超导腔 QRAM

把 bucket-brigade 路由树搬进高相干 3D 超导腔:腔作控制端执行受控交换,联合宇称门两步合成 ZZ、再与束分裂器组装出受控交换,双轨编码配后选择把门失真压到百万分之一,但查询成功率也随之跌到赫兹量级。本词条给出腔 QED 基础账(cooperativity)、GLM 相位门 fanout 的透过率困难、transmon 路由器的 ZZ 选择性、门合成与误差预算的完整推导。

机制与器件回顾

双架构

Weiss 等 2024(PRX Quantum 5, 020312)提出两种架构。CSWAP 架构用腔作为路由控制端直接构造腔控 CSWAP 门:联合宇称门(joint-parity gate)合成 $ZZ(\theta )$($\theta =\pi /2$ 时等效 CZ),再与束分裂器(beamsplitter)组装出受控交换;GUE 架构利用巨型单向发射体(giant unidirectional emitter, GUE)实现双向同时条件路由,态转移用时间对称的 pitch-and-catch 脉冲。transmon 仅作辅助,其 $|e⟩$ 态专用于一阶错误探测——衰减或退相即可检测。资源标度(CSWAP 架构,单轨):$(5/2)N$ 个腔(精确式 $N_{\mathrm{cav}}=(5/2)N+{\log }_{2}N-3$,双轨翻倍)、$7N-4{\log }_{2}N-8$ 个 CZ 门、$12{\log }_{2}N-14$ 个时间步;地址流水线(address pipelining)保证查询深度 $O({\log }_{2}N)$。

参数集与关键读数

$\chi /2\pi =2\mathrm{MHz}$ 给出 $t_{CZ}=1\mu \mathrm{s}$(推导见下),$n=12$($N=4096$)查询时间 130 μs;腔相干 $T_1^c=25\mathrm{ms}$、$T_{\varphi }^c=106\mathrm{ms}$(参数集 PS2:transmon 取当前最优、3D 腔取 Milul 等报道)。后选择把 CZ 门失真从单轨 $10^{-5}$ 压到双轨 $10^{-6}$;目标失真度 $1-F<0.2$ 下单轨只能支撑到 $2^4$ 规模,双轨可达 $2^8$,成功率从 $n=4$ 单轨的 20.9 kHz 跌到 $n=8$ 双轨的 0.013 Hz(GUE 2.2 Hz)。需求对标:jellium 模拟需 $n\ge 8$ 地址与约 $10^4$ 次查询,RSA-2048 分解需约 $2^{10}$ 容量与 $10^5$ 次查询,由此失真度须达 $10^{-4}$–$10^{-5}$。

推导一:腔 QED 基础账——$g$、$\kappa$、$\gamma$ 与 cooperativity

Jaynes–Cummings 谱与真空 Rabi 劈裂

腔 QED(cavity QED)的三个基本速率:耦合强度 $g$(真空 Rabi 频率之半,单光子–单量子比特交换速率)、腔衰减率 $\kappa$(光子寿命 $T_1^c=1/\kappa$)、量子比特退相干率 $\gamma$(含弛豫 $1/T_1$ 与纯退相干 $1/T_{\varphi }$)。单激发子空间里,Jaynes–Cummings 哈密顿量

$$H={\omega }_c{a}^{†}a+\frac{{\omega }_q}{2}{\sigma }_z+g(a^{†}{\sigma }_{-}+a{\sigma }_{+})$$

限制在基矢 $\{|g,1⟩,|e,0⟩\}$ 上成为二阶矩阵(记失谐 $\Delta ={\omega }_q-{\omega }_c$,以平均频率 $\bar{\omega }$ 为零点)

$$H_{\mathrm{sub}}=\left(\begin{array}{cc}-\Delta /2& g\\ g& \Delta /2\end{array}\right)=\frac{\Delta }{2}{\sigma }_z+g{\sigma }_x,$$

本征值为 $E_{\pm }=\bar{\omega }\pm \sqrt{g^2+{\Delta }^2/4}$,共振 $\Delta =0$ 时退化为 $\bar{\omega }\pm g$,本征态

$$|\pm ⟩=\frac{|g,1⟩\pm |e,0⟩}{\sqrt{2}},$$

即裸共振简并被 $2g$ 的真空 Rabi 劈裂(vacuum Rabi splitting)取代。初始 $|g,1⟩$ 以频率 $2g$ 振荡到 $|e,0⟩$:$P_e(t)={\sin }^2(gt)$——一次完整交换耗时 $\pi /(2g)$。这正是路由器与门合成的交换原语:一切腔 QED 器件都在回答”相干项 $g$ 能否跑赢两条损耗通道 $\kappa ,\gamma$“。

