投影法与压力泊松

投影法（projection method）由 Chorin（1968）与 Temam（1969）独立提出，把不可压 Navier-Stokes 的"演化 + 散度约束"拆成两步：先不管压力算出中间速度，再把它投影到散度自由空间。投影那一步是一个 Poisson 方程——它占据不可压求解器每个时间步的主要计算量，也因此成为量子 CFD 最先盯上的目标。

Hodge 分解：投影的数学根据

对任意充分光滑的向量场 $\mathbf{w}$（在有界域、适当边界条件下）存在正交分解

$$\mathbf{w}=\mathbf{u}+\nabla \varphi ,\nabla \cdot \mathbf{u}=0,\mathbf{u}\cdot \mathbf{n}{|}_{\partial \Omega }=0,$$

即”散度自由部分 + 梯度部分”，且两部分在 $L^2$ 内积下正交（$\int \mathbf{u}\cdot \nabla \varphi =-\int \varphi \nabla \cdot \mathbf{u}=0$）。投影算子 $\mathcal{P}(\mathbf{w})=\mathbf{u}$ 正交投影掉梯度分量——不可压约束 $\nabla \cdot \mathbf{u}=0$ 等价于说”速度场始终在散度自由子空间里”，压力的梯度项恰好扮演被投影掉的 $\nabla \varphi$。

Chorin 分步格式推导

半离散（时间离散、空间连续）的不可压 NS（见 navier-stokes）：

$$\frac{{\mathbf{u}}^{n+1}-{\mathbf{u}}^n}{\Delta t}=-({\mathbf{u}}^n\cdot \nabla ){\mathbf{u}}^n+\nu {\nabla }^2{\mathbf{u}}^n-\nabla p^{n+1}.$$

第一步（扩散 + 对流）：丢掉压力项，解出中间速度

$$\frac{{\mathbf{u}}^{\ast }-{\mathbf{u}}^n}{\Delta t}=-({\mathbf{u}}^n\cdot \nabla ){\mathbf{u}}^n+\nu {\nabla }^2{\mathbf{u}}^n.$$

第二步（投影）：把 ${\mathbf{u}}^{\ast }$ 按 Hodge 分解投影：

$${\mathbf{u}}^{n+1}=\mathcal{P}({\mathbf{u}}^{\ast })={\mathbf{u}}^{\ast }-\nabla \varphi ,$$

与动量方程对照知 $\nabla \varphi =\Delta t\nabla p^{n+1}$。对投影式取散度并要求 $\nabla \cdot {\mathbf{u}}^{n+1}=0$：

$${\nabla }^2\varphi =\nabla \cdot {\mathbf{u}}^{\ast }⟹\boxed{{\nabla }^2{p}^{n+1}=\frac{1}{\Delta t}\nabla \cdot {\mathbf{u}}^{\ast }}$$

这就是压力 Poisson 方程（PPE）：一个全域椭圆问题，每时间步必解一次。边界条件是投影法的微妙之处：自然边界条件 $\partial \varphi /\partial n=0$（即 ${\mathbf{u}}^{n+1}\cdot \mathbf{n}={\mathbf{u}}^{\ast }\cdot \mathbf{n}$）只对原边界条件近似成立，会产生边界层误差并限制整体精度到一阶（压力边界条件的系统分析见Pekker & Pekker 2024 (arXiv)，其中用正规模态分析检验了”切向速度 + 压力”边界格式的适定性，并给出可嵌入 Gerris/Basilisk 的实现）。

图:压力-速度边界条件正规模态分析的计算域示意,配合 Fourier 变换 k=2πm/a(来源:QC073)

PPE 的另一条路：消去速度

对动量方程直接取散度（利用 $\nabla \cdot \mathbf{u}=0$ 与 $\nabla \cdot {\nabla }^2\mathbf{u}={\nabla }^2(\nabla \cdot \mathbf{u})=0$）：

$${\nabla }^{2}p=-\nabla \cdot ((\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u}),$$

右端是非线性项的散度——连续层面与投影法推出的 PPE 一致，离散层面各有取舍（守恒性 vs 边界处理）。两条路都指向同一事实：不可压流动的每个时间步内嵌一个全局椭圆求解。

SIMPLE/PISO 族谱一句话

工程不可压求解器的主流是压力修正族：SIMPLE（Patankar-Spalding 1972，“猜测-修正”迭代：猜压力 → 解动量 → 修压力直至散度归零）、SIMPLER、PISO（Issa 1986，多步修正、适合瞬态）、 coupled solvers——本质都是把投影思想改成迭代收敛的形式，泊松型求解同样是内循环核心。

成本占比与量子语境

Poisson 求解通常占不可压求解器每个时间步的主要计算时间，随着精度要求提高占比还会上升；Sanavio-Succi 的综述把泊松型椭圆求解列为量子线性系统算法在 CFD 中最直接的应用点之一Sanavio & Succi 2024 (IntechOpen)。量子泊松求解器（HHL 型Harrow et al. 2009 (PRL)、显式电路设计Cao et al. 2013 (New J. Phys.)，见 quantum-poisson-solver）与变分泊松求解（见 vqls、nisq-experiments 的真机实验）都以投影法语境为经典对照。谱离散下的泊松矩阵结构见下图与 spectral-methods。

图:Dirichlet/Neumann 边界下 Poisson 方程 Chebyshev 离散的矩阵构建(来源:QC075)

延伸阅读

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