Navier-Stokes 方程

Navier-Stokes 方程（Navier-Stokes equations, NS）是牛顿第二定律加质量守恒在连续介质上的表述，由 Navier（1822）与 Stokes（1845）确立粘性项后成为流体力学的公理级方程。一切 CFD——经典的与量子的——都是围绕求解它或其简化形式展开的。

从守恒律推导

质量守恒：控制体 $V$ 内流体质量的增长率等于穿过边界的净流入，

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_V\rho \mathrm{d}V=-{\oint }_{\partial V}\rho \mathbf{u}\cdot \mathbf{n}\mathrm{d}S⟹\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf{u})=0.$$

动量守恒：对控制体写牛顿第二定律，内力通过 Cauchy 应力张量 $\mathbf{\sigma }$ 表述：

$$\rho \frac{\mathrm{D}\mathbf{u}}{\mathrm{D}t}=\nabla \cdot \mathbf{\sigma }+\rho \mathbf{f},\mathbf{\sigma }=-p\mathbf{I}+\mathbf{\tau },$$

其中 $\mathrm{D}/\mathrm{D}t={\partial }_t+\mathbf{u}\cdot \nabla$ 是物质导数。对牛顿流体，粘性应力与应变率张量 $\mathbf{S}=\frac{1}{2}(\nabla \mathbf{u}+(\nabla \mathbf{u}{)}^{\mathsf{T}})$ 成正比：

$$\mathbf{\tau }=2\mu \mathbf{S}+\lambda (\nabla \cdot \mathbf{u})\mathbf{I},$$

Stokes 假设 $\lambda =-2\mu /3$ 使纯膨胀不产生剪切型耗散。代入即得可压 NS 方程。不可压（$\rho$ 常数）时 $\nabla \cdot \mathbf{u}=0$，方程简化为

$$\rho \left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u}\right)=-\nabla p+\mu {\nabla }^2\mathbf{u}+\rho \mathbf{f}.$$

无量纲化与雷诺数

取特征长度 $L$、特征速度 $U$，令 $\mathbf{x}=L{\mathbf{x}}^{\ast }$、$\mathbf{u}=U{\mathbf{u}}^{\ast }$、$t=(L/U)t^{\ast }$、$p=\rho U^2{p}^{\ast }$，代入后各项只留下一个无量纲组合：

$$\frac{\partial {\mathbf{u}}^{\ast }}{\partial t^{\ast }}+({\mathbf{u}}^{\ast }\cdot {\nabla }^{\ast }){\mathbf{u}}^{\ast }=-{\nabla }^{\ast }{p}^{\ast }+\frac{1}{Re}{\nabla }^{\ast 2}{\mathbf{u}}^{\ast },Re=\frac{\rho UL}{\mu }.$$

雷诺数 $Re$ 是惯性力与粘性力之比：$Re\ll 1$ 时方程近乎线性（Stokes 流），$Re\gg 1$ 时非线性对流主导并触发湍流（见 dimensionless-numbers、turbulence-simulation）。几何相似的两个流动只要 $Re$（及有关的无量纲数）相同，解就相似——这是基准流实验与数值结果可互校的根基，也是量子算法只需在低 $Re$ 验证机制、再谈标度的理由。

不可压约束与压力-速度耦合

连续性方程 $\nabla \cdot \mathbf{u}=0$ 不是演化方程，不含 $\partial p/\partial t$。压力的角色是拉格朗日乘子：它瞬时传播（无限大声速），取值恰好使速度场每一步都散度为零。这带来经典 CFD 的中心难题——压力-速度耦合：任意的速度离散格式与压力离散格式组合可能产生棋盘振荡，需要交错网格或动量插值；主流解法是投影法族（见 projection-method）或改写为涡量-流函数形式（见 vorticity-streamfunction-formulation）。对量子算法，这个约束意味着每个时间步都嵌着一个全局椭圆（泊松）问题——量子泊松求解器因此成为量子 CFD 的核心部件（见 quantum-poisson-solver、quantum-navier-stokes）。

适定性与千禧年问题

三维不可压 NS 方程光滑解的存在性与唯一性至今未证，是 Clay 研究所七个千禧年难题之一（Fefferman 2000 年表述）。已知的部分：二维情形光滑解整体存在；三维情形只能证出弱解存在（Leray 1934）与光滑解的局部存在。对数值计算而言这不构成日常障碍，但它提醒我们：湍流的数学根基尚未封顶，任何声称”解 NS”的算法（经典或量子）实际处理的是离散近似，见 quantum-navier-stokes 的各家方案对照。

延伸阅读

• projection-method
• vorticity-streamfunction-formulation
• dimensionless-numbers
• turbulence-simulation
• quantum-navier-stokes