量子物理信息神经网络

物理信息神经网络（physics-informed neural network, PINN）把偏微分方程的残差直接写进损失函数，用自动微分计算导数项，从数据与物理双重约束中学出解。量子物理信息神经网络（QPINN）把其中可训练的函数从经典网络换成量子模型——动机是量子线路以对数规模的参数访问指数大的希尔伯特空间。谱系上有三个代表：Kyriienko 等开创的可微量子电路（differentiable quantum circuit, DQC）逐点建模路线、Paine–Elfving–Kyriienko 的潜空间重叠损失求解器Paine et al. 2023 (arXiv)，以及 Sedykh 等在 3D 复杂几何 CFD 上验证的混合量子深度注入网络 HQPINNSedykh et al. 2023 (MLST)。

经典 PINN 及其求值瓶颈

设待解方程 $\mathcal{D}[u;\lambda ]=0$（$\mathcal{D}$ 为含空间导数的算子，$\lambda$ 为物理参数），边界/初始条件 $u{|}_B=u_0$。PINN 用参数为 $\theta$ 的网络 $u_{\theta }$ 逼近解，损失由两项均方误差组成（QC057 的 Eq. 4–5）：

$${\mathcal{L}}_{\mathrm{PDE}}=⟨(\mathcal{D}[u_{\theta };\lambda ]{)}^2{⟩}_{\Omega },{\mathcal{L}}_{BC}=⟨(u_{\theta }-u_0{)}^2{⟩}_B,\mathcal{L}={\mathcal{L}}_{\mathrm{PDE}}+{\mathcal{L}}_{BC},$$

其中 $⟨\cdot {⟩}_{\Omega }$、$⟨\cdot {⟩}_B$ 分别表示在域内配点与边界配点上的平均。导数项 ${\partial }_x{u}_{\theta }$ 由自动微分计算——代价是每个训练 epoch 都要对全部 $L_c$ 个配点做一次前向求值与反向传播，成本随配点数与网络规模线性增长。QPINN 的第一动机就是改变这笔账：要么让量子模型本身承载解的表示（参数量小），要么把逐点求值整体替换为少数几次量子测量。

DQC 谱系：逐点定义的量子模型

Kyriienko 等的 DQC 把模型定义为量子期望值：数据 $x$ 经编码门 $\hat{U}(x)$ 进入量子态，再作用可训练变分块 $\hat{V}(\mathbf{\theta })$，

$$f_{\theta }(x)=⟨0|{\hat{U}}^{†}(x){\hat{V}}^{†}(\mathbf{\theta })\hat{O}\hat{V}(\mathbf{\theta })\hat{U}(x)|0⟩,$$

$\hat{O}$ 为可观测量。梯度无需数值差分——参数移位规则给出解析形式：对第 $k$ 个参数 ${\theta }_k$（生成元为泡利算符，移位 $s$ 通常取 $\pi /2$），

$$\frac{\partial f_{\theta }}{\partial {\theta }_k}=\frac{f_{\theta }(x|{\theta }_k+s)-f_{\theta }(x|{\theta }_k-s)}{2},$$

即两次同结构线路的期望值之差；对输入的导数 $\partial f_{\theta }/\partial x$ 同样成立，因为 $x$ 也是以旋转角形式进入编码门的。PDE 残差因此可以在任意配点上逐点评估，训练循环与经典 PINN 同构。瓶颈随之而来：其一，逐点残差继承了经典 PINN 的 $O(L_c)$ 配点成本；其二，期望值对量子态是线性泛函，方程中的非线性项（如 $f^2$）无法直接从单条线路读出，需要专门的乘法机制——这正是下一条路线要解决的。

潜空间求解器：重叠损失与 O(N+p) 非线性编码

图:把微分方程各项映射为 Hilbert 空间中的量子态,损失由态间重叠距离定义(来源:QC058)

Paine–Elfving–Kyriienko 的方案改变了解的表示方式：不再逐点定义 $f_{\theta }(x)$，而是把方程的各项——函数 $f$、其导数 $f^{\prime }$、自变量 $x$、边界值——各自映射为 $N$ 量子比特希尔伯特空间中的量子态 $|f⟩$、$|f^{\prime }⟩$、$|x⟩$，基组取指数规模的 Chebyshev 或 Fourier 编码（$N$ 比特天然张成 $2^N$ 个基函数）Paine et al. 2023 (arXiv)。可训练模型写成态重叠结构 $f_{\theta }(x)=⟨x|f_{\theta }⟩$，而损失函数本身是态间重叠距离：微分方程约束被转换为”表示 $f^{\prime }$ 的态与表示右端的态应当重合”的几何条件，形如

$$\mathcal{L}(\theta )=({\mathcal{L}}_{DE}{)}^p+\eta {\mathcal{L}}_{init},p=\frac{1}{2},\eta =10,$$

