六大流派谱系
① 线性系统派——最直觉的路线：把 PDE 离散化（FD/FEM/FVM）成 ，交给量子线性求解器。Cao 等的泊松求解器Cao et al. 2013 (NJP)、Montanaro-Pallister 的有限元装配+HHLMontanaro & Pallister 2016 (PRA)、Clader 的预条件分析Clader et al. 2013 (PRL)是早期三块基石；工程化续作是本源量子的 QLAS 库（HHL/VQLS 作为可插拔线性后端）Ye et al. 2024 (PoF)与 Williams 等的量子迭代法（Jacobi/Gauss-Seidel，反对”整体求逆”的 CFD 直觉）Williams et al. 2024 (arXiv)。入口词条：quantum-poisson-solver、quantum-fem、quantum-iterative-methods。
② 演化模拟派——不做空间离散后的”求逆”，而是把（线性化后的）演化本身编成酉算子：Carleman 嵌入把二次非线性抬升为无穷维线性系统再截断Liu et al. 2021 (PNAS)；Schrödinger 化用 warped phase 变换把非酉线性 PDE 变成薛定谔方程Jin et al. 2024 (PRL)；Koopman-von Neumann 嵌入走概率密度泛函路线；底层内核是稀疏哈密顿量模拟与线性 ODE 量子算法Berry et al. 2017 (CMP)。入口词条：nonlinear-pde-quantum、carleman-linearization、schrodingerization、koopman-quantum。
③ 变分派——参数化浅线路+经典优化器，输出存进经典参数从而绕开量子存储与读出：Lubasch-Jaksch 的 QNPU 用多副本变分态直接算非线性泛函Lubasch et al. 2020 (PRA)；Jaksch 等把 VQCFS 定位为”物理内禀的降阶模型”，宣称至少多项式优于经典Jaksch et al. 2023 (AIAA J)。入口词条：variational-pde-solver、quantum-pinn。
④ 格子玻尔兹曼派——独享的结构红利：流送沿直线移位、天然酉（组合块对角合法），碰撞局域、非线性可用 Carleman 线性化，于是”一半免费、一半天堑”。从 Yepez 量子格子气、Budinski 显式线路到 Carleman-LB、QALB，是文献最密集的单支。入口词条：quantum-lbm-overview、budinski-qlbm、carleman-qlbm、quantum-lattice-gas。
⑤ 数据驱动派——量子机器学习与流体结合：量子 PINN、量子核方法、生成模型、储备池计算、量子增强 MCMC，以及”量子启发”的张量网络（Gourianov 系：MPS 在湍流亚格子混合区已产生数个量级的经典收益）。入口词条：qml-cfd-landscape、tensor-network-fluids、quantum-reservoir-computing。
⑥ 硬件模拟派（QQ 象限）——不做门模型计算，用可控量子多体系统直接扮演流体：BEC/超流上的量子湍流、光子模拟器、模拟量子演化。它跨越四象限里 QQ 与 QC 的边界（见four-quadrants），入口词条：quantum-turbulence-simulation。
画像表
| 流派 | 输入侧 | 输出侧 | 资源画像 | NISQ 适配 | 主要风险 |
|---|---|---|---|---|---|
| ① 线性系统 | 稀疏矩阵块编码+右端项态制备 | 解在振幅里，读 QoI 需内积/层析 | 容错级深度（相位估计）， 多项式罚 | 低（VQLS 变体除外） | I/O 与条件数吞掉对数优势 |
| ② 演化模拟 | 编码初值；Carleman 变量组合爆炸 | 末端单次读出（可多步不测量） | 门数对格点 polylog、对时间 级 | 低-中 | Carleman 收敛阈值、 深度 |
| ③ 变分 | 角度编码/多网格编码（便宜） | 标量代价+经典参数（便宜） | 浅线路、少量比特 | 高 | 贫瘠高原、精度未达 CFD 标准 |
| ④ 量子 LBM | 分布函数振幅编码 | 宏观矩/流场统计 | 流送固定深度；碰撞是深度瓶颈 | 中（单步方案已到 6 比特） | 碰撞非酉+流送耦合不可编译 |
| ⑤ 数据驱动 | 数据集本身（编码即瓶颈） | 学习到的模型/统计量 | 因任务而异 | 高（QNPU/QPINN 均浅） | “量子部分”可能被经典 ML 平替 |
| ⑥ 硬件模拟 | 物理初态制备 | 平台可观测量 | 无门编译负担 | 高（模拟器本身就是硬件） | 可控性、读出、通用性受限 |
与综述分类框架的交叉
- Tennie 等（Nat. Rev. Phys.）按”如何处理非线性”三分类：混合经典-量子（≈③）、平均场量子求解器（非线性薛定谔型的演化）、线性化类（≈①②④的公共内核），并给出”算法×硬件”配对建议——变分法配超导（短深快速门）、平均场配俘获离子（长相干全连接）、线性化配中性原子（大规模模拟演化）Tennie et al. 2024 (Nat. Rev. Phys.)：
- Amaral 等（2025 综述）覆盖本表⑤的三大板块：VQA（代价函数设计、多网格编码、MPS 型 ansatz）、量子 PINN（四条实现路径）、量子启发张量网络（四步流水线：离散化→张量化→时间演化→解码），判断”完全量子的湍流研究在 NISQ 时代不可行，近期最有前景是张量网络+既有数值格式的混合”Amaral et al. 2025 (arXiv)。
- Sanavio-Succi（QC001 §IV）的四分法（非线性 ODE 求解器/变分本征求解器/泛函方法/Carleman 嵌入）与上表①②③④对应，其”泛函方法”（Liouville 概率密度泛函方程+张量网络闭包）是⑤中张量网络路线的理论源头之一Sanavio & Succi 2024 (IntechOpen)。
谱系之间的流动
流派不是孤岛：④向②借 Carleman（Carleman-LBM），②向①借线性求解器（QALB 用 QLSA 收尾），①向经典数值借迭代与多重网格（quantum-iterative-methods、quantum-multigrid），③与⑤共享编码与测量技术，⑥为②提供硬件归宿。混合量子-经典循环（见hybrid-quantum-classical）则是所有流派在当前硬件上的共同宿命。