把协议精确解出:此时两条分支账目对称,文献给出精确恒等式

$${\rho }_1=\frac{1}{2}{\rho }_0+\frac{1}{2}{\rho }_0^2,{\rho }_0:=\mathcal{U}(|\psi ⟩⟨\psi |),$$

于是

$$F_1=\frac{F_0+⟨U\psi |{\rho }_0^2|U\psi ⟩}{1+\mathrm{Tr}{\rho }_0^2}.$$

把 ${\rho }_0$ 沿理想态分解:

$${\rho }_0=F_0|U\psi ⟩⟨U\psi |+(1-F_0)\sigma ,⟨U\psi |\sigma |U\psi ⟩=0,$$

代入并整理($⟨U\psi |{\sigma }^2|U\psi ⟩\ge 0$、$\mathrm{Tr}{\sigma }^2\le 1$):

$$F_1-F_0\ge \frac{(1-F_0)F_0(2F_0-1)}{1+\mathrm{Tr}{\rho }_0^2}>0⟺F_0>\frac{1}{2}.$$

这是非微扰的精确判据:只要基保真度过半,单控制比特 EF 必然改善,哪怕 $\epsilon =O(1)$;纯相干信道下 $F_1=F_0$ Lee 2023。边界行为可用最坏情形模型看清(本词条推导):取错误分支与理想输出正交($⟨U\psi |V\psi ⟩=0$、$\mathrm{Tr}({\rho }_{\varphi }{V}^{†}U)=0$),则 $F_0=1-\epsilon$,精确解出

$$F_1=\frac{3F_0-1}{2F_0},(1-F{)}_1=\frac{1-F_0}{2F_0},$$

不动点在 $F_0=\frac{1}{2}$ 与 $F_0=1$:$F_0>1/2$ 时向 1 收敛,$F_0<1/2$ 时 EF 反向放大失真;抑制因子是 $2F_0$ 而非理想化的 2——基保真度越低,每级抑制越缩水,这为后文”基失真 $\gtrsim 0.1$ 时 $2^T$ 失效”的数值现象提供机制注脚。

一般 $T$:轨迹求和与 $2^T$ 抑制的来源

轨迹形式与接受态

一般 $T$ 用轨迹(trajectory)语言。对调用结果向量 $\mathbf{i}=(i_1,\dots ,i_{2^T})$、$i_k\in \{0,\dots ,R\}$,分支 $|t⟩$ 中第 $t$ 次调用的 $K_{i_t}$ 打在 $\psi$ 上,其余各次打在 $\varphi$ 上;记 $\overline{K_{i_t}}:=K_{i_{2^T}}\cdots K_{i_{t+1}}{K}_{i_{t-1}}\cdots K_{i_1}$(按时间序跳过第 $t$ 次),轨迹态为

$$|{\Psi }_{\mathbf{i}}⟩=\frac{1}{2^{T/2}}\sum _{t=0}^{2^T-1}|t⟩K_{i_t}|\psi ⟩\overline{K_{i_t}}|\varphi ⟩.$$

把 ${\sum }_{\mathbf{i}}|{\Psi }_{\mathbf{i}}⟩⟨{\Psi }_{\mathbf{i}}|$ 投影到 $|+{⟩}^{\otimes T}$、迹掉活性寄存器,得 Wang 2025:

$${\tilde{\rho }}^{(T)}=\frac{1}{2^T}\mathcal{U}(|\psi ⟩⟨\psi |)+\frac{1}{4^T}\sum _{\mathbf{i}}\sum _{t\ne q}{K}_{i_t}|\psi ⟩⟨\psi |K_{i_q}^{†}\mathrm{Tr}\left({\rho }_{\varphi }{\overline{K_{i_q}}}^{†}\overline{K_{i_t}}\right).$$

结构一目了然:对角项($t=q$)承担全部原始信道失真,但系数只有 $1/2^T$;非对角项($t\ne q$,共 $2^T(2^T-1)$ 个有序分支对)是分支间干涉。