其中 ${\mathcal{L}}_{DE}$ 为方程项态距离、${\mathcal{L}}_{init}$ 为经基映射显式评估的边界项。关键收益：单次测量的统计平均内在并行地覆盖整组基函数上的约束，训练不再需要在网格点上逐点求值——这是对经典 PINN 每 epoch $O(L_c)$ 次配点求值瓶颈的直接回应（论文动机明言流体动力学等工业场景）。

非线性项的编码是第二个关键构件。Chebyshev 基满足乘积恒等式

$$T_m(x)T_n(x)=\frac{1}{2}(T_{m+n}(x)+T_{|m-n|}(x)),$$

于是函数乘法在基指标上退化为整数加法与减法——可用 ADD/SUB/MOD 算术电路（QFT 加法器 + CNOT 层）实现的模运算：

图:Chebyshev 乘法算符 M̂ 的电路实现——乘积恒等式化为指标算术,经 ADD/SUB/MOD 与 QFT 加法器执行(来源:QC058)

乘积态 $|f^2⟩$ 由寄存器扩展（副本 + 算术电路 + 重归一化）生成，系统规模只随非线性次数 $p$ 线性增加——$f^p$ 项的编码成本为 $O(N+p)$。自动微分同样被”基感知”算子（在基空间表示 $\partial /\partial x$ 的作用）替代。演示算例从线性 ODE（$df/dx-f+15=0$，$f(0)=16$）到非线性 $df/dx-f^2=0$（$f(0)=0.5$）再到多维 $df/dy-2y-x=0$；“shifted model”（解按基函数平移重整化）比常规缩放模型的训练 epoch 少约一个数量级。

混合 HQPINN：量子深度注入层与 3D CFD

图:HQPINN 架构——经典 MLP 与并行混合层交织,后者 16 个单元中 15 个走量子通道(3 比特变分线路)、1 个走经典通道;配点分四组分别施加方程与边界约束(来源:QC057)

Sedykh 等（Terra Quantum）把量子层嵌入经典 PINN 得到 HQPINN：主干是输入 $(x,y,z)$、输出 $(\mathbf{v},p)$ 的经典 MLP（$l=5$ 个隐层，圆柱算例 $n=128$、Y 型混合器 $n=64$，SiLU 激活），中间插入并行混合层（Parallel Hybrid Network）——16 个并列单元中 15 个由量子线路实现、1 个保留经典通道，量子与经典特征并联后再进入后续层Sedykh et al. 2023 (MLST)。量子单元为 3 比特线路：编码层重复 $d=5$ 次叠加变分层 $m=2$ 次，$R_y$ 旋转门与 CNOT 纠缠交替，末端测量 ${\sigma }_z$ 期望值作为输出特征。训练用全批次，先 Adam 1000 epochs 再 L-BFGS 100 epochs；配点分为流体域/壁面/入口/出口四组，分别施加定常不可压 NS 方程（四个分量方程各计损失求和）或边界条件。结果：

• 3D 圆柱绕流（Re=10，水，25000 个 OpenFOAM 网格点）：HQPINN 对 OpenFOAM 参考解的速度平均相对误差 1.2%、压力 0.8%；
• 3D Y 型混合器层流：经典 PINN 因梯度消失在混合点前退化为零解；HQPINN 配合迁移学习（混合角 $\alpha =30°\to 35°$ 逐度传递，每步 L-BFGS 100 epochs）成功跟踪几何参数变化；
• 总体上 HQPINN 相对同规模纯经典 PINN 损失降低 21%——量子层缓解但并不根治 3D 复杂几何下 PINN 的退化。

四条实现路径与批判

按 2025 年综述的分类Amaral et al. 2025 (Braz. J. Phys.)，QPINN 的实现路径可归纳为四条：

路径	非线性来源	代表	特点
显式线性量子模型	无（仅线性方程）	基系数线性组合编码	结构最简单，只覆盖线性问题
非线性增强量子模型	乘法算子/数据重上传/多副本	潜空间求解器（QC058）	非线性经算术电路编码，$O(N+p)$
QNN 式 QPINN	逐点期望值 + 经典组合	DQC 逐点残差	与经典 PINN 同构，继承配点成本
混合 HQPINN	经典网络的非线性 + 量子层注入	Sedykh（QC057）	工程上最成熟，3D CFD 已验证

批判性地看：Sedykh 的 3 比特量子层完全可经典仿真（作者自注超过 20 比特才需真机），“更高表达力”的证据是特定算例的损失下降而非渐近优势；综述给出的 Burgers 示例（HQPINN 321 参数对经典 1341 参数、相同 epoch 下精度超一倍）同样来自仿真。普遍性风险包括变分线路的贫瘠高原（barren plateau）、期望值估计的测量开销、以及数据/解的编码读出成本（见io-problem）。量子侧真正结构性的收益——避免逐点求值的重叠损失、$O(N+p)$ 非线性编码——目前也只在可经典仿真的小规模上验证过。

延伸阅读

• variational-pde-solver
• quantum-spectral-method
• qml-cfd-landscape
• ml-turbulence-closure
• quantum-generative-models