强耦合条件与 cooperativity

两条损耗通道的判据可以统一成一个无量纲数。单个单光子 cooperativity(single-photon cooperativity)

$$C=\frac{g^2}{\kappa \gamma }$$

的物理读法有三。其一,$C\gg 1$ 等价于 $g\gg \sqrt{\kappa \gamma }$:相干耦合超过两条损耗率的几何平均,交换原语 $\pi /(2g)$ 时间内总损耗概率 $(\kappa +\gamma )\pi /(2g)\ll 1$。其二,坏腔极限 $\kappa \gg g$ 下绝热消去腔,量子比特获得 Purcell 增强衰减 ${\Gamma }_P=4g^2/\kappa$,比值 ${\Gamma }_P/\gamma =4C$ 度量”通过腔说话”是否压倒直接说话——hybrid-acoustic 方案靠逆 Purcell 把这项压低(见 混合声学 QRAM)。其三,好腔极限 $g\gg \kappa$ 下,腔寿命 $1/\kappa$ 内可完成 $g/\kappa$ 次相干交换;数值算例(本词条估算,取典型 3D 腔参数):$g/2\pi =100\mathrm{MHz}$、$\kappa /2\pi =10\mathrm{kHz}$($Q\sim 5\times 10^5$)、$\gamma /2\pi =1.6\mathrm{kHz}$($T_1=100\mu \mathrm{s}$),则

$$C=\frac{(10^8{)}^2}{10^4\times 1.6\times 10^3}=6.3\times 10^8\gg 1,$$

好腔极限下可完成 $g/\kappa =10^4$ 次交换。超导腔 QRAM 的全部硬件赌注就是把这组参数做到”数据住在腔里、辅助比特只打杂”:腔的 $T_1^c$ 比 transmon 高两到三个数量级,而需要活性的非线性全部外包给可以事后测量、可以出错即弃的 transmon。

色散区:从 $g$ 到 $\chi$

门合成用的不是共振交换而是色散相互作用。失谐 $\Delta ={\omega }_q-{\omega }_c$ 且 $|\Delta |\gg g$ 时,二阶微扰给出有效哈密顿量

$$H_{\mathrm{disp}}=({\omega }_c+\chi {\sigma }_z)a^{†}a+\frac{1}{2}({\omega }_q+\chi ){\sigma }_z,\chi =\frac{g^2}{\Delta }$$

(两能级情形;transmon 因非简谐性修为 $\chi \simeq g^2(\frac{1}{\Delta }-\frac{1}{\Delta +\alpha })$,$\alpha$ 为负的非简谐。)读法:腔频率被量子比特态推移 $\pm \chi$,等效于一个受控相移器——这既是最早期 QRAM 相位门(GLM,见下节)的机制,也是 Weiss 等 2024 的 CZ 门参数 $\chi /2\pi =2\mathrm{MHz}$ 的出处:该 $\chi$ 就是 transmon–腔色散牵引,典型量级一至数 MHz。

推导二:GLM 相位门 fanout 的腔实现——条件相移与指数小透过率

GLM 2008 (PRA) 在 fanout 架构下给出一个腔实现(QRAM 早期三实现之一),其失败方式暴露了后来者转向 bucket-brigade 的原因(架构层账目见 fanout 架构)。

条件相移

方案把二叉树实现为 $2^n$ 个腔,每个腔内至多一个光子;$n$ 个地址量子比特扇出到各腔,施加条件相移(conditional phase shift):一个超导量子比特同时耦合两个微波模式(总线模式与地址模式),工作在远离共振的色散区,两模式不交换激发、只由上节 $H_{\mathrm{disp}}$ 给出依赖量子比特取值的相移。单光子经过时长 $t$ 获得相位

$$\phi =\chi t\times \{\begin{array}{ll}+1,& \text{量子比特 }|0⟩\\ -1,& \text{量子比特 }|1⟩\end{array}$$