对角项的重构:完备性的两次使用

$1/2^T$ 这个系数不是假设,而是 Kraus 完备性 ${\sum }_i{K}_i^{†}{K}_i=I$ 的直接推论。固定 $t$,对 $\mathbf{i}$ 的求和逐位置因式分解:

$$\sum _{\mathbf{i}}{K}_{i_t}\psi \psi K_{i_t}^{†}\mathrm{Tr}\left({\rho }_{\varphi }{\overline{K_{i_t}}}^{†}\overline{K_{i_t}}\right)=\sum _j{K}_j\psi \psi K_j^{†}\prod _{t^{\prime }\ne t}\left[\sum _{j_{t^{\prime }}}\mathrm{Tr}\right({\rho }_{\varphi }{K}_{j_{t^{\prime }}}^{†}{K}_{j_{t^{\prime }}}\left)\right]=\mathcal{U}(\psi \psi ),$$

中间一步:其余 $2^T-1$ 个位置各自的指标求和给出 $\mathrm{Tr}({\rho }_{\varphi }I)=1$,再对 $t$ 求和、除以 $4^T$,对角份额恰为 $2^T/4^T=1/2^T$。无论多少次调用,原始失真只以 $1/2^T$ 的权重渗入接受态。

失真公式的相消

条件保真度的分子分母之差可以直接写开:

$$P_S^{(T)}-⟨U\psi |{\tilde{\rho }}^{(T)}|U\psi ⟩=\frac{1}{2^T}(1-F{)}_0+\frac{1}{4^T}\sum _{\mathbf{i}}\sum _{t\ne q}(⟨\psi |K_{i_q}^{†}{K}_{i_t}|\psi ⟩-⟨\psi |U^{†}{K}_{i_t}|\psi ⟩⟨\psi |K_{i_q}^{†}U|\psi ⟩\left)\mathrm{Tr}\right({\rho }_{\varphi }{\overline{K_{i_q}}}^{†}\overline{K_{i_t}}).$$

方括号是整个证明的心脏,分两类估算 Lee 2023:

• 全 $K_0$ 轨迹:代入 $K_0=U-\epsilon \xi$ 后,前一因子的一阶项 $-\epsilon (⟨\psi |U^{†}\xi |\psi ⟩+h.c.)$ 与后两因子乘积的一阶项逐字相同,相减只剩 $O({\epsilon }^2)$;
• 单错误轨迹($i_q=0,i_t\ne 0$ 型):$⟨\psi |K_0^{†}{K}_{i_t}|\psi ⟩-⟨\psi |U^{†}{K}_{i_t}|\psi ⟩⟨\psi |K_0^{†}U|\psi ⟩=O({\epsilon }^{3/2})$($K_0^{†}U=1-\epsilon ⟨{\xi }^{†}U⟩$ 修掉一阶项),再乘 $\varphi$ 迹因子 $O({\epsilon }^{1/2})$,升到二阶。

于是所有 $O(\epsilon )$ 干涉贡献在”分子减分母”中精确蒸发,只剩对角项:

$$P_S^{(T)}-⟨U\psi |{\tilde{\rho }}^{(T)}|U\psi ⟩=\frac{1}{2^T}(1-F_0)+O({\epsilon }^2)⟹\frac{1-F_0}{1-F_T}=2^T{P}_S^{(T)}.$$

这就是 EF 的守恒律:抑制比 $=$ 理想指数因子 $\times$ 实际通过率。直觉:(i) 干涉分支条件保真度为 1(自洽条件即无错投影);(ii) 全部原始失真被压进权重 $1/2^T$ 的对角项;(iii) 后选择只删失、不修复,$O(\epsilon )$ 层面”删失率”在分子分母两侧同额抵消,剩下的正是对角失真。只要 $P_S^{(T)}\to 1$,$2^T$ 抑制完整兑现;$P_S$ 何时崩塌是下一节的主题。

成功概率:三道下界与渐进有效条件

第一道(最坏情形):任何一次错误都可能毁掉该次查询,故 $P_S\ge \mathrm{Pr}[\text{无错}]=(1-\epsilon {)}^{2^T}\ge 1-2^T\epsilon$(Bernoulli 不等式,与评价指标中 union bound 同源),适用要求 $2^T\ll 1/\epsilon$。

