量子格子玻尔兹曼总览

量子格子玻尔兹曼方法（quantum lattice Boltzmann method, QLBM）是把格子玻尔兹曼方法的分布函数演化搬到量子计算机上的一族算法。它占了量子 CFD 的"天时"：LBM 把流体非线性全部压缩进局域碰撞项、把空间输运留给精确的线性移位——前者正是量子线性代数与 Carleman 嵌入的用武之地，后者天然是幺正算子。自 2020 年前后起，QLBM 已发展成量子 CFD 中文献最密集的单支，谱系可分四大流派。

振幅编码：分布函数装进量子态

经典 LBM 每个格点 $\mathbf{x}$ 存 $Q$ 个分布函数 $f_i(\mathbf{x},t)$（如 D2Q9 的 $Q=9$，见d2q9-lattice），全场共 $QG$ 个实数（$G$ 为格点数）。QLBM 的标准做法是振幅编码：速度寄存器 $|\cdot {⟩}_i$ 编码离散速度标签，位置寄存器 $|\cdot {⟩}_x$ 编码格点坐标，归一化后的分布函数作为振幅Sanavio & Succi 2024 (IntechOpen)：

$$|\psi (t)⟩=\sum _{i=0}^{Q-1}\sum _{\mathbf{x}}{f}_i(\mathbf{x},t)|i⟩|\mathbf{x}⟩,\text{\hspace{1em}(QC001 式 7)}$$

$QG$ 个数只需 $\lceil {\log }_{2}Q\rceil +\lceil {\log }_{2}G\rceil$ 个量子比特——这是 QLBM 全部内存优势的来源，也是全部麻烦的来源：读出这 $QG$ 个振幅需要指数次测量（见io-problem）。

结构性矛盾：流送酉、碰撞非酉

LBM 的两大步在量子上的待遇截然不同（见bgk-mrt-collision）。流送（streaming）只是按速度把振幅搬到邻格：

$$\hat{S}:\sum _i\sum _{\mathbf{x}}{f}_i(\mathbf{x},t)|i⟩|\mathbf{x}⟩\mapsto \sum _i\sum _{\mathbf{x}}{f}_i(\mathbf{x},t)|i⟩|\mathbf{x}+{\mathbf{v}}_i⟩,$$

这是基矢的重标记——一个精确的置换幺正，不含任何浮点运算（QC001 式 8），可直接编译成受控平移线路（见qlbm-streaming-circuit）。碰撞（collision）却是对振幅的非线性、非幺正映射 $f_i\mapsto f_i-\omega (f_i-f_i^{\mathrm{eq}})$：平衡分布 $f_i^{\mathrm{eq}}$ 含 $u^2$ 项，而量子力学禁止对未知态做”复制再相乘”（no-cloning），耗散本身又破坏幺正性。理想中”碰撞算子 $\Omega$ 作用在速度寄存器 + 流送算子 $\hat{S}$ 作用在全部寄存器”的电路（下图上）无法实现，除非满足特殊对称条件——那是 Yepez 型量子格子气的路数，不符合通用量子计算范式Sanavio & Succi 2024 (IntechOpen)。

图:理想 QLBM 电路——碰撞算子 Ω 只作用于速度寄存器,流送 Ŝ 同时作用于速度与位置寄存器;因 Ω 非线性非幺正而不可实现(来源:QC001)

现实的出路是拆开：要么只把流送放量子、碰撞留经典（图下左，无碰撞流送），要么只把碰撞放量子、流送留经典（图下右，无流送碰撞），要么把两者都改造成量子可执行的形式——这三种取舍正好定义了下面的流派。

图:D2Q9 格子上 G 个格点的两种混合方案线路——左为碰撞-free 流送(按 8 个速度依次移位),右为流送-free 碰撞(Carleman 二阶截断,|k⟩ 为截断阶寄存器,|i⟩|j⟩ 为 Carleman 变量的两个速度)(来源:QC001)

