蜂窝码｜量子纠错码知识库

蜂窝码（honeycomb code）是 Hastings 与 Haah 2021 年提出的首个 Floquet 码（Quantum 5, 564）：qubit 放在六角格顶点上，只测 XX/YY/ZZ 型两比特算符，但测量按 0→1→2 循环的三色调度逐轮推进。作为子系统码它一个逻辑比特都不编码；调度本身却在环面上动态生成 2 个逻辑比特，任意时刻的瞬时稳定子群都等价于一个 toric 码。它的每轮测量都诱导 e 与 m 任意子的互换，逻辑算符的周期因此是 6 而非 3；译码图是两份剪切立方格，可用标准匹配译码拿到正阈值。

蜂窝码的面与边标号 — 图:面与边的双标号——左:按方向分 x/y/z 三型边;右:六角面按 0/1/2 三着色,边延伸后两端落在同色面上即得数字标号,共 9 种边型(来源:QE210)

码定义：字母 × 数字的 9 种边型

qubit 放在六角格（honeycomb lattice）顶点上。边按方向分 x/y/z 三型，对应 check 为 XX/YY/ZZ；六角面可 3-着色，标号 0/1/2，相邻面异号。边再按”沿边方向略微延伸后两个端点落入的面同色 a”获得数字标号——每条边于是有字母（Pauli 类型）与数字各一，共 9 种边型Hastings & Haah 2021 (Quantum)。测量调度：

第 r 轮测量所有数字标号 = r mod 3 的 check ， r = 0, 1, 2, 3, \dots

每个 qubit 恰有 3 条不同类型的边相连，因此每轮每个 qubit 都恰好参与一次两体测量。调度本身就是码——若改按 x/y/z 字母轮测，长环路算符会进入 ISG，逻辑空间被摧毁。

子系统码视角：为什么 k=0

环面上设六角面数 $n_{p}$ ，则 qubit 数 $2 n_{p}$ 、边数 $3 n_{p}$ 。check 全体只差一个整体冗余（全部 check 之积为恒等），规范群维数 $3 n_{p} - 1$ 。任何闭回路上 check 之积是对易于一切 check 的稳定子；其中平凡同调的由 plaquette 稳定子（权重 6）生成，全体 plaquette 稳定子又差一个冗余，加上两个环绕环面不同方向的长环路稳定子，稳定子群维数 $n_{p} + 1$ 。规范比特数 $g = \frac{( 3 n _{p} - 1 ) - ( n _{p} + 1 )}{2} = n_{p} - 1$ ，与稳定子维数之和恰好占满 $2 n_{p}$ ——子系统码意义下 $k = 0$ Hastings & Haah 2021 (Quantum)。

ISG 逐轮推导：r mod 3 的稳定结构

从最大混合态出发跟踪 ISG $S (r)$ 。关键引理：测完第 $r - 1$ 与 $r$ 轮的 check 即可推断第 $r + 1 mod 3$ 型面的 plaquette 稳定子——因为该面六 qubit 尚未与任何同型面交换信息，逐个加入本轮三个 check（两反交换、一交换）便把它挤出稳定子。逐轮归纳Hastings & Haah 2021 (Quantum)：

$S (0) = ⟨ 0 型 check ⟩$ ；
$S (1) = ⟨ 1 型 check, 2 型 plaquette 稳定子 ⟩$ ；
$S (2) = ⟨ 2 型 check, 2 型与 0 型 plaquette 稳定子 ⟩$ ；
$r \geq 3$ ： $S (r) = ⟨ r mod 3 型 check, 全部 plaquette 稳定子 ⟩$ 。

稳态 ISG 有 $2 n_{p}$ 个生成元但含两个冗余（全部 plaquette 稳定子之积为恒等；本轮 check 与同型 plaquette 稳定子之积重复），维数 $2 n_{p} - 2$ ，稳定一个 $2^{2} = 4$ 维子空间——环面上 2 个逻辑比特，且 ISG 永不含同调非平凡的长环路算符。副产品：每条本轮 check 的两 qubit 合成一个有效 qubit（深度 1 电路解纠缠），plaquette 稳定子映射为六角超格上 toric 码的 plaquette/vertex 项——4 轮两体测量即可制备 toric 码态。

逻辑算符：inner、outer 与周期 6

两类逻辑算符Hastings & Haah 2021 (Quantum)：

inner logical：环路上 check 之积，与一切 check 对易（作为子系统码属于稳定子群），静态不随轮变。截断成开弦后端点仍与所有 plaquette 稳定子对易。
outer logical：不属于子系统码稳定子群；截断后端点违反某些 plaquette 稳定子。它逐轮更换代表元：在嵌入 toric 码语言里，第 $r$ 轮取 magnetic 算符 $Q (r)$ 、第 $r + 1$ 轮换成 electric 算符 $Q (r + 1)$ ，且 $Q (r + 1) Q (r)^{†} \in S (r)$ ——每轮 m↔e 互换。

outer 逻辑算符逐轮 m↔e 切换 — 图:码形变视角下的 outer 逻辑算符动力学——左:第 r 轮(0 mod 3)的 magnetic 弦;右:第 r+1 轮的 electric 弦;一个周期内 m↔e 切换奇数次,outer 算符被乘上平行的 inner 算符(来源:QE210)

