子系统码

子系统码（subsystem code）把量子信息编入希尔伯特空间的一个子系统而非子空间：$\mathcal{H}=(\mathcal{C}\otimes \mathcal{D})\oplus \mathcal{E}$，规范自由度 $\mathcal{D}$ 上发生什么一概不管。这个由 Kribs 等的算符量子纠错（operator QEC）与 Bacon 的 Bacon–Shor 码确立的框架，把”必须测量高权重稳定子”放宽为”测量局域规范块再相乘合成”——权重 2 的规范测量取代权重 $2n$ 的稳定子测量。理论回报同样硬：Bravyi 2011 证明 2D 空间局域约束下子系统码的参数上界从稳定子码的 $k{d}^2=O(n)$ 抬高到 $kd=O(n)$——子系统码在局域约束下严格强于稳定子码。

规范结构：三层群分解

子系统码由嵌套的 Pauli 子群刻画Bravyi 2011 (Phys. Rev. A)：

• 规范群 $\mathcal{G}$：包含稳定子与”未用逻辑”的最大军群， $\mathcal{G}=⟨\mathcal{S},{\bar{X}}_{k+\mathrm{1..}k+g},{\bar{Z}}_{k+\mathrm{1..}k+g}⟩;$
• 稳定子群 $\mathcal{S}=\mathcal{C}(\mathcal{G})\cap \mathcal{G}$：规范群的中心与自身的交——真正约束态的部分；
• 逻辑算符：只需与 $\mathcal{G}$ 全体对易（不必与 $\mathcal{G}$ 之外的任何东西对易）。着衣逻辑算符（dressed logical） $=\stackrel{ˉ}{}\times \mathcal{G}$：裸逻辑算符乘规范算符仍是合法逻辑算符；码距 = 最小权重着衣逻辑算符。

纠错判据的放宽正源于此：恢复算子只需在 $\mathcal{C}$ 上等效恒等，在 $\mathcal{D}$（规范子系统）上可以任意作用（推导见bacon-shor）。规范算符本征值可以”自由取值”——测量时不必测完整稳定子，只测局域规范块，把读数按模 2 相乘即合成稳定子本征值，这就是子系统码测量优势的机制内核。

参数上界：kd=O(n) 对 kd²=O(n)

Bravyi 对 2D 子系统码（规范群空间局域生成）证明了Bravyi 2011 (Phys. Rev. A)：

$kd=O(n),d^2=O(n);$

而 2D 稳定子码的上界是 $k{d}^2=O(n)$（Bravyi–Poulin–Terhal，见locality-bounds）。两个界之差就是子系统化的收益空间：规范自由度吃掉了 $d$ 的一个因子。配套的存在性定理（定理 1）：存在 2D 子系统码族，规范群只含最近邻 2 体 XX/ZZ 生成元（加单体），同时达到 $k=\Theta (L)$、$d=\Theta (L)$——证明靠经典码的 Gilbert–Varshamov 界（非构造性），但说明上界不是空头的。

精细条件值得记：更强的 $k{d}^2=O(n)$ 在稳定子群也空间局域时仍然钳制子系统码——Bombín/Ali 系的拓扑子系统码因此停在 $k{d}^2=O(n)$ 类；要真正吃满 $kd=O(n)$，稳定子必须由规范乘积非局域地合成。

广义 Bacon–Shor 码与三个代表家族

广义 Bacon–Shor 码（同一论文引入）：取任意 0/1 矩阵 $A$，量子比特放在非零元处；同行比特对生成 $XX$、同列生成 $ZZ$ 规范生成元，参数 $n=|A|$、$k=\mathrm{rank}(A)$、$d$ 由行列经典码距决定；全 1 矩阵退化为标准 2D Bacon–Shor（$d=\sqrt{n}$、$k=1$，紧致达到 $d^2=O(n)$）。裁剪 $A$ 即得偏置噪声定制码（见bacon-shor）Bravyi 2011 (Phys. Rev. A)。

三个拓扑方向的代表：

1. 三体校验子系统表面码：Bravyi–Duclos-Cianci–Poulin–Suchara 把子系统化作用在表面码上，用 XXX/ZZZ 三体规范检查替代四体稳定子，电路级阈值 0.6%，若硬件能直接测三体算符则升到 0.97%Bravyi et al. 2013 (Quant. Inf. Comp.)；
2. heavy-hex 码：IBM 度 3 格上的混合 surface/Bacon–Shor 子系统码——子系统化换连通性，代价是 extensive 稳定子与无阈值（详见heavy-hex-code）；2026 年 dynamic compass 码用权重 2/4 校验交替的动态调度恢复阈值，是子系统码”调度即协议”的最新例证；
3. 环面码子系统化：Sharma–Pujari 2026 年给出系统框架——对环面码格点做空间改造（进入反对易量子自旋液体型结构），稳定子码性质被破坏，但广延的反对易局域守恒量带来广延基态简并，即子系统自由度；这把”哪些自旋液体能当码用”变成可分析的问题Sharma & Pujari 2026 (arXiv)。

代价清单

子系统码不是免费午餐：着衣逻辑算符比裸逻辑算符多（译码图更复杂）、规范测量的时序调度更精细、部分方案牺牲阈值（heavy-hex 码）或码距（Bacon–Shor 的 $d=\sqrt{n}$）。三维推广（分形 Bacon-Shor）可同时保距离与子系统优势，见fractal-codes。

延伸阅读

• bacon-shor
• heavy-hex-code
• fractal-codes
• locality-bounds
• syndrome-extraction
• topological-code-comparison