第二道(有利条件):若 (a) Kraus 算符互相对易,或 (b) $K_i|\varphi ⟩\propto |\varphi ⟩$(空转态为信道驻留态),或 (c) 噪声有偏置且偏置保持(bias-preserving)、可取对主导错误免疫的 $|\varphi ⟩$(如纯相位噪声下取 $|0\dots 0⟩$),则 $t\ne q$ 干涉项塌缩为

$$P_S^{(T)}=\frac{1}{2^T}+\frac{2^T-1}{2^T}\sum _{i,j}⟨\psi |K_i^{†}{K}_j|\psi ⟩⟨\varphi |K_j^{†}{K}_i|\varphi ⟩,$$

只保留 $(0,0)$ 项作下界,QR042 得 $P_S\ge 1-4\epsilon +O(\epsilon /2^T)\to 1-4\epsilon$。失败率被封在常数里,$T$ 加深不再增加拒绝率——这是 EF 能作为 oracle 嵌入算法的关键 Lee 2023。

第三道(参数化收紧):QR042 的 $4\epsilon$ 来自 $\Vert \xi \Vert =1$ 参数化的放缩($⟨\psi |K_0^{†}{K}_0|\psi ⟩\ge (1-\epsilon {)}^2$,平方后 $\approx 1-4\epsilon$);在混合酉参数化下 $⟨\psi |K_0^{†}{K}_0|\psi ⟩=1-\epsilon$ 精确成立,代入上式 Wang 2025:

$$P_S^{(T)}\ge \frac{1}{2^T}+\frac{2^T-1}{2^T}(1-\epsilon {)}^2\ge 1-2\epsilon (1-\frac{1}{2^T})\ge 1-2\epsilon ,$$

常数从 $4$ 减半到 $2$,且 $1-P_S\to 2\epsilon$ 随 $T$ 饱和。它直接改写渐进有效条件:每加深一级至少把失真再砍半,即 $2^T{P}_S^{(T)}\ge 2^{T-1}$;由 $P_S\ge 1-C\epsilon$ 解出可容忍基失真 ${\epsilon }_{\max }\le \frac{1}{2C}$——$C:4\to 2$ 使上限从 $0.125$ 翻倍到 $0.25$。

辅助比特噪声与误差层级

以上全部假设辅助系统无噪。QR042 对三类辅助错误给出逐位分析:

控制寄存器位翻转(bit flip)——灾难性。 对两次调用电路的三个故障位逐一模拟:调用前翻转,两次调用都打在 $\varphi$ 上,接受态为 $U|\varphi ⟩$,与目标无关却以概率 1 被接受;调用之间翻转,输出为 $U^2|\psi ⟩$/$U^2|\varphi ⟩$ 的叠加,不含 $U|\psi ⟩$;调用后翻转同理。结论:单个位翻转通常既毁掉查询又不被后选择剔除,直接计入失真。设单次调用时长 ${\tau }_U$、位翻转率 ${\epsilon }_{bf}$,一阶账目为(换算到本词条记号)

$$(1-F{)}_T\simeq \frac{1-F_0}{2^T}+{\tau }_U{\epsilon }_{bf}T{2}^T.$$

第二项随 $T$ 指数增长:辅助错误吃掉抑制的红利。EF 有净收益要求 ${\tau }_U{\epsilon }_{bf}T{2}^T<(1-F_0)(1-2^{-T})$,即层级条件

$$\frac{{\tau }_U{\epsilon }_{bf}}{1-F_0}\lesssim \frac{1}{T{2}^T}(T=1\text{时即}<\frac{1}{2}),$$

QR042 同时证明存在最优深度 $T$:$T$ 再大,辅助位翻转的指数增长反超 $2^T$ 抑制(闭式估算见算例 3)。这就是误差层级(error hierarchy)$p_m\ll \epsilon$ 的精确内容:辅助 cSWAP 必须显著干净于被保护操作。

控制寄存器相位翻转(phase flip)——只罚通过率。 $Z$ 错误与所有 cSWAP 对易,可推到电路末端,被末端 Hadamard 转成位翻转、由后选择探测并拒绝:一阶上保真度不受影响,失败率增加 $\Delta P_S\simeq {\tau }_U{\epsilon }_{pf}T{2}^T$。这正是 EF 偏爱偏置噪声(cat 比特、偏置保持 Toffoli 分解出 cSWAP)的原因:把危险的 $X$ 型辅助错误压到指数小、把 $Z$ 型错误导向”可探测”通道 Lee 2023。

