Koopman–von Neumann（KvN）嵌入从”换一个描述层”入手：不追轨迹，改追相空间概率密度的演化——密度满足的 Liouville/传输方程天然线性，哪怕流动本身强非线性；再以 代换即得薛定谔形式的方程，量子计算机恰好原生说这种语言。Succi 等的 EPL 综述把这条”泛函方法”列为量子流体四策略之一，并转述 Giannakis 等把经典动力学嵌入多体薛定谔方程的工作Succi et al. 2023 (EPL)。
Liouville 方程：非线性动力学的线性面孔
设非线性 ODE ，（ 维相空间，NS 的截断谱系数即是一例）。概率密度 被流输运，由概率守恒 对任意区域 成立得连续性方程
即 。方程对 严格线性——非线性完全躲进了系数场 。与之对偶的是作用在观测函数上的 Koopman 算符 （ 为流）：它也是线性的，谱刻画非线性动力学的频率成分。代价直白：维数从状态空间搬进函数空间， 生活在指数大的相空间函数格点上。
KvN 代换：薛定谔形式
von Neumann 的观察是给 开平方：令 、，连续性方程可改写为
一阶微分算符加上 修正后 Hermitian——这正是薛定谔方程的形状，相空间坐标 扮演”位置”、共轭动量 出现在生成元里。经典动力学由此获得了量子动力学的外形：轨迹分布的演化 = 波函数的酉演化。EPL 综述转述的 Giannakis 等工作更进一步：以（延迟坐标）观测函数为基底做 Carleman–Koopman 型嵌入，把经典动力学整体映射为多体薛定谔方程——多体结构恰好对上量子计算机的多比特 Hilbert 空间Succi et al. 2023 (EPL)。同一谱系的教学综述也指出其两面性：Liouville 概率密度泛函方程天然线性但维度灾难；混沌系统的 Koopman 谱含连续模，离散化困难Sanavio & Succi 2024 (IntechOpen)。
困难一：维度诅咒
嵌入把 维状态的非线性问题变成 维（含共轭变量）相空间上的线性 PDE，谱格点数随 指数增长——这是”用维度换线性”的通用税。EPL 的回应是个生动论证：“旅店房间远多于住客”——相空间体量随维数指数膨胀，而真实轨道支撑的测度极薄，绝大多数方向是空房间；因此只需追踪低阶边缘分布（少数自由度的联合密度）并配张量网络闭包补上被截断的高阶关联Succi et al. 2023 (EPL)。这一思路与张量网络直接演化流体（quantics MPS，见tensor-network-fluids）及变分多副本方法（见variational-pde-solver）在同一逻辑下汇合。
困难二：混沌与谱
Koopman 谱是嵌入可用性的试金石：规则/拟周期动力学谱离散，函数基展开可行；混沌动力学谱含连续部分（混合性导致关联衰减），任何有限截断都要面对谱泄露与长时漂移——湍流恰是最坏情形Sanavio & Succi 2024 (IntechOpen)。与 Carleman 路线对照：Carleman 在轨迹层付维度税且受 参数限制（见carleman-linearization），Koopman 在密度层付维度税且受混沌谱限制；Tennie 等的综述把两者同归”线性化类”，并建议与中性原子平台的模拟演化配对Tennie et al. 2024 (NRP)。
定位
KvN 嵌入当前更接近”概念框架 + 中期候选”：它示范了非线性流体的量子描述可以严格线性，把问题转化为密度制备（初分布装进 ）、酉演化与边缘分布读出三个已知模块；但每个模块都撞各自瓶颈（见state-preparation、io-problem）。工程化的突破点在低阶边缘分布的张量网络闭包与量子-经典分工。