Budinski 量子 LBM

Ljubomir Budinski（斯洛伐克科学院）在 2021–2022 年给出量子格子玻尔兹曼方法的第一批"全流程"显式门线路：先把一维/二维对流扩散方程的 LBM（D1Q2/D2Q5 格子）完整搬上 QiskitBudinski 2021 (QIP)，再把框架扩展到涡量-流函数形式的 Navier-Stokes 方程Budinski 2022 (IJQI)。虽然物理对象限于线性问题与单时间步，这套工作把"编码-碰撞-流送-求宏观量"四段式结构确立为 QLBM 的标准模板。

对流扩散：四段式线路

对对流扩散方程，Budinski 取 LBM 格子为D1Q2（一维，两速度 $e_1=-e_2=\Delta x/\Delta t$）与 D2Q5（二维，四速度加静止粒子）——平衡分布只带零阶与一阶矩，碰撞完全线性Budinski 2021 (QIP)。

编码：把 $2M$ 个分量（$M$ 格点 × 2 分布）的向量 $\Phi$ 归一化后振幅编码进 ${\log }_2(2M)$ 比特的 $q$ 寄存器，外加 1 比特辅助 $a$：

$$|{\psi }_0⟩=|0{⟩}_a\sum _{i=0}^{2M-1}{\varphi }_i/\Vert \varphi \Vert |i{⟩}_q,$$

初态用 Shende 等的逆迭代程序制备（一次性开销，CNOT 数 $\sim 2\times 4^n$，见state-preparation）。

碰撞：取松弛参数 $\omega =1$（一步全松弛），碰撞退化为乘块对角矩阵 $A$（两个 $M\times M$ 对角块）。$A$ 非幺正，Budinski 用线性组合 of 幺正（LCU）实现：把 $A$ 分解为两个幺正对角算子

$$C_1=A+i\sqrt{I-A^2},C_2=A-i\sqrt{I-A^2},A=\frac{1}{2}(C_1+C_2),$$

在 $a$ 上做 Hadamard 叠加后按 $a$ 的取值受控执行 $C_1$ 或 $C_2$——对角幺正又可拆成一串 $R_z$ 相位门，门数不随格点数增长Budinski 2021 (QIP)。这是非幺正碰撞最早的通用处理法之一（Mezzacapo 式两幺正加权和的直系后代，见bosonic-encoding-lbm）。

流送：右移/左移矩阵 $P_r$、$P_l$ 实现为量子行走式算子 R/L，以分布函数标签比特为控制——与无碰撞流送线路同构。

宏观量：$\varphi ={\sum }_{\alpha }{f}_{\alpha }$ 是子态的逐点相加。用 SWAP 把要相加的两个子态对齐到同一控制分支，再对辅助比特做 Hadamard，后选择 $|0{⟩}_a$ 分支并按因子 $2\Vert \varphi \Vert /\sqrt{2}$ 重归一化——这个后选择-重缩放正是非幺正性的代价：真机上须经态层析才能恢复该后选择态。

图:D1Q2 对流扩散 QLBM 的完整量子线路——编码、碰撞(LCU)、传播(受控移位 R/L)与宏观量计算(SWAP+Hadamard 后选择)(来源:QC046)

验证：64 格点一维高斯山（7+1 比特）与 $16\times 16$ 二维高斯山（11+1 比特），量子解与解析解、FORTRAN 经典 LBM 解吻合（偏差主要来自网格分辨率而非量子算法）。复杂度（不含编码）$O({\log }_2(\alpha D))$，$\alpha$ 为分布函数个数、$D$ 为其总数——对格点数对数Budinski 2021 (QIP)。

涡量-流函数 Navier-Stokes

第二步工作把对象换成涡量-流函数形式的二维 NS：两组分布函数 $f_{\alpha }$（演化涡量 $\omega$）、$g_{\alpha }$（演化流函数 $\psi$，带源项 $\Delta t{w}_{\alpha }S$），五段式流程——初始化、碰撞、传播、边界条件、宏观量计算——每段都给出 Qiskit 门级实现Budinski 2022 (IJQI)。

图:D2Q5 涡量-流函数 NS 的 QLBM 总线路,含碰撞、传播、边界条件与宏观量计算各段(来源:QC047)

技术要点：源项加入用”识别-移位-Hadamard 加法”（多受控 X 定位子态、CNOT 组移位、Hadamard 完成叠加）；壁面边界把边界线上的 $\omega$、$\psi$ 置零并实施 ${\omega }_b$ 与内点 $\psi$ 的逐点组合，置零用的对角矩阵 $C_b$ 同样经 LCU 酉化。验证算例是 $16\times 16$ 顶盖驱动方腔（见classical-benchmarks）：500 步达稳态，涡量等值线与 FORTRAN 解完全一致Budinski 2022 (IJQI)。

非线性代价与混合分工

平衡分布的 $u^2$ 项在量子上无法直接求（no-cloning），Budinski 的处理暴露了这一路线的真实成本结构：

• 每个时间步结束必须测量+重初始化——且因非线性项须对量子态做完整 tomography 才能重算下一步的平衡分布（QC047 §3 明言）；
• 速度分量 $u,v$ 在经典机上由宏观量反算（Eq. 3），量子只承担线性演化的算术——典型的混合分工（见hybrid-quantum-classical）；
• 后续评述指出：该系列的单步深度优势被 $O(N)$ 的态制备与测量深度抵消，不构成算法层面的净优势Bastida et al. 2025 (arXiv)。

Wawrzyniak 等正是针对”每步测量”这一痛点提出幺正重构（$\sqrt{f}$ 编码 + 测量天然平方）与动态线路方案Wawrzyniak et al. 2024 (arXiv)、Wawrzyniak et al. 2025 (arXiv)（见qlbm-circuit-design）。

延伸阅读

• quantum-lbm-overview
• qlbm-streaming-circuit
• qlbm-circuit-design
• advection-diffusion-equation
• vorticity-streamfunction-formulation
• quantum-vorticity-streamfunction