旋转对称玻色子码

旋转对称玻色子码（rotation-symmetric bosonic code）是 Grimsmo、Combes 与 Baragiola 在 2019–2020 年提出的统一框架（Phys. Rev. X 10, 011058）：凡是码空间在离散旋转算符 ${\hat{R}}_N=e^{2\pi i\hat{n}/N}$ 下不变的谐振子编码——猫码、二项式码、Pegg–Barnett 码、压缩真空码——都是其成员。GKP 码靠相空间的离散平移对称，旋转码靠离散旋转对称，两者互为对偶；框架给出”数字距离—旋转距离”的双距离语言、码无关的 CROT 纠缠门与 telecorrection 纠错方案，把此前各写各的三大玻色码族放进同一张设计图。

图:四个 $N=4$ 旋转码的原语态球棍图与 Wigner 函数:4 腿猫、4 腿压缩猫、$N=4$ 二项式码、$N=4$ Pegg–Barnett 码——同一旋转对称结构,不同的"腿形"(来源:QE178)

定义：Z_N 本征结构

定义离散旋转算符Grimsmo, Combes & Baragiola 2020 (PRX)：

$${\hat{Z}}_N=\exp \left(i\frac{\pi }{N}\hat{n}\right),{\hat{R}}_N={\hat{Z}}_N^2=\exp \left(\frac{2\pi i}{N}\hat{n}\right),$$

旋转码的码空间是 ${\hat{R}}_N$ 的不变子空间（${\hat{R}}_N$ 在码空间上恒等，充当稳定子），而 ${\hat{Z}}_N$ 在码空间上实现逻辑 $\bar{Z}$。由 ${\hat{Z}}_N|\psi ⟩={\sum }_n{e}^{i\pi n/N}{a}_n|n⟩$ 直接读出 Fock 支集结构：${\hat{Z}}_N$ 的 +1 本征态只支在 $n=2kN$ 上，−1 本征态只支在 $n=(2k+1)N$ 上——码字是间隔为 N 的 Fock 格上的叠加态。与 GKP 对偶的关键差异：旋转算符保光子数，因此理想码字物理可实现，不需要无限能量（GKP 的平移对称要求无限窄的梳齿）。

码字可由任意归一化”原语态”（primitive state）$|\Theta ⟩$ 旋转叠加构造：

$$|0_N⟩\propto \sum _{m=0}^{2N-1}({\hat{Z}}_N{)}^m|\Theta ⟩,|1_N⟩\propto \sum _{m=0}^{2N-1}(-1{)}^m({\hat{Z}}_N{)}^m|\Theta ⟩,$$

两码字对任意合法 $|\Theta ⟩$ 严格正交。取 $|\Theta ⟩=|\alpha ⟩$ 得猫码、取二项式系数叠加得二项式码——原语态是”腿形”，N 是”腿数”。

双距离与 trade-off

框架用两个距离刻画码的鲁棒性（式 13）Grimsmo, Combes & Baragiola 2020 (PRX)：

$$d_n:=N(\text{数字距离}),d_{\theta }:=\pi /N(\text{旋转距离}).$$

• $d_n$：幅度小于 $d_n$ 的数字移位误差（${\hat{a}}^k$、$({\hat{a}}^{†}{)}^k$，$k<N$）可检测——Fock 格的间隔把不同错误字分开，这正是猫码/二项式码抗损耗能力的来源；
• $d_{\theta }$：小于 $d_{\theta }$ 的相空间旋转 $e^{i\theta \hat{n}}$（$\theta <\pi /N$）可检测——相位方向的”格距”。

两者此消彼长是硬约束：$d_n{d}_{\theta }=\pi$ 为常数。N 大的码（如高阶二项式码）Fock 上更稀疏、更抗损耗，但相位格更密、更怕退相干；N 小的码（如 2 猫）相反。这解释了猫码”损耗容忍↑则退相干敏感↑“的经验权衡，也把码设计明确为一个沿 $d_n$–$d_{\theta }$ 预算线选点的问题。number-phase 码子类取模相位不确定度趋零的极限，此时数字↔位置、相位↔动量，理想 number-phase 码与理想 GKP 码精确对偶——猫码与二项式码都在 $\bar{n}\to \infty$ 时趋近该极限。