周期计数：ISG（不计符号）周期 3，但每周期 outer 算符 e↔m 互换奇数次。e、m 皆玻色子，二者之差是输运费米子 $ε = e \times m$ 的算符，不可能是 outer；故差必为 inner——每个周期 outer 算符被乘上平行的 inner 算符，逻辑算符的真正周期是 6。inner 输运费米子可由 T-exchange 过程直接验证：取共享端点 0 的三段 inner 算符 $O_{a}, O_{b}, O_{c}$ ，交换算符 $(O_{c}^{†} O_{b}) (O_{a}^{†} O_{c}) (O_{b}^{†} O_{a})$ 中除端点 0 处的 check 外全部相消，剩下（按 Pauli 重标） $X Y Z X Y Z = - 1$ Hastings & Haah 2021 (Quantum)。

outer 算符本征值的符号依赖从初始化至今的 2+1 维时空测量”膜”——单轮 check 符号完全随机，必须记录历史才能推断逻辑本征值。这是动态码与静态码的本质差异。

容错与译码：两份立方格

syndrome bit 取为 plaquette 稳定子本征值，每轮刷新其中 $1/3$ ；无噪声时恒为 $+ 1$ 。单个 qubit 错误恰翻转 2 个 syndrome bit。把错误对易穿过随后同型的 check 后，简化错误模型只剩”每 qubit 在刚测过的 check 类型上独立出错”；错误对在时空中的位移由 $s_{1} + s_{2}, s_{2} + s_{3}, s_{3} + s_{1}$ 三个矢量生成，张成全体潜在 syndrome 位点的偶子格——译码图 = 两份简单立方格 1-skeleton 的拷贝，(111) 方向为时间轴。MWPM 匹配 + Peierls 论证给出正阈值；测量错误可折算成一对 qubit 错误Hastings & Haah 2021 (Quantum)。一维阶梯码（ladder code，ZZ/XX/ZZ/YY 四轮循环）是这套机制的最小教学模型：check 错误只翻两个一次性 syndrome bit、天然短命。

电路级性能（Gidney–Newman–Fowler–Broughton，Stim 自动生成匹配图 + correlated MWPM）：CNOT 电路模型阈值 0.2%–0.3%（对照旋转表面码 0.5%–0.7%）；原生两体测量模型阈值 1.5%–2.0%； $p = 1 0^{- 3}$ 时约 600 物理比特达到 teraquop（ $1 0^{- 12}$ 逻辑错误率）Gidney et al. 2021 (Quantum)。

蜂窝码电路级阈值 — 图:蜂窝码记忆实验的逻辑错误率与电路级阈值估计——CNOT 电路模型 0.2%–0.3%,显著低于旋转表面码,但两体测量原生模型可达 1.5%–2.0%(来源:QE209)

平面边界：周期 6 调度与 d=(4/3)ℓ

平面化需要 armchair 边界（附 2-gon/4-gon 面保持三价）。朴素周期 3 边界不容错：体内每轮 e↔e/m 互换，但 $r = 2 \to 0 mod 3$ 的边界类型不变（同为 rough），e 粒子 3 轮后变 m、经角部的常数量时空 fault 即可完成逻辑错误。Haah–Hastings 的解法是体内调度改为周期 6： $\dots, 0, 1, 2, 0^{*}, 2, 1, \dots$ （ $0^{*}$ 表示跳过边界上的 0 型边），使边界条件随时间与体内任意子自同构同步交替Haah & Hastings 2022 (Quantum)。平行四边形 patch 族达到

d = \frac{4}{3} ℓ, n = \frac{9}{8} d^{2},

与颜色码共享 $9/8$ 因子；另有 $n = 6 m^{2}$ 、 $d = 2 m$ 的细距离族。纯两体 check 下”体内周期 3 + 无泄漏边界”存在拓扑障碍（Majorana dimer 绕环奇偶守恒），周期 6 正是绕开手段。

蜂窝码平行四边形 patch — 图:编码单个逻辑比特的平行四边形 patch——4-gon 与 2-gon 边界交替,体内跑周期 6 调度 0',1,2,0'',2,1,角点处边界条件切换(来源:QE213)

动态电路变体：免辅助比特与泄漏清除

Claes 2025 年把动态电路（dynamic circuit，无辅助比特的测量：短电路 $U$ 把 $P = \otimes_{i} P_{i}$ 收缩到单比特 $P_{i^{*}}$ 直接测量）应用于蜂窝码Claes 2025 (PRA)：每 qubit 每 4 层两比特门后被测一次 → 自动除泄漏；timelike 距离从标准电路的 $\frac{4}{3} d_{t}$ 轮降到 $d_{t}$ 轮；代价是空间距离需要 $(L_{1}, L_{2}) = (2 d, 3 d)$ 而非 $(d, 2 d)$ 。资源账： $L_{1} L_{2}$ qubit + $\frac{3}{2} L_{1} L_{2}$ coupler（对照标准电路 $\frac{5}{2} L_{1} L_{2}$ + $3 L_{1} L_{2}$ ）；阈值 0.29%（MWPM）/0.35%（correlated matching），高于标准电路的 0.22%/0.27%； $p = 1 0^{- 3}$ 时 teraquop 足迹省约 3 倍 qubit。

标准与动态 gauge 测量电路 — 图:上:标准辅助比特电路测 XX gauge;下:动态电路把 gauge 算符收缩到单比特直接测量,YY/ZZ 轮交替测量比特以清除泄漏(来源:QE225)

变体与延伸

Majorana/tetron 表示下 check 测量即原生操作，平面版性能基准见 Paetznick 等Paetznick et al. 2022 (arXiv)与 Gidney 等Gidney et al. 2022 (Quantum)。CSS 版本、双曲格点版本与色码动态化见color-floquet-codes；把 e↔m 自同构升级为可编程逻辑门见dynamical-code-design；2026 年的时空分形化推广见floquet-frontier-2026。

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