D2Q9 格子

D2Q9（2 维、9 个离散速度）是格子玻尔兹曼方法在二维的标准格子，由 Qian-d’Humières-Lallemand 于 1992 年与 DnQm 系统一并确立。它的九个速度、九个权重和 $c_s^2=1/3$ 的格子声速，几乎出现在每一篇 LBM 论文——包括全部量子 LBM 提案——的公式表里。

图:二维九速度格子 {w_α, ξ_α: α=0..8} 的结构,格子声速 c_s²=1/3(来源:QC067)

速度集与权重

以格子单位（$\Delta x=\Delta t=1$），九个速度为

$i$	${\mathbf{c}}_i$	权重 $w_i$
0	$(0,0)$	$4/9$
1–4	$(\pm 1,0),(0,\pm 1)$	$1/9$
5–8	$(\pm 1,\pm 1)$	$1/36$

格子声速 $c_s^2=1/3$。

权重从哪里来：矩各向同性

权重要同时满足归一化与直至四阶的各向同性矩条件：

$$\sum _i{w}_i=1,\sum _i{w}_i{c}_{i\alpha }=0,\sum _i{w}_i{c}_{i\alpha }{c}_{i\beta }=c_s^2{\delta }_{\alpha \beta },$$ $$\sum _i{w}_i{c}_{i\alpha }{c}_{i\beta }{c}_{i\gamma }=0,\sum _i{w}_i{c}_{i\alpha }{c}_{i\beta }{c}_{i\gamma }{c}_{i\delta }=c_s^4\left({\delta }_{\alpha \beta }{\delta }_{\gamma \delta }+{\delta }_{\alpha \gamma }{\delta }_{\beta \delta }+{\delta }_{\alpha \delta }{\delta }_{\beta \gamma }\right).$$

验证 $x$ 方向二阶矩：$\sum w_i{c}_{ix}^2=2\times \frac{1}{9}+4\times \frac{1}{36}=\frac{2}{9}+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}=c_s^2$。✓

这些条件不是拼凑而是 Gauss-Hermite 求积的观点：平衡分布向速度空间的 Hermite 基投影到三阶（恢复等温 NS 所需），D2Q9 正是二维上恰好能精确积分这些多项式的最小对称求积组之一。这也解释了为何必须带对角速度——只用四邻域（D2Q5 型）凑不出四阶各向同性张量。

矩恢复

宏观密度与动量是零阶与一阶速度矩：

$$\rho =\sum _{i=0}^8{f}_i,\rho \mathbf{u}=\sum _{i=0}^8{\mathbf{c}}_i{f}_i.$$

配合二阶平衡矩 ${\Pi }_{\alpha \beta }^{\mathrm{eq}}={\sum }_i{w}_i{c}_{i\alpha }{c}_{i\beta }{f}_i^{\mathrm{eq}}\approx \rho u_{\alpha }{u}_{\beta }+\rho c_s^2{\delta }_{\alpha \beta }$（达 $O(M{a}^2)$），恰好覆盖不可压 NS 需要的矩层级——这是 Chapman-Enskog 恢复宏观方程的入口（见 chapman-enskog）。

DnQm 家族对照

格子	速度数	$c_s^2$	权重（非静止）	典型用途
D1Q3	3	$1/3$	$1/6$（两个）	一维教学与 Burgers 型问题
D2Q9	9	$1/3$	$1/9$、$1/36$	二维主力
D3Q15	15	$1/3$	$1/9$、$1/72$	三维省内存
D3Q19	19	$1/3$	$1/18$（轴向 6）、$1/36$（面对角 12）	三维主力
D3Q27	27	$1/3$	张量积 $w_x^{(1)}{w}_y^{(1)}{w}_z^{(1)}$	三维高精度/非标准格式

图:LB 常用格子网格——(a) 二维九速度 (i=0..8)、(b) 三维格子结构(来源:QC068)

选择规则：恢复等温 NS 需要到三阶 Hermite 求积精确，D2Q9/D3Q15/D3Q19 都满足；热流动（能量方程）需要更多矩，倾向 D3Q27 或双分布格式；对角速度集让流送只需访问最近邻，维持并行效率（见 lattice-boltzmann）。

在量子 LBM 中的角色

D2Q9 是量子 LBM 提案的默认舞台：振幅编码下每个格点的九个分布函数分量连同位置索引一起编码进量子态；流送对应九个方向的选择性平移算子（Todorova-Steijl 的多比特受控 increment 线路即按 D2Q9 设计，见 qlbm-streaming-circuit）；Budinski 的对流扩散与涡量-流函数方案（见 budinski-qlbm）、Carleman-LBM 的变量编码（见 carleman-qlbm）也都在 D2Q9 上给出资源估计。

延伸阅读

• lattice-boltzmann
• bgk-mrt-collision
• chapman-enskog
• qlbm-streaming-circuit
• budinski-qlbm