图:双距离的物理图像:(a) Fock 阶梯上的损耗/退相干过程——数字移位沿阶梯上下走;(b) 相空间中 $|{\pm }_N⟩$ 本征态的角向间隔 $d_{\theta }$——旋转误差小于该间隔时可区分(来源:QE178)

码无关门组：CROT 与 telecorrection

框架的门组不依赖具体原语态：(i) 逻辑 $\bar{Z}$ 由 ${\hat{Z}}_N$ 直接实现（一次物理旋转）；(ii) 两模纠缠门取条件旋转（式 23–24）：

$${\mathrm{CROT}}_{NM}:=\exp \left(i\frac{\pi }{NM}\hat{n}\otimes \hat{n}\right),{\mathrm{CROT}}_{NM}|i_N⟩\otimes |j_M⟩=(-1{)}^{ij}|i_N⟩\otimes |j_M⟩,$$

第二个等式只用 Fock 支集 $n\in N\mathbb{Z}$、$m\in M\mathbb{Z}$ 的事实，故 CROT 对任意两个旋转码（哪怕 N≠M）都充当逻辑 CZ——这是”码无关接口”，可与压缩态等 Gaussian 资源配合实现。配上 ${\hat{S}}_N$ 型相位门、制备与测量即得 Clifford 组，魔法态注入补全普适性Grimsmo, Combes & Baragiola 2020 (PRX)。

telecorrection 是 Knill 纠错的玻色版：消耗一个新鲜辅助模，CROT + 相位测量把错误信息转成测量结果，恢复完全在软件里跟踪（Pauli frame），免掉非线性恢复操作。误差传播分析给出”小错保持小”的保证：数字移位 $k$ 穿过 ${\hat{S}}_N$ 型门后变成 ${\theta }_k=\pi k/N^2$ 的附加旋转误差——若 $|k|<d_n/2$，则 $\pi k/N^2<d_{\theta }/2$ 仍可纠，类比比特码上恒定深度线路的光锥约束；穿过 CROT 则在两模间按 $\pi k/(NM)$ 比例互换错误类型。数值上，猫码与二项式码在 $N=2$–4、$\kappa t\in [10^{-3},10^{-2}]$ 的噪声下超 break-even 数个数量级，telecorrection 接近数值最优恢复映射；容错方案将 number-phase 码与 Bacon–Shor 子系统码级联（见bacon-shor、subsystem-codes）。

两个实例走一遍预算

用家族里最熟的两个成员看双距离怎么花：

• 2 猫（N=1）：$d_n=1$——不纠任何数字移位（单光子损耗把态留在码空间内、直接翻逻辑），$d_{\theta }=\pi$——除了整整 $\pi$ 的两井对调（那本身就是逻辑操作）外，其余旋转都在可检测范围内。这是”极端押注相位”的码：损耗交给宇称监测当可追踪错误处理，相位方向几乎免费；
• 4 腿猫（N=2）：$d_n=2$——可检测单光子损耗（错误字落入正交奇宇称子空间），$d_{\theta }=\pi /2$——只保 $\pi /2$ 以内的旋转。Ofek 实验的四相位交错基正是把这个结构当”损耗 = $\pi /2$ 旋转序列”来用（见cat-codes）；
• $(N,S)$ 二项式码：间距 $S+1$ 承担数字距离的角色、二项式系数承担”同速率犯错”的矩平衡——旋转框架把两件事拆成 $d_n$ 与矩匹配两个独立旋钮（见binomial-codes）。

同一预算线的另一端是 GKP：它把全部预算押在平移方向（位置与动量两个方向的”重复”），旋转对称则完全不保——这就是”平移码 vs 旋转码”的精确对偶含义。

家族成员与后续

统一视角下的成员：猫码（$N=1$）、4 猫（$N=2$）、二项式码（任意 N）、Pegg–Barnett 相位码、以及 2025 年的压缩真空码（Gaussian 原语态，见bosonic-frontier-2026）。框架的 Fock 支集语言直接预言了”间距 ≥2 才能纠损耗”的设计规则，与binomial-codes的矩平衡互补：间距管”错不错认”，矩平衡管”不变形”。2026 年 Ahmed–Udupa–Ferrini 把旋转对称推广到多模群论构造（见multimode-bosonic-codes）Ahmed, Udupa & Ferrini 2026 (PRResearch)。

延伸阅读

• cat-codes
• binomial-codes
• gkp-codes
• bosonic-qec-overview
• bosonic-frontier-2026
• subsystem-codes