湍流模拟总览

湍流模拟按”解析多少、建模多少”分三级：直接数值模拟（DNS）解析全部尺度、大涡模拟（LES）解析大涡并建模亚格子、雷诺平均（RANS）建模全部脉动。三级的成本相差多个数量级，而最高一级（DNS）的成本按 $R{e}^3$ 标度——这正是量子 CFD 全部动机的物理根源。

图:按计算成本与"解析 vs 建模"比例排布的湍流模拟层级(DNS→HYBRID/RANS-LES→LES→RANS)(来源:QC072)

DNS 成本 Re³ 的完整推导

推导只需要 Kolmogorov 1941 理论的两个结果（量纲分析见 kolmogorov-cascade）：能量通量 $\epsilon \sim U^3/L$，耗散尺度 $\eta =({\nu }^3/\epsilon {)}^{1/4}$。

第一步：尺度分离。

$$\frac{\eta }{L}={\left(\frac{{\nu }^3}{\epsilon L^4}\right)}^{1/4}={\left(\frac{{\nu }^3}{U^{3}L}\cdot \frac{1}{L^3}\right)}^{1/4}={\left(\frac{{\nu }^3}{U^3{L}^4}\right)}^{1/4}=R{e}^{-3/4}.$$

第二步：网格数。 三维 DNS 每个方向至少分辨 $\eta$（每波长若干点，常数吸收进大 $O$）：

$$N_{\text{grid}}\sim {\left(\frac{L}{\eta }\right)}^3\sim R{e}^{9/4}.$$

第三步：时间步数。 显式格式的 CFL 条件（见 finite-difference-method）要求 $\Delta t\sim \eta /u_{\eta }$。由 Kolmogorov 尺度的速度 $u_{\eta }=(\nu \epsilon {)}^{1/4}$，

$$\frac{u_{\eta }}{U}={\left(\frac{\nu \epsilon }{U^4}\right)}^{1/4}={\left(\frac{\nu U^3/L}{U^4}\right)}^{1/4}=R{e}^{-1/4},$$

统计稳态需模拟数个大涡翻转时间 $T\sim L/U$，故

$$N_{\text{steps}}\sim \frac{T}{\Delta t}\sim \frac{L/U}{\eta /u_{\eta }}=\frac{L}{\eta }\cdot \frac{u_{\eta }}{U}=R{e}^{3/4}\times R{e}^{-1/4}=R{e}^{3/4}.$$

合计： $N_{\text{grid}}\times N_{\text{steps}}\sim R{e}^{9/4+3/4}=R{e}^3$。

Exascale 边界

$R{e}^3$ 意味着每提高一个数量级的 $Re$，成本涨三个数量级。典型基准：翼型尺度 $Re\sim 10^6$ 时 $R{e}^3\sim 10^{18}$，已经要动用整个 Exascale 系统跑单个工况；全尺寸飞机（$Re\sim 10^8$）的 $R{e}^3\sim 10^{24}$ 在经典硬件上可望不可即。Sanavio-Succi 用同一笔账给出量子存储视角：$2^Q=R{e}^3$ 只需 $Q=3{\log }_{2}Re\approx 10{\log }_{10}Re$ 个逻辑量子比特（$Re\sim 10^8$ 约 80 个）——但要立刻补上读完、态制备与时间推进的代价，完整讨论见 turbulence-complexity 与 quantum-advantage-debateSanavio & Succi 2024 (IntechOpen)。工业界的量子路线图已把与 Exascale 经典 CFD 的性能对标作为可行性标尺Syamlal et al. 2024 (AIAA)（见 resource-estimation）。

LES 与 RANS：工程的三级台阶

LES：空间滤波把速度分成解析的大涡与建模的亚格子（SGS）应力，最经典的是 Smagorinsky 涡粘模型 ${\nu }_t=(C_s\Delta {)}^2|\bar{S}|$。网格只须分辨含能尺度，外流 LES 成本仍随 $Re$ 以接近线性的幂增长，但壁面分辨湍流边界层需要网格雷诺数 $O(1)$，高 $Re$ 时壁面占主导成本，催生 wall-modeled LES。

RANS：对 NS 做雷诺平均 $\mathbf{u}=\bar{\mathbf{u}}+{\mathbf{u}}^{\prime }$，得到含 Reynolds 应力 $-\rho ⟨u_i^{\prime }{u}_j^{\prime }⟩$ 的平均方程（推导见 ml-turbulence-closure），用涡粘假设（Boussinesq）与 $k$-$\epsilon$、$k$-$\omega$-SST、Spalart-Allmaras 等模型封闭。成本与稳态层流同量级，是工程设计的主力——代价是模型的的经验性与不确定性（系统综述见Xiao & Cinnella 2019 (Prog. Aerosp. Sci.)）。

图:常用湍流模型的建模阶段——从完整 Reynolds 应力输运到线性涡粘假设,建模程度逐级加深(来源:QC072)

混合 RANS-LES（DES 等）：边界层用 RANS、分离区用 LES，介于两者之间（上图层级的中段）。

量子 CFD 落在哪一级

量子提案的现实坐标几乎都在低 $Re$ 的 DNS 侧：Taylor-Green 涡、方腔、Poiseuille（见 classical-benchmarks）。原因在物理与算法两端：低 $Re$ 时 NS 接近线性、Carleman 截断收敛（见 carleman-qlbm）；而湍流的宽谱与统计平均需求会同时放大输入输出与测量成本（见 io-problem、readout-strategies）。量子侧的湍流时间序列与生成式路线见 quantum-reservoir-computing、quantum-generative-models 与 tensor-network-fluids。

延伸阅读

• kolmogorov-cascade
• turbulence-complexity
• ml-turbulence-closure
• dimensionless-numbers
• quantum-turbulence-simulation