记忆寄存器错误——$\psi$ 在等待其余 $2^T-1$ 次调用期间承受退相干,同样不可探测、直接计入失真,记账与位翻转同型。QRAM 是层级的天然赢家:$N$ 很大时装置内错误远多于少量辅助比特错误,且 QRAM 可用偏置噪声实现、常数失败率下界自动就位——这是”EF 可硬件高效嵌入 QRAM”的结构性理由 Lee 2023。

相干错误与二阶误差地板

纯相干错误完全不被抑制。 若 $\mathcal{U}(\cdot )=V(\cdot )V^{†}$ 是幺正信道,则每条轨迹经历同一个 $V$,干涉只是把 $V|\psi ⟩$ 原样重建:对任意 $T$ 精确有 ${\rho }_T=V|\psi ⟩⟨\psi |V^{†}$、$F_T=F_0$ Lee 2023。幺正错误的 $1-F_0=O({\epsilon }^2)$ 本就在微扰展开的盲区(相干错误的二次律,见评价指标),而 EF 的机制是区分轨迹、删除失败者,对”只整体转了个小角度”的信道无物可删。工程结论:相干成分须先经随机化/泡利缠绕(twirling)转化为随机错误,EF 才能接手。

二阶地板。 在有利条件(驻留空转态,QR042 称之为 vacuum extension)下可取 $T\to \infty$:设 $K_0=\sqrt{1-p}U$、$K_1=\sqrt{p}V$,含 $m$ 次 $K_0$ 的轨迹族在 $m\approx (1-p)T$ 处二项聚峰,接受态收敛到纯态

$$|{\psi }_{\infty }⟩\propto (1-p)U|\psi ⟩+pV|\psi ⟩,F_{\infty }=1-\frac{1}{4}{\sin }^2\theta {\epsilon }^2+O({\epsilon }^2)(2p=\epsilon ),$$

其中 $\theta$ 由 $V|\psi ⟩=e^{i\nu }\cos \theta |U\psi ⟩+\sin \theta |U{\psi }^{\perp }⟩$ 定义。$T\to \infty$ 时 $O({\epsilon }^2)$ 项的系数收敛到 $T$ 无关的有限值:EF 有一个二阶误差地板,不会随深度爆炸 Lee 2023。

大规模数值:失效区与精化判据

理想抑制 $2^T$ 在何处失效?QR042 原始模拟($2^n=8$ 存储比特、$T=4$ 辅助比特)显示无辅助错误时 $1/T$ 标度保持极好;每时间步 $0.01$ 去极化下(基不保真度 $O(0.01(\log N{)}^2)$),仅用 $4+\log N$ 个额外量子比特即可把查询失真压低一个数量级以上 Lee 2023。中科大团队的 QRAM-Simulator 借助错误局域化驱动的子树包含剪枝(把 Hann 的错误局域性证明算法化,机制见误差局域化),首次大规模刻画了 EF 的边界 Wang 2025(见QRAM 模拟器):

• 模拟($n=3,5,8,10$;$\epsilon =10^{-3}/10^{-2}$)显示:$n=3$、$\epsilon =10^{-3}$ 时 $2^T$ 抑制保持到 $T=4$;$\epsilon =10^{-2}$ 时 $T=4$ 只剩约 $2^3$(保真度仍在 0.8 以上)——抑制异常(suppression anomaly):亚指数抑制与提前饱和;
• 判据归因:对 $1-F_0\in [10^{-5},10^{-2}]$、$n=3\text{–}15$ 的全分支模拟,把测得的抑制比 $R_T=(1-F_0)/(1-F_T)$ 除以 $P_S^{(T)}$ 后理想 $2^T$ 标度恢复——偏差来源正是渐近理论忽略的 $P_S$ 因子;基失真 $1-F_0\gtrsim 0.1$ 时几乎达不到完全 $2^T$ 抑制;
• 把 $P_S$ 纳入理论后的精化判据为

$$(1-F{)}_T=\frac{(1-F_0)}{2^T{P}_S^{(T)}}+O({\epsilon }^2),$$

配合 $P_S$ 的 $T$ 无关下界从 $1-4\epsilon$ 改进为 $1-2\epsilon$,渐进有效条件 $2^T{P}_S\ge 2^{T-1}$ 容忍的基失真上限从 $0.125$ 提升到 $0.25$、EF 渐进有效的最大 QRAM 尺寸扩大一倍以上;无噪基失真按 $1-F_0\propto n^{1.9}$ 幂律拟合,可在给定器件错误率下直接读出 EF 渐进有效的规模上限。模拟器本身做到 20 层树(百万量级节点)$<1$ GB 内存。

