对流扩散方程

对流扩散方程 ${\partial }_t\varphi +\mathbf{u}\cdot \nabla \varphi =D{\nabla }^2\varphi$ 把”平移”与”涂抹”两种最简单的输运叠加在一个标量上，是数值方法的永恒试金石：任何 CFD 格式（或量子算法）的稳定性、精度、数值耗散，都可以在它身上看清。Budinski 的对流扩散量子 LBM 是量子流体算法首次实现多次时间步无测量的范例Budinski 2021 (QIP)。

模型方程与 Peclet 数

以一维常系数版为模型（$\mathbf{u}\to U$ 常数）：

$$\frac{\partial \varphi }{\partial t}+U\frac{\partial \varphi }{\partial x}=D\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}.$$

取特征长度 $L$（与速度 $U$）无量纲化（$x=L{x}^{\ast }$、$t=(L/U)t^{\ast }$）：

$$\frac{\partial \varphi }{\partial t^{\ast }}+\frac{\partial \varphi }{\partial x^{\ast }}=\frac{1}{Pe}\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^{\ast 2}},Pe=\frac{UL}{D}.$$

Peclet 数 $Pe$ 是对流与扩散输运强度之比（分子/分母恰是 Navier-Stokes 里 $Re$ 的角色对调给标量输运：把 $\nu$ 换成 $D$）。$Pe\gg 1$ 时方程近双曲（对流主导、出现薄边界层），$Pe\ll 1$ 时近抛物（扩散抹平一切）。

解析解：移动的 Gauss 脉冲

无限域初值 $\varphi (x,0)={\varphi }_0\delta (x)$（或窄脉冲）时，换到随流域 $\xi =x-Ut$，方程化为纯扩散方程，解为

$$\varphi (x,t)=\frac{{\varphi }_0}{\sqrt{4\pi Dt}}\exp \left[-\frac{(x-Ut{)}^2}{4Dt}\right],$$

即方差按 ${\sigma }^2=2Dt$ 增宽的 Gauss 峰以速度 $U$ 平移——“平移 + 涂抹”的字面写照。任何数值格式的误差都可以拿这个解当尺子。

数值扩散：一阶迎风的代价

以显式迎风格式离散（$C=U\Delta t/h$ 为 CFL 数）：

$${\varphi }_i^{n+1}={\varphi }_i^n-C\left({\varphi }_i^n-{\varphi }_{i-1}^n\right)+\frac{D\Delta t}{h^2}\left({\varphi }_{i+1}^n-2{\varphi }_i^n+{\varphi }_{i-1}^n\right).$$

做 Taylor 展开（把 ${\varphi }^{n+1}$ 与 ${\varphi }_{i\pm 1}^n$ 都在 $(i,n)$ 处展开）收集 $O(h)$ 项：

$${\partial }_t\varphi +U{\partial }_x\varphi =\left(D+\frac{Uh}{2}(1-C)\right){\partial }_x^2\varphi +O(h^2).$$

迎风的数值扩散（人工粘性）${\nu }_{\text{num}}=\frac{Uh}{2}(1-C)$：即使物理 $D=0$，格式也在涂抹。中心差分无 $O(h)$ 扩散但高 $Pe$ 时振荡；实用准则以网格 Peclet 数 $P{e}_h=Uh/D$ 权衡——$P{e}_h\le 2$ 中心格式稳定，否则用迎风/指数/高阶 TVD 格式（或 FVM 的 Riemann 型通量，见 finite-volume-method）。数值扩散对湍流模拟是头号污染源：它模仿（错误的）亚格子耗散，会淹没物理粘性。

LBM 中的对流扩散：单分布松弛法

LBM 解对流扩散不需要另起炉灶：构造一类”被动的”分布函数（碰撞松弛率 ${\tau }_D$ 由 $D=c_s^2({\tau }_D-\frac{1}{2})\Delta t$ 定，平衡态只带零阶、一阶矩），宏观极限经 Chapman-Enskog 展开（见 chapman-enskog）给出对流扩散方程Dzanic et al. 2026 (JNNFM)。Budinski 的量子版本：把这套对流扩散 LBM 的流送（酉平移）与碰撞（松弛）映射到量子线路，通过缩放与重初始化实现多个时间步无需中间测量的演化——这是量子流体算法第一次展示连续时间推进Budinski 2021 (QIP)，详见 budinski-qlbm。

在量子路线中的位置

对流扩散是量子 PDE 算法的”第一级台阶”：线性（若 $U$ 给定）、耗散型、有解析解。它同时暴露两条量子难点——耗散使演化非酉（需 Carleman、Schrödinger 化或共轭加倍处理，见 carleman-linearization、schrodingerization）；纯对流极限（$D\to 0$）退化为双曲输运，则是量子行走类方法的对象（见 quantum-advection-equation、quantum-heat-equation）。

延伸阅读

• burgers-equation
• lattice-boltzmann
• budinski-qlbm
• quantum-heat-equation
• schrodingerization