定义：稀疏性的量子版
一个 CSS 型稳定子码由两套校验矩阵 定义，约束为行重量（每个校验作用的量子比特数）与列重量（每量子比特参与的校验数）均有常数上界 。把向量空间排成三项链复形（chain complex）
则 CSS 条件 恰好是链复形的 ，逻辑算符对应同调群：Z 型逻辑空间为 ，X 型对偶地取 ，逻辑维数
这个”链复形即量子码”的视角是 2009 年后几乎所有 qLDPC 构造的公共语言——超图积、平衡积、提升积本质上都是构造链复形乘积的不同配方Breuckmann & Eberhardt 2021 (PRX Quantum)。
稀疏性的回报与经典侧同源但更沉重：其一，综合征提取电路每轮只需 个双比特门（浅电路直接压低测量噪声的贡献，见syndrome-extraction）；其二，校验矩阵稀疏使置信传播类迭代译码可行（bp-osd-decoding）；其三，稀疏校验不受量子 Singleton 与 Hamming 型界的额外惩罚，码率可以接近 1/2 而距离仍线性增长——这是表面码（码率随 衰减）做不到的。
为什么放弃几何局域性
表面码是”几何局域的 qLDPC”：校验重量 4、每比特 4 个校验，但校验只能连相邻比特。二维局域性的代价被 Bravyi–Poulin–Terhal 定理钉死：（见locality-bounds）——常数码率与线性距离在 2D 格点上不可兼得，表面码 、 已经是紧标度。qLDPC 的选择是保留”稀疏”、放弃”局域”：允许校验连接相距很远的量子比特（长程边），换回 与 同时成立的可能。代价则是硬件连通性与译码吞吐，见qldpc-hardware。
构造谱系 2009–2026
- 2009，超图积（HGP）：Tillich 与 Zémor 证明任意两个经典 LDPC 码的 Tanner 图乘积给出正码率、 的量子码Tillich & Zémor 2009 (IEEE-IT)——环面码正是”循环码×循环码”的特例。 由此成为此后 12 年的距离天花板。
- 2020，三线破 ：Hastings 的纤维丛码、Panteleev–Kalachev 的提升积Panteleev & Kalachev 2020 (IEEE-IT)、Breuckmann–Eberhardt 的平衡积Breuckmann & Eberhardt 2020 (IEEE-IT)在同年独立把距离推进到 至 量级，突破 屏障。
- 2021，渐近好码：Panteleev–Kalachev 用非阿贝尔群上的提升积构造出常数码率、常数相对距离的码族，一锤定音地回答了 qLDPC 猜想Panteleev & Kalachev 2021 (STOC)；Leverrier–Zémor 的量子 Tanner 码随后给出概念上更简的版本Leverrier & Zémor 2022 (FOCS)。好码也补齐了常数开销容错计算的拼图——Gottesman 2013 证明好码族上容错开销可为常数Gottesman 2013 (arXiv)。
- 2023，实用化转折：IBM 的双变量自行车（BB）码 以 288 物理比特、恒定 7 层 CNOT 的综合征电路和 0.8% 的电路级阈值，第一次让 qLDPC 在数百比特尺度上与表面码正面竞争Bravyi et al. 2023 (Nature)。
- 2025–2026，落地与井喷：自行车架构与 Pinnacle 架构给出端到端资源估计（见qldpc-vs-surface），IBM 处理器演示落地（ibm-qldpc-demo），同时陪集基、镜像、幻影、非阿贝尔、AI 发现等新构造密集出现（见qldpc-frontier-2026）。
与两侧接口
经典侧：qLDPC 的构造原料就是经典 LDPC 码（ldpc-classical、tanner-graphs），译码也直接继承 BP+OSD；拓扑侧：环面码/表面码族是几何局域的特例（toric-code、homological-codes），qLDPC 可视为”去掉几何约束的同调码”。子系统化（subsystem-codes）与 Floquet 化（floquet-codes-overview）两条推广路线同样适用于 qLDPC。