相移选配后,入射光子只与”被地址索引的那个腔”共振——寻址变成频域选择而非空间交换。

共振窗口与透过率

$2^n$ 个腔共用一个频段,共振窗口必须窄于相邻地址的相移间隔 $\pi /2^n$。GLM 给出腔的 Heisenberg 输入–输出关系:左、右入射场 $a_l,a_r$ 到左、右出射场 $b_l,b_r$ 为

$$b_l=\kappa (\phi )a_l+e^{i\phi }\sigma (\phi )a_r,b_r=\sigma (\phi )a_l+\kappa (\phi )a_r,$$

其中透过与反射系数

$$\sigma (\phi )=\frac{\tau }{1-e^{i\phi }(1-\tau )},\kappa (\phi )=\frac{\sqrt{1-\tau }(e^{i\phi }-1)}{1-e^{i\phi }(1-\tau )},$$

$\tau$ 是左右两个耦合镜的透过率。左入射单光子从右侧穿出的概率为

$$p(\phi )=|\sigma (\phi ){|}^2=\frac{{\tau }^2}{(1-\tau {)}^2-2(1-\tau )\cos \phi +1}=\frac{{\tau }^2}{{\tau }^2+2(1-\tau )(1-\cos \phi )},$$

(末步用 $1-(1-\tau {)}^2=\tau (2-\tau )$ 合并分母。)共振处 $\phi =0$ 得 $p=1$——腔对共振光完全透明;半高全宽由 $p({\phi }_{\mathrm{hw}})=\frac{1}{2}$ 解出:

$$1-\cos {\phi }_{\mathrm{hw}}=\frac{{\tau }^2}{2(1-\tau )}⟹{\phi }_{\mathrm{hw}}=\arccos (1-\frac{{\tau }^2}{2(1-\tau )})\simeq \tau (\tau \ll 1),$$

即窗口宽度约为镜透过率 $\tau$。要分辨 $\pi /2^n$ 的相移间隔,必须

$$\tau \lesssim \frac{\pi }{2^n}\sim 2^{-n}:$$

镜透过率随地址位数指数收缩。这是结构性困难而非工程困难——树里光子(或其寻址信号)要穿过指数多的分支,而频域分辨本领被光学薄度钉死。

损耗敏感性

透过率收窄的同时,腔内驻留时间以 $1/\tau$ 增长:共振峰附近光子在腔内往返 $1/\tau$ 量级次才逸出;若镜存在吸收/散射内耗 $\ell$,峰值透过降为约 $(\frac{\tau }{\tau +\ell }{)}^2$(本词条推导:把分母中 $\tau$ 换成 $\tau +\ell$ 的变迹)。故内耗必须 $\ell \ll 2^{-n}$。数值算例:$n=10$ 时 $\tau \sim 10^{-3}$ 尚属精密光学;$n=20$ 时 $\tau \sim 10^{-6}$、$\ell <10^{-6}$——单镜百万分之一量级损耗,现实腔无法达到。GLM 自己的结论是这类方案”in principle”可行,而 bucket-brigade 正是为绕开这笔指数账而发明:每个节点只被一条路径触碰,寻址走空间路由而非频域分辨(见 bucket-brigade 架构)。

推导三:transmon 路由器——真空 Rabi 劈裂与 ZZ 选择性

超导平台把”由量子态决定流向”落成器件走了两步(相干路由器实验 给实验全景,此处推导机制)。

真空 Rabi 劈裂作量子开关

Wang 等 2021(PRApplied 15, 014049)实现首个超导确定性量子路由器:量子信号编码在弱相干微波脉冲里,路由方向由控制比特的量子态相干决定(纠缠见证验证控制比特与信号路径的纠缠)。该实验的器件级参数本站文献页未收录;下面给这类”态控路由”共同物理的教科书级推导。路由结的最小模型:波导中侧耦合一个谐振器(总衰减 $\kappa$,无内耗),入射单光子失谐 $\delta$ 时经”直通路径”与”谐振器路径”干涉,透射与反射幅为

$$t(\delta )=\frac{i\delta }{i\delta +\kappa /2},r(\delta )=-\frac{\kappa /2}{i\delta +\kappa /2},$$