四大流派谱系

流派	核心思想	代表工作
Carleman-QLBM	碰撞非线性经 Carleman 嵌入变成高维线性系统，再用线性演化/线性求解算法量子化	Itani & Succi 2021 (arXiv)（收敛性分析）、Sanavio & Succi 2024 (AVS)（显式线路）、QALB 2024 (PoF)、Cheung et al. 2023 (arXiv)
streaming-collision 电路分解	把每一步碰撞/流送直接编译成显式量子门线路，保持 LBM 时空局部结构	Todorova-Steijl 2020（无碰撞 Boltzmann，JCP，未入文献库）、Budinski 2021 (QIP)、Budinski 2022 (IJQI)、Steijl 2023 (Appl. Sci.)、Wawrzyniak et al. 2024 (arXiv)
量子格子气	每格点放少量量子比特，碰撞=幺正散射、流送=粒子交换，天然幺正	Yepez 2002 (arXiv)、Yepez 2002 (JSP)、Love & Boghosian 2005 (QIP)
Schrödinger-Dirac-LBM	反向血缘：LBM 格式本身就能精确离散薛定谔/Dirac 方程，幺正结构免费	Succi & Benzi 1993 (Physica D)、Sanavio & Succi 2026 (arXiv)、Meng & Yang 2023 (PRR)

四支的详细机制分别见carleman-qlbm、budinski-qlbm、quantum-lattice-gas、schrodinger-lbm；二次量子化编码（bosonic-encoding-lbm）与 QALB（qalb）是 Carleman 流派内的两条实现路线。

2025–2026 新进展

• 非线性流体实用化：北大团队提出节点级系综（node-level ensemble）描述，把 LBM 的低维表示与格子气自动机（lattice-gas-automata）的线性碰撞合体，配一个把系综拉回平衡的 H-step，在 $2048^2$ 格点上完成涡对合并与衰减湍流模拟、与 DNS 吻合——迄今 QCFD 最大规模算例Wang et al. 2025 (npj QI)。
• 多时间步：局部 Carleman 线性化让碰撞规则保持局域、单步正确结果概率回升到 $10^{-2}$ 量级，每步复杂度 $O({\log }_2^{2}N+Q^3)$，配动态线路实现多个时间步不重初始化Bastida et al. 2025 (arXiv)。
• 编码与边界：密度矩阵编码经 Kraus 算子实现非幺正操作，首次给出任意几何壁面（半程反弹）与进出口条件的量子实现，验证了后台阶、圆柱绕流Su et al. 2026 (arXiv)。
• 线路结构：rotation-collision 算子用振幅空间中的酉旋转替代 BGK 松弛，从一阶结构上复现松弛动力学，D2Q5/D2Q9 均给出门级线路Zeng et al. 2026 (arXiv)；去噪碰撞算子把碰撞解释为向平衡流形切空间的正交投影，免去逐步 tomographySanavio & Succi 2026 (arXiv)。
• Dirac 方向闭环：Succi-Dellar QLB 格式的每个操作都被写成精确量子门，态矢量模拟器上复现经典解到 $10^{-12}$ 以下Sanavio & Succi 2026 (arXiv)。

批判性坐标

QLBM 的乐观面：碰撞项的非线性强度由马赫数而非雷诺数承载（见chapman-enskog），Cheung 等据此论证低阶 Carleman 即可精确、量子成本对系统规模对数缩放Li et al. 2023 (arXiv)。怀疑面：通用多步碰撞的 Carleman 矩阵既非稀疏也非组合块对角，门数以 $4^n$ 下界增长（见qlbm-circuit-design）；端到端资源核算显示 Carleman-LBM 的容错资源量级达 $10^{21}$–$10^{39}$、随 $R{e}^{2.68}$ 幂律增长，显式时间推进的 CFL 约束抵消指数优势（见quantum-advantage-debate、resource-estimation）；而逐时间步的态制备与读出开销是所有时间推进式 QLBM 的共同软肋Kösel et al. 2026 (arXiv)。

延伸阅读

• lattice-boltzmann
• carleman-qlbm
• budinski-qlbm
• quantum-lattice-gas
• schrodinger-lbm
• qlbm-circuit-design