非定常 CFD 的主循环是时间步进，线性化后每一步都是线性 ODE 的初值问题。量子算法对此有三条成熟路线：Berry–Childs–Ostrander–Wang 把 Taylor 级数传播子编码进线性方程组（精度对 指数改进）Berry et al. 2017 (CMP)、Kacewicz 的随机化 ODE 求解器（粗糙右端项下有加速，被 Gaitan 用于 NS）Gaitan 2020 (npj QI)、Fang–Lin–Tong 的时间推进求解器（逐步小系统、成功概率不随步数衰减）Fang et al. 2023 (Quantum)。选哪条，取决于谱结构、时间长度与输出形态。
BCOW：Taylor 传播子 → 线性方程组 → LCU
解 的解由传播子给出，。直接把截断 Taylor 级数做成 LCU 会因成功概率指数小而失效；BCOW 的构造是逐步（stepwise）的：把每个时间步内截断的 Taylor 级数项编码进一个块结构线性方程组，整体交给 LCU 型 QLSA 求解——线性系统的解自动携带正确的归一化，绕开幅值塌缩Berry et al. 2017 (CMP)。要求： 可对角化且特征值实部 （指数增长的解不可模拟）。
复杂度（Theorem 9）：查询复杂度
对 指数改进（polylog）、对 近线性； 表征解的衰减——与 Carleman 的 参数同源：解中途幅值远大于终值时，归一化的量子态被迫浪费幅值在”注定衰减”的成分上，代价线性显现Berry et al. 2017 (CMP)。
Kacewicz 随机化 ODE：oracle 世界的时间步进
Kacewicz（2006）的算法把 ODE 求解化为对右端项 oracle 的调用，其随机化版本在 oracle 复杂度的 -指数上近最优。Gaitan 的量子 NS 求解器完全建立在其上：时间区间二分嵌套、局部 Taylor 级数近似解、决定精度的积分项由量子幅值估计求值（见quantum-amplitude-estimation的复杂度表）——粗糙（非光滑）右端项下量子对经典随机为平方加速；含激波流动是该路线宣称的有利场景Gaitan 2020 (npj QI)。
Fang–Lin–Tong：时间推进，不做全历史积分
时间推进路线的出发点：不要把 全历史攒进一个巨型线性系统，而是逐时间步用小系统向前推。高阶截断 Dyson 级数作积分器（一阶截断 Magnus 简化实现），每步产出下一初值态。核心障碍是逐步后选择使成功概率随步数指数衰减；两个器件解决之：均匀奇异值放大（uniform singular value amplification）——对每步的块编码反复调用，把成功概率下界抬到与步数无关；compression gadget 进一步压低常数Fang et al. 2023 (Quantum)。
复杂度线性于 amplification ratio（刻画偏离酉动力学的程度）并证明达查询下界（最坏情形不可改进）。相对 QLSA 型求解器的三个宽容性对 CFD 尤为切身： 不必可对角化（非正规算符照常工作）、 可非光滑（仅 bounded variation——变系数、边界条件切换、开关型激励）、初态查询更少Fang et al. 2023 (Quantum)。
CFD 时间步进的算法选项表
| 路线 | 输入假设 | 精度/时间标度 | 关键限制 | 适用场景 |
|---|---|---|---|---|
| 逐步 QLSA（HHL/QSVT） | 每步线性系统，块编码 | 级/步 | 不能复用初猜；读出泛函 | 隐式步进内核（hhl、block-encoding） |
| BCOW 全历史积分 | 可对角化、 | polylog、近线性 、 因子 | 解衰减惩罚；一个巨型系统 | 光滑衰减的长时线性演化 |
| Kacewicz 随机化 | 右端项 oracle、Hölder 类 | 型 | 粗糙右端才有大加速 | 非光滑/含激波问题（quantum-vorticity-streamfunction） |
| Fang–Lin–Tong 时间推进 | 块编码、 可非正规非光滑 | 线性于 amplification ratio | 偏离酉性线性计价 | 非定常系数、边界切换的推进 |
| Schrödinger 化 | 线性 PDE/ODE（含源） | 多一辅助维，d>4–5 高维优势 | 只吃线性系统 | 扩散/对流族（schrodingerization） |
共性下界必须一并记账：线性于 不可去除——实部谱隙、非正规性等”非量子性”结构强制指数或线性查询代价（不可快进，见quantum-advantage-debate），CFL 条件则把 与网格规模耦合起来Penuel et al. 2024 (arXiv)。