($|t{|}^2+|r{|}^2=1$ 可直接验证。)共振 $\delta =0$ 处 $t=0$、$r=-1$——全反射,谐振器成为单光子镜;失谐 $|\delta |\gg \kappa$ 处 $|r|\to 0$——直通。路由 = 用控制比特的态选择这两行之一:再引入一个与谐振器强耦合的二能级开关,其杂化把有效共振推离裸谱线——dressed 态图像里,裸共振处面对的是劈裂 $2g$、各带线宽 $(\kappa +\gamma )/2$ 的两条杂化模,只有 $2g>(\kappa +\gamma )/2$(cooperativity 判据)时谱权重才被干净地推开;开关态或由色散牵引 $\pm \chi$(上节 $\chi =g^2/\Delta$)平移共振,或因占据高能级而阻断杂化,于是

$$\text{控制态 }|0⟩:\text{共振}\to \text{反射走 A 口};|1⟩:\text{失谐 }2\chi \to \text{透射走 B 口},$$

对比度条件为结线宽 $\kappa$ 加开关退相干 $\gamma$ 远小于态间频移 $2\chi$——超导电路的 $g$ 大、$2\chi$ 达 MHz 而线宽 MHz 级,恰好可行。控制比特处于叠加态时,输出是通往两口的相干叠加:这就是”确定性”(无后选择、无丢失)与”相干”(方向由叠加幅决定)两个词的物理内容。

Q²-router:c-iSWAP 的 ZZ 选择性

Miao 等 2025 的 Q²-router(arXiv:2503.04295)把信号与地址都做成量子:四个固定频率 transmon——开关 S、输入 I、两个输出 O₁/O₂,输入–开关与输入–输出耦合 $g/2\pi \sim 50\mathrm{MHz}$,关键的输入–开关 ZZ 相互作用 ${\zeta }_{SI}/2\pi =5.4\mathrm{MHz}$。路由协议是两个受控 iSWAP:S 在 $|g⟩$ 时交换 I–O₁,在 $|e⟩$ 时交换 I–O₂。受控性来自边带驱动:对 $|eg⟩\leftrightarrow |gf⟩$ 这类单光子跃迁(输入与输出的失谐差)施加驱动,子空间内哈密顿量 $H=g(|eg⟩⟨gf|+h.c.)$,布居按 ${\sin }^2(gt)$ 转移,全交换(π 脉冲)耗时 $t_{\pi }=\pi /(2g)$。ZZ 相互作用使该边带频率依赖开关态,频差恰为 ${\zeta }_{SI}$:驱动对准”允许态”边带后,“阻断态”通道失谐 $\zeta$、等效进动频率 $\Omega =\sqrt{g^2+{\zeta }^2}$,转移概率

$$P_{\mathrm{off}}(t)=\frac{g^2}{{\Omega }^2}{\sin }^2(\Omega t)\le \frac{g^2}{g^2+{\zeta }^2}.$$

完全消去的校准条件由 $\Omega t_{\pi }=k\pi$ 给出:$t_{\pi }=\pi /(2g)$ 代入得 $\Omega =2kg$($k$ 为整数)——这正是论文的 $\sqrt{g^2+{\zeta }^2}=2ng$ 规则:调驱动幅度使阻断通道在门时刻恰好完成整数个完整进动、布居归零。实验取 $k=2$ 与 $k=1$,对应脉冲 426 ns 与 134 ns。残余泄漏对校准精度的敏感性(本词条推导):驱动幅度偏差使 $\Omega \to \Omega +\delta \Omega$ 时,

$$P_{\mathrm{off}}(t_{\pi })\simeq \frac{1}{4k^2}(\frac{\delta \Omega }{\Omega }k\pi {)}^2=\frac{{\pi }^2}{4}(\frac{\delta \Omega }{\Omega }{)}^2,$$

与 $k$ 无关;1% 的幅度校准误差给出 $\sim 2.5\times 10^{-4}$ 的泄漏,与实测每门 0.3%/0.1% 的阻断泄漏同量级(差额归于退相干与态制备)。门自身由子空间随机化基准(subspace randomized benchmarking)定标:iSWAP 门误差 2.24%(I–O₁)与 1.38%(I–O₂),其中光子损失分别贡献 1.32% 与 0.85%。

推导四:Weiss 双架构的门合成

联合宇称门与 $ZZ(\theta )$

Weiss 等 2024 的 CZ 门合成从联合宇称门(joint-parity gate)出发:

$${\mathsf{JP}}_{ab}=|g⟩⟨g|+\exp (i\pi [{\hat{a}}^{†}\hat{a}+{\hat{b}}^{†}\hat{b}])|f⟩⟨f|,$$

