涡量-流函数格式

涡量-流函数格式（vorticity-streamfunction formulation）把二维不可压 Navier-Stokes 改写成"涡量输运 + 流函数泊松"的方程组，一举消去压力这个非演化变量。它是经典 CFD 的教学标准格式（Ghia 方腔基准即用此式求解），也因为结构清晰、变量标量化而成为量子 NS 算法最常用的入口。

推导：旋度消去压力

从二维不可压 NS（见 navier-stokes）出发：

$${\partial }_t\mathbf{u}+(\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u}=-\frac{1}{\rho }\nabla p+\nu {\nabla }^2\mathbf{u},\nabla \cdot \mathbf{u}=0.$$

对动量方程取旋度 $\mathbf{\omega }=\nabla \times \mathbf{u}$。压力项消失——$\nabla \times \nabla p\equiv 0$，梯度场的旋度为零；非线性项用恒等式 $(\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u}=\nabla (u^2/2)-\mathbf{u}\times \mathbf{\omega }$ 化简后只剩涡量的对流：

$$\boxed{{\partial }_t\omega +(\mathbf{u}\cdot \nabla )\omega =\nu {\nabla }^2\omega }$$

二维只有一个涡量分量 $\omega ={\partial }_{x}v-{\partial }_{y}u$（标量！）。不可压约束与流函数 $\psi$ 等价：

$$u={\partial }_y\psi ,v=-{\partial }_x\psi ⟹{\nabla }^2\psi =-\omega \text{且自动满足}{\partial }_{x}u+{\partial }_{y}v=0.$$

Ω-ψ 方程组：涡量输运方程（抛物型，可显式推进）+ 流函数泊松方程（椭圆型，每步解）——与投影法（见 projection-method）的”演化 + 椭圆”结构同型，但压力彻底消失，涡量成了主角；对流项也可以写成 Jacobian $J(\psi ,\omega )={\partial }_x\psi {\partial }_y\omega -{\partial }_y\psi {\partial }_x\omega$ 的紧致形式。

边界条件：格式的真正难点

固体壁面（无滑移）在 ψ-ω 语言里变成：壁面是流线（$\psi =$ 常数），而涡量边界条件没有显式公式——涡量在壁面产生（这正是涡量的物理来源），必须由内部 ψ 值反推。经典 Thom 公式（一阶精度）：

$${\omega }_{\mathrm{wall}}=-\frac{2\left({\psi }_1-{\psi }_{\mathrm{wall}}\right)}{h^2}+\frac{2U_{\mathrm{wall}}}{h}+O(h),$$

由壁面第一个内点的 Taylor 展开与切向速度定义导出；Woods 二阶公式等改进随精度需求引入。边界处理的精度决定整体收敛阶——这是该格式的知名陷阱。运动壁（顶盖方腔）通过 $U_{\mathrm{wall}}$ 项进入（见 classical-benchmarks）。

图:流函数等值线与 Ghia 结果对比(流线值同 Ghia Fig 7,Re=100)(来源:QC076)

数值求解与基准

标准组合是有限差分离散（见 finite-difference-method）+ 交替推进 + 泊松解法器（见 multigrid）。Mao 的非均匀网格实现（贴壁加密）在 $Re=100$ 方腔上与 Ghia 数据逐线吻合：速度剖面、流函数等值线、涡量云图全套对照Mao 2024 (arXiv)。

图:方腔流场的流函数(左)与涡量(右)全场云图——涡量在顶盖两角产生并向腔内输运(来源:QC076)

为什么量子方案偏爱它

• 变量标量化：二维问题归结为两个标量场（$\omega$、$\psi$），比 $(u,v,p)$ 少一个分量且无压力-速度耦合歧义；
• 结构清晰：抛物 + 椭圆两段，与量子线性系统算法（泊松，见 quantum-poisson-solver）、ODE 求解器（涡量推进，见 quantum-linear-ode）逐一对应；
• 量子先例：Gaitan 的方案用 Kacewicz 型随机 ODE 算法沿涡量-流函数求解非光滑 NS 流Gaitan 2020 (npj QI)；Budinski 的量子 LBM 版 NS 同样采用流函数-涡量形式，把两个 LBM 子系统（一个给流函数、一个给涡量）耦合起来Budinski 2022 (IJQI)。

完整谱系见 quantum-vorticity-streamfunction 与 budinski-qlbm。

局限：出不了二维

三维中涡量是矢量（3 分量）、流函数须换成矢量势（3 分量 + 规范自由度），方程组膨胀到 6+ 个耦合标量且边界条件复杂化——二维的经济性不复存在。三维不可压问题的主流仍是投影法或涡量-矢量势的高阶格式。

延伸阅读

• navier-stokes
• projection-method
• classical-benchmarks
• quantum-vorticity-streamfunction
• budinski-qlbm