无碰撞流送线路

流送（streaming）是格子玻尔兹曼演化中最"量子友好"的一半：它把每个分布函数分量沿其离散速度移到邻格，不做任何算术，只是数据搬运。Todorova 与 Steijl 在 2020 年的无碰撞 Boltzmann 量子算法中（J. Comput. Phys. 409, 109347，未入本站文献库）率先把这一步写成显式量子线路，此后成为几乎所有 QLBM 方案的公共构件Sanavio & Succi 2024 (IntechOpen)。

流送算子的直和结构

在振幅编码 $|\psi ⟩={\sum }_i{\sum }_{\mathbf{x}}{f}_i(\mathbf{x},t)|i⟩|\mathbf{x}⟩$ 下，一步流送是

$$\hat{S}=\underset{i=0}{\overset{Q-1}{⨁}}{\hat{S}}_i,{\hat{S}}_i:|\mathbf{x}⟩\mapsto |\mathbf{x}+{\mathbf{v}}_i⟩,$$

即速度寄存器作控制、位置寄存器作目标的受控平移：速度值 $i$ 选出平移量 ${\mathbf{v}}_i$，静止分量 ${\mathbf{v}}_0=0$ 对应恒等（QC001 §V.1）。每个 ${\hat{S}}_i$ 是位置基的置换，$\hat{S}$ 整体是精确幺正——经典 LBM”流送无浮点运算”的优点在量子上升级为”流送无近似误差”。

对 D2Q9：8 个移动方向的 ${\hat{S}}_i$ 按速度寄存器取值依次激活。由于 D2Q9 的对角速度是轴向速度之和（${\mathbf{c}}_5={\mathbf{c}}_1+{\mathbf{c}}_2$ 等），对角方向的平移可分解为两次轴向平移的复合 ${\hat{S}}_5={\hat{S}}_1{\hat{S}}_2$，无需单独设计Sanavio & Succi 2024 (AVS)。

多比特受控 increment 门实现

位置寄存器以二进制存坐标：$8\times 8$ 格子上，$x$ 坐标 3 比特、$y$ 坐标 3 比特。向右平移一格即对 $x$ 子寄存器做”+1（mod 8）“——普通的二进制 ripple-carry increment；受速度寄存器控制后，每个进位门变为多比特受控门。Sanavio-Succi 综述复现的线路如下Sanavio & Succi 2024 (IntechOpen)：

图:8×8 格子上 D2Q9 流送算子 S₁(右移)与 S₂(上移)的量子线路——前 3 比特编码 x 坐标、后 3 比特编码 y 坐标,仅当速度寄存器取值 1 或 2 时激活(来源:QC001)

要点有三：其一，increment 的门数随位置比特数线性增长，故 ${\hat{S}}_i$ 深度 $O(\log G)$——对格点总数对数，这是流送”免费”拿到的量子缩放；其二，模 $2^n$ 的进位自然实现周期边界，其他边界需在移位外附加处理（见qlbm-circuit-design）；其三，Budinski 在其 QLBM 中用同一思想构造了左移/右移算子 L/R，把流送写成量子行走式的受控移位Budinski 2021 (QIP)（详见budinski-qlbm）。Dirac 方向的 QLB 格式同样把流送编译成受控 increment，并给出反弹边界的”折叠-移位-展开”幺正线路Sanavio & Succi 2026 (arXiv)。

Steijl 的多维非线性格子模型

Steijl 把流送式框架推广到多维、含非线性平衡分布的格子模型Steijl 2023 (Appl. Sci.)。其路线与振幅编码不同：数据按量子计算基编码（basis encoding）存成量子浮点数（尾数 $N_M=4$、指数 $N_E=3$ 比特），碰撞步的平衡分布 $f_i^{\mathrm{eq}}$——含 $u^2$、$u^2+v^2$ 等非线性项——用量子浮点算术（Cuccaro 进位加法器、移位-累加平方器）逐项算出。下图为修正 D1Q3 模型中计算 ${\mathbf{g}}^{\mathrm{eq}}$ 的电路设计：

图:修正 D1Q3 模型计算平衡分布 g^eq 的量子电路(量子浮点:4 尾数比特+3 指数比特)——基于 Cuccaro 加法器的模件化设计(来源:QC048)

该工作的动机是让多个时间步在量子处理器上连贯执行、把量子-经典数据交换压到最小：基于所选编码，作者估计所需比特在 $O(100)$ 量级（转译前），条件是远超 NISQ 的容错能力。同一系列还包含无碰撞 D1Q3 线路的仿真验证（Moawad 等，经 QC048 引述）。后续 Wawrzyniak 等的幺正重构与动态线路方案沿用了”减少每步测量-重初始化”这一主线Wawrzyniak et al. 2024 (arXiv)、Wawrzyniak et al. 2025 (arXiv)。

“碰撞留给谁”

无碰撞流送的物理是自由输运（碰撞-less Boltzmann 方程），对真实流体远远不够——Zeng 等在评述中指出这类”避开碰撞项”的做法从根本上限缩了物理适用范围Zeng et al. 2026 (arXiv)。于是流送线路越完美，“碰撞留给谁”的问题越突出，历史上出现三种答案：

1. 留给经典机：流送量子、碰撞经典的混合流水线。看似划算——经典流送只是内存移位——但量子-经典间的数据搬运绝不免费，且经典机上碰撞本身就占掉相当比例的运行时间Sanavio & Succi 2024 (IntechOpen)（另见hybrid-quantum-classical）。
2. 留给线性化：碰撞经 Carleman 嵌入后与流送拼成全量子算法，代价是变量数与线路深度爆炸（见carleman-qlbm、carleman-convergence-analysis）。
3. 改写碰撞：用酉旋转、投影、系综线性碰撞等结构替代 BGK 松弛（见qlbm-circuit-design）。

另有一条变体：Schalkers 与 Möller 用量子傅里叶变换在谱空间实现流送并处理镜面反射边界（经Kösel et al. 2026 (arXiv)引述），说明”移位线路”并非唯一实现。

延伸阅读

• quantum-lbm-overview
• budinski-qlbm
• carleman-qlbm
• qlbm-circuit-design
• lattice-boltzmann