即 transmon 处于 $|g⟩$ 时不动、处于 $|f⟩$ 时对两腔总光子数的宇称施加 $\pi$ 相位($|e⟩$ 留作错误探测:门末测到 $|e⟩$ 即推断衰减、测到 $|f⟩$ 即退相)。实现:先对辅助比特做 Hadamard(在 $|g⟩,|f⟩$ 流形内置备叠加),打开腔 $a$–$b$ 间束分裂器演化 $2\pi /\chi$,再做一次 Hadamard。机制上,色散项使辅助比特的相位按经历的光子数 $\int \chi n_a(t)\mathrm{d}t$ 累积;束分裂器让 $b$ 腔光子轮流驻留 $a$ 腔,把 $n_a(t)$ 换成两腔总宇称的振荡,选取窗口 $2\pi /\chi$ 后,辅助比特累积的恰是宇称相位——内层推导见 Teoh/Tsunoda 的擦除比特方案(该步实现为本词条转述)。两个 JP 夹一个辅助比特转动合成

$${\mathsf{ZZ}}_{ab}(\theta )=e^{i\frac{\pi }{4}{\hat{\sigma }}_y}{\mathsf{JP}}_{ab}{e}^{-i\frac{\theta }{2}{\hat{\sigma }}_x}{\mathsf{JP}}_{ab}{e}^{-i\frac{\pi }{4}{\hat{\sigma }}_y}=\cos \frac{\theta }{2}\hat{1}-i\sin \frac{\theta }{2}{e}^{i\pi ({\hat{a}}^{†}\hat{a}+{\hat{b}}^{†}\hat{b})}{\hat{\sigma }}_z,$$

对 Fock 态的作用为 ${\mathsf{ZZ}}_{ab}(\theta )|n_a{n}_b⟩=e^{-i\frac{\theta }{2}P}|n_a{n}_b⟩$,宇称 $P=\pm 1$ 对应偶/奇。$\theta =\pi /2$ 时再补两个单腔相位旋转,即为计算子空间内的 CZ:

$${\mathsf{CZ}}_{ab}=e^{i\pi /4}{e}^{-i\frac{\pi }{2}({\hat{a}}^{†}\hat{a}+{\hat{b}}^{†}\hat{b})}{\mathsf{ZZ}}_{ab}(\pi /2).$$

时间账:每个 JP 含一段 $2\pi /\chi$ 的束分裂器激活,ZZ 用两个 JP,故

$$t_{CZ}=\frac{4\pi }{\chi }=\frac{4\pi }{2\pi \times 2\mathrm{MHz}}=1\mu \mathrm{s},$$

束分裂器(SWAP)操作只需 50–100 ns,可忽略。这个 $t_{CZ}$ 是下面全部成功率和误差账的时间单位。

相位开关加束分裂器等于 CSWAP

CSWAP 的组装是”相位开关完成或撤销束分裂器”:两腔 $b,c$ 间夹一个 50:50 束分裂器 ${\mathsf{BS}}_{bc}(\pi /2)$,中间放腔 $a$ 控制的 ${\mathsf{CZ}}_{ab}$,

$${\mathsf{C}}_0{\mathsf{SWAP}}_{abc}=e^{i\pi {\hat{b}}^{†}\hat{b}}{\mathsf{BS}}_{bc}(\pi /2){\mathsf{CZ}}_{ab}{\mathsf{BS}}_{bc}(\pi /2),{\mathsf{C}}_1{\mathsf{SWAP}}_{abc}={\mathsf{BS}}_{bc}^{†}(\pi /2){\mathsf{CZ}}_{ab}{\mathsf{BS}}_{bc}(\pi /2),$$

