块编码与 QSVT

量子计算机只执行酉运算，而 CFD 的矩阵（刚度阵、雅可比、压力泊松阵）既大又非酉。块编码（block encoding）把 $A$ 藏进一个更大酉算子的左上块，量子奇异值变换（quantum singular value transformation, QSVT）则对块编码矩阵的奇异值实施任意多项式变换——求逆、求幂、阈值投影都是其特例Gilyén et al. 2019 (STOC)。2019 年以来它取代相位估计成为量子线性代数的记账标准；对 CFD，“你的矩阵怎么块编码、编码的归一化因子多大”是评估任何量子求解器资源账的第一问Lapworth & Sünderhauf 2025 (IOP)。

块编码定义

若存在酉算子 $U_A$ 与辅助态 $|0{⟩}^{\otimes a}$ 使

$$(⟨0{|}^{\otimes a}\otimes I)U_A(|0{⟩}^{\otimes a}\otimes I)=A/\alpha ,$$

则称 $U_A$ 是 $A$ 的 $(\alpha ,a,ϵ)$-块编码，$\alpha \ge \Vert A\Vert$ 为归一化因子。信息以振幅 $\lambda /\alpha$ 形式可及：块编码本征值不是 $\lambda$ 而是 $\lambda /\alpha$，$\alpha$ 越大（次归一化越严重），后续多项式的有效定义域越窄、所需次数越高——这是 CFD 应用中最容易被低估的成本项Lapworth & Sünderhauf 2025 (IOP)。

LCU 构造

把 $A$ 分解为酉算子的线性组合 $A={\sum }_l{c}_l{A}_l$（Pauli 分解、稀疏矩阵的逐对角分解都属此类），构造

$$\mathrm{PREP}|0⟩=\sum _l\sqrt{c_l/\lambda }|l⟩(\lambda ={\sum }_l|c_l|),\mathrm{SELECT}={\sum }_l|l⟩⟨l|\otimes A_l,$$

则 $U={\mathrm{PREP}}^{†}\cdot \mathrm{SELECT}\cdot \mathrm{PREP}$ 满足 $⟨0|\mathrm{SELECT}|0⟩=A/\lambda$。LCU 求和的成功概率问题由”准备—选择—反准备”的结构性相消解决，无需后选择。对 $O(1)$-黑盒可访问的稀疏矩阵（行索引可高效枚举），状态制备在行 oracle 上完成，得到 $\alpha =O(s\Vert A\Vert )$、$s$ 为稀疏度的块编码——稀疏访问模型下矩阵算术不依赖 $N$。

qubitization 与 QSVT 统一框架

qubitization 把块编码升级为量子行走算子 $W$，其信号基本征值为 $e^{\pm i\arccos (\lambda /\alpha )}$——奇异值信息变成干净的相位。量子信号处理（QSP）指出：对单比特的信号旋转交替施加可调相位 ${\phi }_j$，能实现任何给定奇偶性的次数 $d$ 多项式 $P$，且恰用 $d$ 次信号旋转。QSVT = 把 QSP 套在 qubitization 上：

$$U_{{\phi }_1}\to W\to U_{{\phi }_2}\to W\to \cdots ⟹P^{(SV)}(A/\alpha ),$$

即对每个奇异值 $\lambda$ 并行地实施 $P(\lambda /\alpha )$Gilyén et al. 2019 (STOC)。矩阵加法（块拼接）、乘法（顺序作用）、求逆（奇多项式逼近 $\frac{3}{4}\delta /x$，次数 $O(\frac{1}{\delta }\log \frac{1}{\epsilon })$、$\delta$ 即最小奇异值 $1/\kappa$——$\kappa$ 一次、精度对数）都在同一框架内完成，且对 $1/ϵ$ 相对此前结果指数改进Gilyén et al. 2019 (STOC)。

图:奇异值变换的门序列构件(受控 π 旋转门 C_ΠNOT 与交替相位序列)——QSP 相位 φ_j 与行走算子交替排布即得多项式变换 P^{(SV)}(来源:QC017)

现代复杂度的正确记账

Martyn 等给出最易读的对照：QSVT 矩阵求逆复杂度 $O(\kappa \log (\kappa /ϵ))$ 次块编码查询，对比 HHL 的 $O({\kappa }^2\log N/ϵ)$——$\kappa$ 一次、$ϵ$ 对数、显式 $\log N$ 项消失Martyn et al. 2021 (arXiv)。但”消失”不等于免费：$\log N$ 被折叠进块编码本身的成本（$U_A$ 的门数随矩阵规模与结构变化），正确的账本必须单列 $U_A$ 的构造代价。这正是 CFD 侧研究的切入口。

CFD 矩阵的专用块编码

两条工程实证：

• Rolls-Royce 的预条件块编码：Lapworth 与 Sünderhauf 用真实 CFD 矩阵（含 $1024\times 1024$ 算例）比较两条路线——分别编码 $A$、$P$ 再做量子乘法（次归一化相乘爆炸，抵消 $\kappa$ 改善，preamplification 仅部分缓解）与经典先乘 $PA$ 再整体编码（更优）；四种预条件子（SPAI 含 infill、Toeplitz 近似、循环矩阵 CLAI 经 QFT 实现、对角缩放）中，带 infill 的 SPAI + 经典乘积编码显著改善有效条件数，配合矩阵过滤技术把示例 CFD 矩阵的 QSVT 相位因子数减少 25 倍Lapworth & Sünderhauf 2025 (IOP)；
• Penuel 等的专用（bespoke）编码：对 LBM 碰撞矩阵利用其在格点间重复的块结构定制块编码，其船体阻力资源估计已经包含这约 $10^5$ 倍的削减——没有专用编码，账目还要再涨五个量级Penuel et al. 2024 (arXiv)。

图:五对角 Toeplitz 矩阵(offset −4,−1,0,1,4)的块编码电路——CFD 离散矩阵的结构(带状、Toeplitz、格点重复)是压低编码成本的主要杠杆(来源:QC021)

结论性判断：通用稀疏编码给出”原则上可行”，只有利用 CFD 矩阵的结构（带状、Toeplitz、块重复、预条件后的谱集中）才能把块编码成本压进资源估计的现实区间。这条思路同样贯穿量子迭代法（见quantum-iterative-methods）与量子多重网格（见quantum-multigrid）。

延伸阅读

• hhl
• hamiltonian-simulation
• quantum-iterative-methods
• quantum-multigrid
• quantum-linear-ode