Carleman-LBM｜量子计算流体力学知识库

Carleman-LBM 是量子格子玻尔兹曼中最成体系的一支：把 BGK 碰撞项固有的二次非线性经 Carleman 嵌入（见carleman-linearization）提升为高维线性系统，再用振幅编码与量子线性演化处理。理论奠基是 Itani-Succi 的经典收敛性分析Itani & Succi 2021 (arXiv)；Sanavio-Succi 给出显式量子线路Sanavio & Succi 2024 (AVS)；Cheung 等以"马赫数而非雷诺数控制非线性"论证其潜在量子优势Li et al. 2023 (arXiv)。它的吸引力与麻烦同源：线性化精确、代价是变量数随截断阶组合爆炸。

从二次碰撞项到 Carleman 层级

以最简的 D1Q3（见d2q9-lattice）演示推导链条。BGK 碰撞（见bgk-mrt-collision）为

f_{i}^{*} = f_{i} - ω (f_{i} - f_{i}^{eq}), f_{i}^{eq} = w_{i} (ρ + \frac{c _{i} ρ u}{c _{s}^{2}}) （线性部分） + w_{i} \frac{c _{i}^{2} ρ u ^{2}}{2 c _{s}^{4}} （二次部分） .

宏观速度是一阶矩： $ρ u = \sum_{j} c_{j} f_{j}$ （D1Q3 中 $ρ u = f_{1} - f_{3}$ ）。代入后 $u^{2} = (f_{1} - f_{3})^{2} / ρ^{2}$ ，在近不可压（ $ρ \approx ρ_{0}$ ）近似下，碰撞成为 $f_{i}$ 的二次多项式Itani & Succi 2021 (arXiv)：

f_{i}^{*} = A_{ij} f_{j} + B_{ij k} f_{j} f_{k},

其中 $A = (1 - ω) δ + ω L$ 吸收线性平衡项， $B$ 携带 $u^{2}$ 型非线性（Sanavio-Succi 的 D2Q9 推广还含三次项 $C_{ij k l} f_{j} f_{k} f_{l}$ ，QC041 式 (14)–(15)）。

Carleman 嵌入的想法：把二次项的乘积升格为新变量。令 $g_{ij} (x) = f_{i} (x) f_{j} (x)$ ，则

g_{ij}^{*} = f_{i}^{*} f_{j}^{*} = A_{ik} A_{j l} f_{k} f_{l} + A_{ik} B_{j l m} f_{k} f_{l} f_{m} + B_{ik m} B_{j l n} h_{ij mn} 再升格 f_{k} f_{m} f_{l} f_{n},

每阶变量只依赖本阶与更高一阶——截断到 $O_{c}$ 阶（丢弃 $f$ 的 $O_{c} + 1$ 次幂）后得到有限维线性系统 $V^{*} = C V$ ，其中 $V = (f, g, h, \dots)$ 。变量数的组合上界为（QC039 式 16）

N = (Q + 1 O _{c} + Q),

$Q$ 为离散速度数——D1Q3 二阶 9 个变量，D2Q9 二阶约 $9 \times 1 0^{7}$ 、三阶约 $8 \times 1 0^{11}$ （32×32 格点）Sanavio & Succi 2024 (AVS)。经典上不可行，振幅编码后却只要 27（二阶）/40（三阶）个量子比特。

砍掉高阶变量有两种方案（QC041）：截断（truncation，直接丢弃）与闭合（closure，把 $d$ 个函数的乘积近似为 $d - 1$ 个的乘积乘 LBM 权重，等价用平衡稳态值替代被去掉的函数——二阶闭合把碰撞系数修正为 $\frac{5}{6} B_{ij k}$ ）。

量子嵌入与线路

编码上（QC041 式 (29)–(31)）：一阶分量 $f$ 用速度寄存器 $v_{1}$ （ $⌈ lo g_{2} Q ⌉$ 比特）+ 位置寄存器 $p_{1}$ 振幅编码；二阶分量 $g_{ij}$ 需要两套速度+位置寄存器（ $v_{1} p_{1} \otimes v_{2} p_{2}$ ）；再加一个截断阶寄存器 $τ$ 把各阶拼成 Carleman 向量。多积变量需要 $2 (k + 1)$ 个附加寄存器：1 个编码非线性阶数至 $k$ 阶、 $2 k$ 个编码多积函数的位置与速度Sanavio & Succi 2024 (IntechOpen)。