下标指控制取 $|0⟩$/$|1⟩$ 时执行交换。机制:第一次束分裂器把 $b$ 腔的单光子劈成两路相干叠加;CZ 按控制腔状态决定是否给 $b$ 路补上恰当相位;第二次束分裂器再把两路重新干涉——相位对则交换完成(${\mathsf{C}}_1$),相位反则干涉相消、交换被撤销(${\mathsf{C}}_0$ 的额外 $e^{i\pi {\hat{b}}^{†}\hat{b}}$ 修正残余相位)。这把 fanout 相位门(推导二)里”频域分辨”的思路改造成”时域干涉”:不再要求指数窄的共振窗口,只要求相位准确。代价是HOM 效应:若 $b,c$ 同时被占据,束分裂器的 Hong–Ou–Mandel 干涉把布居打出计算子空间——因此全树必须以真空态初始化,且双轨的光子丢失探测只能等查询结束(中途探测会暴露 which-path 信息)。数据拷贝走 Hann 的无多余拷贝方案:总线以 $|+⟩$ 入树,底层施加经典数据控制的 ${\mathsf{C}}_0\mathsf{Z}/{\mathsf{C}}_1\mathsf{Z}$,转移为

$$[|0⟩+|1⟩][\alpha |0⟩+\beta |1⟩]\to \alpha [|0⟩+(-1{)}^{D_i}|1⟩]|0⟩+\beta [|0⟩+(-1{)}^{D_{i+1}}|1⟩]|1⟩,$$

相位对 $|0⟩$ 分支平凡,未访问位置的基矢不被触碰。

GUE:时间对称波包与暗态转移

GUE 架构把条件路由换成飞行光子:数据腔经频率转换束分裂器(强度 $\xi /2\pi =0.95\mathrm{MHz}$)挂在转移谐振器上,再以波导耦合 $\gamma /2\pi =20\mathrm{MHz}$ 接入波导;单向性由腔–波导手性耦合保证。态转移用 pitch-and-catch:发射端整形出时间对称波包 $f(t)=\sqrt{{\gamma }_b(t)}{e}^{-\frac{1}{2}{\int }^t{\gamma }_b}$,接收端以时间反演的 ${\gamma }_c(t)$ 吸收。机制是暗态绝热转移(教科书级推导):波导绝热消去后两腔获得级联等效哈密顿量,单激发子空间的暗本征态

$$|D(t)⟩\propto \sqrt{{\gamma }_c(t)}|1_b⟩-\sqrt{{\gamma }_b(t)}|1_c⟩$$

不衰减;把耦合比 ${\gamma }_c/{\gamma }_b$ 从 $0$ 缓变到 $\infty$,光子从 $b$ 绝热滑向 $c$,非绝热误差 $\sim (\dot{\theta }/\gamma {)}^2$ 与波包形状由 $\xi (t)$ 控制。该架构只需 $ZZ(\pi /2)$ 一种纠缠门,且辅助 transmon 只在态转移前的一枚 CZ 中被激发(成功率的相对优势来源);穿透(passthrough)GUE 对 $10\%$ 衰减率不对称的反射仅 $7.2\times 10^{-6}$,反射按 $(\delta \gamma {)}^2$ 缩放。态转移不保真度:单轨 $3.3\times 10^{-4}$;双轨后选 $4.0\times 10^{-6}$、失败率 $6.1\times 10^{-4}\approx 2\times 3.3\times 10^{-4}$——失败率是单轨不保真度的约两倍,因为每个错误事件要么被判旗标、要么成为未探测错误(本词条验算)。

双轨的二次标度

单轨失真随腔相干时间线性:$1-F\sim {\Gamma }_1^{c}T$,再怎么拉长 $T_1$ 只能线性受益,且存在协议固有下限(单轨态转移对 $T_1^c$ 的扫描在 $10^{-4}$ 处出现平台)。双轨把逻辑态编码为 $|0_L⟩=|10⟩,|1_L⟩=|01⟩$,真空 $|00⟩$ 不再是合法态:一次光子丢失立刻把逻辑态打向可检测的真空旗标,于是未探测错误需要两个独立事件,不保真度按 $(T_1^c{)}^{-2}$ 二次标度(论文图 12 直接展示):

$$1-F_{\mathrm{DR}}^{p.s.}\sim ({\Gamma }_1^{c}T{)}^2\ll {\Gamma }_1^{c}T({\Gamma }_1^{c}T\ll 1).$$

数值上 PS2 给出 $4.0\times 10^{-6}$,恰是单轨 $3.3\times 10^{-4}$ 除以约两个量级的改善——二次标度兑现。

推导五:相干时间与门时间的比值账

腔相干的意义由比值给出。先由 $T_1^c,T_{\varphi }^c$ 合成相干时间:

$$\frac{1}{T_2^c}=\frac{1}{2T_1^c}+\frac{1}{T_{\varphi }^c}=\frac{1}{50\mathrm{ms}}+\frac{1}{106\mathrm{ms}}=0.0294{\mathrm{ms}}^{-1}⟹T_2^c\approx 34\mathrm{ms}.$$