数值算例

算例 1:最小协议的完整账单($T=1$,$\epsilon =1\%$)

取正交错误最坏情形($⟨U\psi |V\psi ⟩=0$、驻留 $|\varphi ⟩$ 使 $\mathrm{Tr}({\rho }_{\varphi }{V}^{†}U)=0$,故 $X=0$、$\delta =\epsilon$),$F_0=1-\epsilon =0.99$。代入 $T=1$ 公式:$P_S^{(1)}=1-\delta =0.99$,分子 $=\frac{1}{2}{F}_0+\frac{1}{2}-\delta =0.985$,故

$$F_1=\frac{0.985}{0.99}\approx 0.99495,(1-F{)}_1\approx 5.05\times 10^{-3}=\frac{0.01}{2\times 0.99}.$$

加深到 $T=2$(两个控制比特、四次调用,驻留空转态):$(1-F{)}_2\approx 0.01/4=2.5\times 10^{-3}$,$P_S^{(2)}\ge 1-2\epsilon (1-\frac{1}{4})=0.985$——每级”失真减半”与”通过率罚 $O(\epsilon )$“同时到账。

算例 2:$F_0=1/2$ 边界的两侧(精确判据验算)

用最坏情形精确映射 $F_1=(3F_0-1)/(2F_0)$:

$F_0$	$F_1$	$(1-F)$ 变化
$0.75$	$0.8333$	$0.25\to 0.167$(因子 $2F_0=1.5$)
$0.55$	$0.5909$	$0.45\to 0.409$(因子 $1.1$,勉强)
$0.45$	$0.3889$	$0.55\to 0.611$(恶化)

迭代读法:$(1-F{)}_{k+1}=(1-F{)}_k/(2F_k)$,从 $F_0=0.75$ 出发三轮得 $0.75\to 0.833\to 0.900\to 0.944$——距临界线 $1/2$ 的距离每轮按 $F_k$ 收缩。这解释了”$\epsilon =O(1)$ 仍可抑制”与”基失真 $\gtrsim 0.1$ 失效”的相容性:前者是改善方向的条件,后者是抑制速率塌缩。

算例 3:嵌入算法的后选择崩溃与最优深度

$p^Q$ 崩溃(本词条推导)。 算法对 EF 保护的 oracle 连续做 $Q$ 次查询,全部被接受的概率按独立性乘起来:

$$P_{\mathrm{tot}}=p^Q,p=P_S^{(T)}=\text{常数}1-O(\epsilon ).$$

取偏置 QRAM 的 $p\approx 1-4\epsilon$、$\epsilon =10^{-3}$(即 $p=0.996$):$Q=100$ 时 $P_{\mathrm{tot}}=0.996^{100}=e^{-0.40}\approx 67\%$;$Q=1000$ 时 $e^{-4.0}\approx 1.8\%$;$Q=10^4$ 时 $e^{-40}\approx 4\times 10^{-18}$,失败重跑期望代价 $p^{-Q}$ 达 $2.6\times 10^{17}$ 倍。预算规则 $Q\cdot 4\epsilon \lesssim 0.1$ 即 $\epsilon \lesssim 0.025/Q$。对照算法分类(一般噪声下的韧性 Table II):多项式小 $Q$ 的算法(HHL、量子机器学习类)在 $\epsilon \sim 10^{-4}\text{–}10^{-3}$ 下可用;Grover 型 $Q\approx (\pi /4)\sqrt{N}$ 在 $N=2^{50}$ 时 $Q\approx 2.6\times 10^7$,要求 $\epsilon \lesssim 10^{-9}$,已等于纠错级要求。EF 的准确定位:把每查询失真的规模依赖换成常数失败率,代价是 $Q$ 上一个 $e^{O(\epsilon Q)}$ 因子;它改变常数,不改变指数。

