Chapman-Enskog 展开

Chapman-Enskog 展开（Chapman 1916、Enskog 1917）是连接 Boltzmann 方程与流体力学方程的桥：把分布函数按小参数（Knudsen 数）展开成逐阶的流体力学方程组——零阶是 Euler 方程，一阶是 Navier-Stokes 方程。对格子 Boltzmann 方法，它是"合法性证明"：证明 LBE 在长波低频极限下确实在解 NS，并顺带给出输运系数公式。

多尺度框架

引入小参数 $\epsilon \sim Kn$（格子尺度与宏观尺度之比），把时间与空间导数分层：

$${\partial }_t=\epsilon {\partial }_{t_0}+{\epsilon }^2{\partial }_{t_1},\nabla =\epsilon {\nabla }_1,$$

${\partial }_{t_0}$ 是对流（快）时间、${\partial }_{t_1}$ 是扩散（慢）时间。分布函数同步展开：

$$f_i=f_i^{\mathrm{eq}}+\epsilon f_i^{(1)}+{\epsilon }^2{f}_i^{(2)}+\cdots .$$

把 LBE（碰撞用 BGK，见 bgk-mrt-collision）平移到 $(\mathbf{x},t)$ 处泰勒展开：

$${\partial }_t{f}_i+{\mathbf{c}}_i\cdot \nabla f_i+\frac{\Delta t}{2}{\left({\partial }_t+{\mathbf{c}}_i\cdot \nabla \right)}^2{f}_i=-\frac{1}{\tau \Delta t}\left(f_i-f_i^{\mathrm{eq}}\right)+O(\Delta t^2),$$

其中二阶导数项由流送的时空偏移产生——它是 $\nu$ 公式中那个 $-\frac{1}{2}$ 的来源。

逐阶方程

代入多尺度展开、按 $\epsilon$ 幂次收集：

${\epsilon }^1$ 阶（对流尺度）：

$$\left({\partial }_{t_0}+{\mathbf{c}}_i\cdot {\nabla }_1\right)f_i^{\mathrm{eq}}=-\frac{1}{\tau \Delta t}{f}_i^{(1)}⟹f_i^{(1)}=-\tau \Delta t{D}_i{f}_i^{\mathrm{eq}},D_i:={\partial }_{t_0}+{\mathbf{c}}_i\cdot {\nabla }_1.$$

${\epsilon }^2$ 阶（扩散尺度，并入二阶导数项）：

$$\left({\partial }_{t_0}+{\mathbf{c}}_i\cdot {\nabla }_1\right)f_i^{(1)}+{\partial }_{t_1}{f}_i^{\mathrm{eq}}+\frac{\Delta t}{2}{\left({\partial }_{t_0}+{\mathbf{c}}_i\cdot {\nabla }_1\right)}^2{f}_i^{\mathrm{eq}}=-\frac{1}{\tau \Delta t}{f}_i^{(2)}.$$

利用 $f_i^{(1)}$ 的表达式消去平方项中的重复结构，并取各阶矩（用 d2q9-lattice 的矩条件）：

• 零阶矩（${\sum }_i$）：两阶合并给出连续性方程

$${\partial }_t\rho +\nabla \cdot (\rho \mathbf{u})=0;$$

• 一阶矩（${\sum }_i{\mathbf{c}}_i$）：非平衡通量 ${\sum }_i{\mathbf{c}}_i{\mathbf{c}}_i{f}_i^{(1)}$ 由 $f^{(1)}$ 表达式与平衡态的矩恒等式（Euler 级相消）化为

$$\sum _i{c}_{i\alpha }{c}_{i\beta }{f}_i^{(1)}=-\tau \Delta t\rho c_s^2\left({\partial }_{\alpha }{u}_{\beta }+{\partial }_{\beta }{u}_{\alpha }\right),$$

代入后得到动量方程

$${\partial }_t(\rho \mathbf{u})+\nabla \cdot (\rho \mathbf{u}\mathbf{u})=-\nabla (\rho c_s^2)+\nabla \cdot \left[2\rho \nu \mathbf{S}\right],\boxed{\nu =c_s^2\left(\tau -\frac{1}{2}\right)\Delta t}$$

这正是等温 Navier-Stokes 方程，状态方程 $p=\rho c_s^2$。粘度公式与 bgk-mrt-collision 的矩松弛论证一致；高阶修正给出三阶粘性与压缩性误差 $O(M{a}^3)$。完整的逐步推导见教科书级综述Benzi et al. 1992 (Phys. Rep.)与方法学综述Dzanic et al. 2026 (JNNFM)。

为什么 LBM 的非线性由 Ma 而非 Re 控制

这是本词条对量子 CFD 最重要的结论。看平衡态（以 D2Q9）：

$$f_i^{\mathrm{eq}}=w_i\rho \left[1+\frac{{\mathbf{c}}_i\cdot \mathbf{u}}{c_s^2}+\frac{({\mathbf{c}}_i\cdot \mathbf{u}{)}^2}{2c_s^4}-\frac{u^2}{2c_s^2}\right].$$

非线性项 $({\mathbf{c}}_i\cdot \mathbf{u}{)}^2/2c_s^4\sim M{a}^2$。$\tau$（从而 $\nu$、从而 $Re$）只进入线性的碰撞松弛速率，不进入非线性强度。对比 NS 有限差分离散：对流项 $\mathbf{u}\cdot \nabla \mathbf{u}$ 的非线性系数是 1，固定 $Re$ 无从弱化。LBM 则允许”降 $Ma$ 保 $Re$“——重标定速度或格子声速，非线性任意弱而粘度不变。

对 Carleman 线性化（见 carleman-linearization）这意味着嵌入维度与截断阶数由 $Ma$ 而非 $Re$ 决定：Sanavio-Succi 的 Carleman-LBM 在二阶截断下对 $Re\le 100$ 收敛Sanavio & Succi 2024 (IntechOpen)，收敛性分析见 carleman-convergence-analysis 与 carleman-qlbm。

局限

CE 展开的有效区是长波低频（$Kn\to 0$）：格子尺度上它不保证任何东西，梯度驱动的不稳定性（低 $\tau$）与高 $Ma$ 误差都在展开域之外；边界的 Chapman-Enskog 行为还需单独的边界层分析。这些正是 bgk-mrt-collision 稳定性与边界处理研究要兜底的部分。

延伸阅读

• lattice-boltzmann
• bgk-mrt-collision
• d2q9-lattice
• carleman-linearization
• carleman-qlbm