三层比值(本词条核算):单门层面 $T_2^c/t_{CZ}=34\mathrm{ms}/1\mu \mathrm{s}=3.4\times 10^4$,即一次 CZ 期间腔相干演化的相对误差 $\sim t_{CZ}/T_2^c\approx 3\times 10^{-5}$——与后选后 $10^{-5}$(单轨)的残余不保真度同量级,说明后选择把 transmon 一阶错误清场后,剩余预算确实由腔自己兜底。单查询层面 $T_1^c/t_n=25\mathrm{ms}/130\mu \mathrm{s}\approx 190$($n=12$):查询期间活跃路径上 $n+1$ 个携带光子的腔各积累丢失概率 $t_n/T_1^c=5.2\times 10^{-3}$,期望丢失事件 $\approx 0.07$,即约 7% 的查询会因光子丢失被双轨旗标(本词条估算,忽略门执行期间的光子位置细节)。对照 transmon:$T_1\sim 100\mu \mathrm{s}$ 时 $T_1/t_{CZ}\sim 0.1$,per-gate 错误 $10^{-2}$ 量级——这正是论文未后选 CZ 门失真 $10^{-2}$–$10^{-3}$ 的来源,也解释了为什么辅助比特的错误必须靠测量后选、而不是靠它自己的相干性。“微秒门、毫秒腔、百微秒 transmon”的时标分层,是腔 QRAM 误差管理的物理底盘。

误差预算与数值算例

Q²-router 95.3% 的分解

Miao 等 2025 报告 16 个初态的平均路由保真度 95.3%,总误差 4.7%,分解(本词条验算):

来源	量值	定标方法
退相干	$\approx 2.7\%$	以实测 $T_1,T_{\varphi }$ 代入主方程模拟
SPAM	$\approx 1.7\%$	初态 2Q 层析代入理想线路作参考
层析重构残差	$\approx 0.3\%$	$4.7-2.7-1.7$

验算 $2.7+1.7=4.4\approx 4.7$,差额 0.3 个百分点归于三体/两体层析重构误差。进一步用误差放大(顺序施加 $(U_{\mathrm{route}}{U}_{\mathrm{route}}^{\prime }{)}^N{U}_{\mathrm{route}}$,拟合 $\mathcal{F}(N)=A(1-ϵ{)}^{2N+1}$)把门错误与 SPAM 解耦:四配置(CrCi/CrQi/QrCi/QrQi)测得 $1.6\pm 0.9\%$、$2.6\pm 1.3\%$、$2.4\pm 0.9\%$、$3.3\pm 0.4\%$,与纯退相干模拟 $2.0/2.7/2.7/3.2\%$ 逐项吻合——协议达退相干极限,总体 $97.5\pm 0.5\%$。配置排序有直观物理:QrQi(量子地址+量子信号)最差,因为开关与输出全部处于叠加态,任何一比特的退相干都伤相干项;CrCi(双经典)最好。两个 c-iSWAP 门误差之比 $2.24/1.38\approx 1.6$ 与光子损失之比 $1.32/0.85\approx 1.6$ 一致,门时长之比 $426/134\approx 3.2$:退相干部分近似随门时长线性,差异的其余部分是常数级 SPAM(本词条验算)。把 95.3%(即 $\epsilon \approx 4.7\times 10^{-2}$)放进架构账:距 fanout 在 $n=20$ 的要求 $4.8\times 10^{-8}$ 差约六个数量级(fanout 架构),距 bucket-brigade 的 $n=50$ 要求差约四个(bucket-brigade 架构 与 评价指标)。

后选择成功率的验算

成功率公式 $T_{\mathrm{success}}=t_{CZ}{N}_{ts}/P_{\mathrm{no}\mathrm{flag}}$,${\Gamma }_{\mathrm{success}}=1/T_{\mathrm{success}}$,其中 $N_{ts}=12{\log }_{2}N-14$。逐项验算(本词条):