辅助层级与最优深度(本词条估算)。 由层级条件 ${\tau }_U{\epsilon }_{bf}\lesssim (1-F_0)/(T{2}^T)$:取 $1-F_0=0.05$,$T=1/4/8$ 的阈值分别为 $1.25\times 10^{-2}$/$7.3\times 10^{-4}$/$2.4\times 10^{-5}$——每加一级辅助比特,对辅助干净度的要求指数收紧。对失真模型 $(1-F)\approx (1-F_0)/2^T+{\tau }_U{\epsilon }_{bf}T{2}^T$ 做连续优化,极值条件 $2^{2T}\approx (1-F_0)/({\tau }_U{\epsilon }_{bf})$ 给出

$$T_{\mathrm{opt}}\approx \frac{1}{2}{\log }_2\frac{1-F_0}{{\tau }_U{\epsilon }_{bf}},(1-F{)}_{\min }\approx 2\sqrt{(1-F_0){\tau }_U{\epsilon }_{bf}},$$

比值 $10^4$ 时 $T_{\mathrm{opt}}\approx 6.6$、最低失真 $\approx 4.5\times 10^{-4}$ 量级(以 ${\tau }_U{\epsilon }_{bf}=10^{-6}$ 计)——“存在最优 $T$“的闭式版本,与 QR042 的数值图定性一致。

讨论:与量子纠错的分工和适用边界

与主动 QEC 的对比。 二者互补而非竞争:

• 资源标度:EF 的开销($T$ 控制比特 + 一份输入规模的记忆寄存器)与黑盒规模无关;QEC 须把 $O(N)$ 个组件全部纳入主动保护,表面码核算下 8 GB 毫秒级 QRAM 需 $10^{15}$ 物理比特(见容错资源红线);
• 能力上限:EF 只抑制随机错误、对相干错误无效、留 $O({\epsilon }^2)$ 地板且不纠正;QEC 在阈值以下可任意压逻辑错误率;
• 代价货币:EF 付成功率($p^Q$ 崩溃限制查询次数),QEC 付空间与时间开销;
• 结构友好性:EF 对黑盒不可知(agnostic),非 Clifford 操作(QRAM 正是)无需逻辑版本;QEC 的横向门受 Clifford 限制,QRAM 类操作需专用容错接口(见Clifford 容错接口与异构纠错 QRAM);
• 前提条件:EF 要求误差层级与偏置噪声;QEC 要求阈值。

与擦除型后选择的关系。 EF 与双轨编码、qutrit 擦除探测同属”可检测错误 + 后选择”家族(见硬件实现总览),共享 $\tilde{\rho }=\Pi \rho \Pi$ 的代数,差别在旗标来源:擦除路线的旗标是物理的——TCG 路由器把地址编码在非相邻 qutrit 态 $|0⟩/|2⟩$ 上,泄漏到 $|1⟩$ 即被测得,单路由器保真度从 $87.48\%$(无后选择)提到 $95.74\%$(擦除后选择)、两层网络平均 $82.40\%$ Zhang 2025(推导见相干路由器实验);EF 的旗标是结构性的——受控重复让”错误发生在哪个时序”留在控制寄存器里,无需器件提供错误标记。代价对应:擦除路线的通过率随级联组件数指数衰减,EF 在有利条件下把通过率封在常数 $1-2\epsilon$。

定位。 EF 是 fine-print 级工具:抑制误差但不纠正、不解决容错本身;高基失真下受后选择概率的根本约束($F_0\le 1/2$ 反向恶化、$1-F_0\gtrsim 0.1$ 抑制速率塌缩、辅助层级限定最优深度);现有大规模数值到 $n=15$、基准到 $n=20$ 层 Wang 2025。它介于误差缓解(只修期望值)与量子纠错(修状态)之间:以状态为保护对象、以通过率为货币、以结构干涉为旗标。

延伸阅读

• QRAM 模拟器
• 一般噪声下的韧性
• 容错资源红线
• 共识设计策略
• 误差局域化
• 异构纠错 QRAM
• 相干路由器实验