流送推广为 multi-streaming（QC041 式 (33)–(37)）： $f$ 分量按速度受控移位 $\hat{S}_{i}$ ； $g_{ij}$ 分量做双受控的张量积 $\hat{S}_{i} \otimes \hat{S}_{j}$ ——两个速度寄存器分别控制两套位置寄存器。

碰撞算子 $C$ 非幺正，用 ancilla + LCU：写成 $C = U_{a} + γ U_{b}$ ， $R_{y}$ 旋转角 $Γ = arccos γ / (γ + 1)$ ，测得 ancilla=0 即成功，成功概率 $p_{0} \leq 4 γ / (γ + 1)^{2}$ （QC041 式 (38)–(39)）。由于碰撞是朝局域平衡的收缩（本征值实正），失败概率可控：

Carleman 碰撞步线路:LCU 碰撞后接流送算子 — 图:Carleman-LBM 碰撞步线路——ancilla 上 LCU 实现非幺正碰撞,测得 0 后接流送算子 S(来源:QC041)

收敛证据：Re 与 Ma 的分工

经典数值上，二阶截断的 Carleman-LBM 在 Kolmogorov 型流（32×32）上对 $R e ≲ 100$ 给出 $\sim 1 0^{- 3}$ 级精度Sanavio & Succi 2024 (AVS)：

二阶 Carleman 解的偏差随时间与雷诺数的变化 — 图:二阶 Carleman 截断解与原始 LB 解的偏差——(a) Re~10 Kolmogorov 流随时间的偏差 ϵ;(b) 平均偏差 ⟨ϵ⟩ 随雷诺数变化(来源:QC001)

更深的结构性理由由 Cheung 等点破：NS 的非线性由 $R e$ 表征，而 LBE 的碰撞非线性由 $M a^{2} = ∣ u ∣^{2} / c_{s}^{2}$ 表征——近不可压流动可以 $R e$ 很高而 $M a ≪ 1$ （大气流动 $M a ≲ 1 0^{- 2}$ ），此时低阶 Carleman 就够准。他们在 Taylor-Green 涡上验证三阶截断（Carleman 变量数 $N = O (n^{3} Q^{3})$ ， $n$ 为格点数），并用 Berry 等的线性 ODE 量子算法论证求解成本对系统规模对数缩放，提出”potential quantum advantage”Li et al. 2023 (arXiv)——同时明确警告输出问题：读出全场需 tomography，端到端优势只能指望边界通量类标量期望值。姊妹变体 Carleman-Grad（Sanavio et al. 2024 (arXiv)）用 Grad 矩层次代替部分 Carleman 变量，2D 原生变量从 18 减到 10、矩阵局域化，收敛介于 CLB 与 Carleman-NS 之间。收敛性的系统分析见carleman-convergence-analysis。

深度灾难与 2025 后的出路

通用（多步、全格点）Carleman 碰撞矩阵既非稀疏也非组合块对角，也无法写成紧凑 Pauli 组合——门数按理论下界 $4^{n}$ 增长，总量 $O (N^{4} Q^{4})$ ，32×32 D2Q9 约 $1 0^{16}$ 个双比特门Sanavio & Succi 2024 (AVS)。单时间步方案（去掉 $p_{2}$ 、利用 $g_{ij} = g_{j i}$ 对称性只留 54 个变量）可压到 6 个量子比特、与格点数无关的固定深度（Qiskit 分解约 $4^{7} \approx 1.6 \times 1 0^{4}$ 双比特门）——“今天不可行、近中期有望”。

2025 年后的三条出路：

矩阵访问预言机（QROM）：Sanavio-Simon-Ralli-Love 把碰撞矩阵装进 QROM 预言机，消除非局域性问题，但单步正确结果概率降到 $1 0^{- 5}$ 量级（PoF 2025，未入文献库；经Bastida et al. 2025 (arXiv)转述）。
局部 Carleman：Bastida-Budinski-Lahtinen-Sagaut 改进编码使碰撞规则保持局域，正确概率回升到 $1 0^{- 2}$ 量级，每步 $O (lo g_{2}^{2} N + Q^{3})$ 、恒定比特数（动态线路），支持多时间步不重初始化Bastida et al. 2025 (arXiv)。
绕开 Carleman 的线性碰撞：Wang 等的节点级系综把 LBM 低维表示与格子气线性碰撞合并，加 H-step 维持平衡，在 $204 8^{2}$ 格点上完成涡对合并（ $R e = 350$ ）与衰减湍流（ $R e = 51$ ），与 DNS 高度吻合——迄今 QCFD 最大规模Wang et al. 2025 (npj QI)：

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