• $n=4$ 单轨:$N_{ts}=12\times 4-14=34$,$P_{\mathrm{no}\mathrm{flag}}=0.71$,则 $T=34\mu \mathrm{s}/0.71=47.9\mu \mathrm{s}$,$\Gamma =20.9\mathrm{kHz}$——与论文一致。
• $n=8$ 双轨(CSWAP):$N_{ts}=82$,$P_{\mathrm{no}\mathrm{flag}}=1.0\times 10^{-6}$,则 $T=82\mu \mathrm{s}/10^{-6}=82\mathrm{s}$,$\Gamma =0.012\mathrm{Hz}$,论文取 0.013 Hz。
• $n=8$ 双轨(GUE):$P_{\mathrm{no}\mathrm{flag}}=2\times 10^{-4}$ 给 $\Gamma \sim 2.4\mathrm{Hz}$,与论文 2.2 Hz 同量级(GUE 实际时序含态转移段,略长于纯 CZ 账)。

反向核旗标率:单轨 $n=4$ 的 $P_{\mathrm{no}\mathrm{flag}}=0.71$ 等价于每时间步旗标概率 $1-0.71^{1/34}\approx 1\%$,恰落在未后选 CZ 门失真 $10^{-2}$ 的档位——后选的成功率账和门保真度账自洽。$n\ge 9$ 时旗标概率趋于 1(双轨更甚,因为它还探测光子丢失):绝大多数查询失败,但成功者保真($n=8$ 双轨 $F>0.8$,$n\le 6$ 可达 $F\ge 0.9$)。论文并提醒这套旗标概率估计偏悲观:树根处门错误毁掉全部查询、树梢处只毁本分支,逐节点平等计零过于保守。不做后选时高保真只存在于 $N=4$:单轨 PS2 旗标率仅 0.05、但未后选不保真度 0.26——小 $N$ 下有限尺寸效应压过 ${\log }^{3}N$ 渐近($n\le 9$ 时 $N_{\mathrm{gates}}<4N_{ts}{\log }_{2}N(1+{\log }_{2}N)$)。

每时间步误差的量级核算

查询不保真度按两能级路由器公式记账(见 两能级路由器 与 噪声韧性 的严格证明 Hann 2021):每时间步误差 $ϵ=1-F_g(\mathsf{CZ})$,量级核算(本词条):transmon 主导项 $\sim t_{CZ}/T_1^{t,ef}$,取 $T_1^{t,ge}=100\mu \mathrm{s}$、$ef$ 通道因玻色增强衰减加倍 $T_1^{t,ef}=50\mu \mathrm{s}$,得 $1\mu \mathrm{s}/50\mu \mathrm{s}=2\times 10^{-2}$——正是不后选 $ϵ\sim 10^{-2}$ 的来源;一阶项全部可被 $|e⟩/|f⟩$ 测量旗标,后选后残余是二阶量(两次未捕获错误、误判、以及腔自身 $\sim 3\times 10^{-5}$ 的相干底噪),落回 $10^{-5}$–$10^{-6}$。需求端:$10^4$–$10^5$ 次查询要把总失真压进 $O(1)$,需 $1-F\lesssim 10^{-4}$–$10^{-5}$——这正是 Weiss 方案把后选双轨推到 $10^{-6}$ 的动机。

定位与局限

该方案贯彻”经典数据不进入量子元件”原则:数据比特只决定执行哪些门,量子元件只承担路由。清醒面:3D 腔厘米级占地,规模化受稀释制冷机空间限制;总线寄存器须逐比特送入;HOM 效应要求双轨以真空态初始化,腔光子丢失只能查询结束后探测;GUE 架构依赖的”3D 腔–波导”耦合方式尚无实验实现(可调耦合在 2D transmon–波导已演示,代价是改用低相干 transmon 作路由器);成功率的指数小与赫兹级通告率使它只适用于容忍 repeat-until-success 的算法(如 HHL 态制备),不适用交错查询场景。与混合声学 Hann 等 2019、声子路由 Wang 等 2025 同属耶鲁–芝加哥超导谱系,三方案分别押注逆 Purcell 保护、短波包提速与”毫秒腔 + 后选 + 双轨”的误差预算结构;全架构层面的实测现状见 bucket-brigade 首次全架构实验,共识性的设计策略见 硬件共识设计策略。

延伸阅读

• 混合声学 QRAM
• 声子路由 QRAM
• 相干路由器实验
• bucket-brigade 首次全架构实验
• 硬件共识设计策略