二项式码

二项式码（binomial code）由 Michael、Silveri、Albert 等人（Devoret 与 Jiang 组）在 2016 年提出（Phys. Rev. X 6, 031006）：把量子比特编码在有限个 Fock 态上，系数取二项式系数的平方根。它的独门本领是”精确”二字——不像猫码与 GKP 码依赖相干态近正交或有限能近似，二项式码对最多 L 个光子损耗、G 个增益与 D 阶退相干的错误集严格满足 Knill–Laflamme 条件，而且单模即可处理连续时间耗散的 no-jump 演化。2023 年清华段路明组用它实现了离散变量编码的逻辑比特超越 break-even。

图:$(N,S)$ 参数空间:横轴 Fock 间距 $S+1$,纵轴矩匹配阶数 $N$;三个示例码 $(N,S)=(1,1),(2,2),(2,1)$ 分别纠 1 损耗、纠 $\{\hat{I},\hat{a},{\hat{a}}^2,\hat{n}\}$、纠 $\{\hat{I},\hat{a},\hat{n}\}$,Fock 支集的格点与二项式系数都画出(来源:QE172)

构造：(N, S) 参数化的 Fock 格

码字取（原文式 7）：

$$|W_{\uparrow /\downarrow }⟩=\frac{1}{\sqrt{2^N}}\sum _{peven/odd}^{[0,N+1]}\sqrt{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N+1}{p}\right)}|p(S+1)⟩,$$

即 Fock 态按间距 $S+1$ 取格点，系数是二项式系数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N+1}{p}\right)$ 的平方根（$\uparrow$ 取偶 $p$、$\downarrow$ 取奇 $p$）。最低几阶示例Michael et al. 2016 (PRX)：

• $(N,S)=(1,1)$：$|W_{\uparrow }⟩=(|0⟩+|4⟩)/\sqrt{2}$，$|W_{\downarrow }⟩=|2⟩$——纠 1 个光子损耗（错误集 $\{\hat{I},\hat{a}\}$），$\bar{n}=2$（这就是 Ni 2023 实验用的码）；
• $(N,S)=(2,2)$：$|W_{\uparrow }⟩=(|0⟩+\sqrt{3}|6⟩)/2$，$|W_{\downarrow }⟩=(\sqrt{3}|3⟩+|9⟩)/2$——纠 $\{\hat{I},\hat{a},{\hat{a}}^2,\hat{n}\}$（2 损耗 + 退相干）或 $\{\hat{I},\hat{a},{\hat{a}}^{†},\hat{n}\}$（1 损耗 + 1 增益 + 退相干）；
• 同型但 $S$ 减半的 $(N,S)=(2,1)$：$|W_{\uparrow }⟩=(|0⟩+\sqrt{3}|4⟩)/2$，$|W_{\downarrow }⟩=(\sqrt{3}|2⟩+|6⟩)/2$——只纠 1 损耗但多保一阶退相干 $\{\hat{I},\hat{a},\hat{n}\}$。

参数语义：$N=\max \{L,G,2D\}$ 控制矩匹配到几阶，$S=L+G$ 控制错误字支集不重叠。间距 $S+1$ 保证 ${\hat{a}}^{\ell }$（$\ell \le S$）作用后的”错误字”支集互不重叠（Kraus 矩阵 ${\alpha }_{ij}$ 对角化），测量广义宇称（光子数 $\mathrm{mod}(S+1)$）即可区分发生了几阶错误；Fock 系数本身则负责让两码字”以相同速率犯错”。

矩平衡：精确纠错的证明

Knill–Laflamme 条件（见knill-laflamme）对光子损耗错误集 $\{\hat{I},\hat{a},\dots ,{\hat{a}}^L\}$ 及其多项式组合的要求，可以约化为两码字的光子数矩相等：$⟨W_{\uparrow }|{\hat{n}}^{\ell }|W_{\uparrow }⟩=⟨W_{\downarrow }|{\hat{n}}^{\ell }|W_{\downarrow }⟩$ 对所有 $\ell \le N$。二项式系数恰好是这组矩方程的解——原文用生成函数一行证毕（式 8）：

$${\Delta }_{\ell }=⟨W_{\uparrow }|{\hat{n}}^{\ell }|W_{\uparrow }⟩-⟨W_{\downarrow }|{\hat{n}}^{\ell }|W_{\downarrow }⟩=\frac{(S+1{)}^{\ell }}{2^N}\sum _{p=0}^{N+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N+1}{p}\right)p^{\ell }(-1{)}^p=\frac{(S+1{)}^{\ell }}{2^N}{\left(x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)}^{\ell }(1+x{)}^{N+1}{|}_{x=-1}.$$

关键观察：算符 ${\left(x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)}^{\ell }$ 每作用一次至多把 $(1+x{)}^{N+1}$ 的幂次降 1，故 $\ell \le N$ 时结果仍是 $(1+x)$ 的非零次多项式，代 $x=-1$ 必为零——${\Delta }_{\ell }=0$ 对所有 $\ell \le \max \{L,G\}$ 严格成立（退相干错误 ${\hat{n}}^D$ 的幂次需求并入 $N=\max \{L,G,2D\}$）Michael et al. 2016 (PRX)。物理含义：错误率相同则量子态不变形——两码字被损耗信道”同等污染”，相干信息保住了。

no-jump 演化与恢复协议

连续时间耗散里，跳跃之间的确定性演化 $e^{-\kappa \delta t\hat{n}/2}$（每码字光子数指数衰减但速率相同）本身也是错误算符。二项式码对它同样满足 KL 条件到任意给定阶（矩平衡覆盖到 $\ell \le N$，误差始于 $(\kappa \delta t)$ 的高次项）——单模即可，不需要早期双模”孪生态”方案的辅助模式Michael et al. 2016 (PRX)。恢复操作三步：投影测广义宇称（诊断错误阶数 $\ell$）、幺正状态转移把 ${\hat{a}}^{\ell }|W⟩$ 映回码空间、能量回泵补偿 no-jump 衰减。渐近行为上 $N\to \infty$ 时二项式码趋近 $2(L+1)$ 腿猫码——它与猫码是同一旋转对称家族的不同成员（见rotation-symmetric-codes）。同等保真度下二项式码所需 $\bar{n}$ 小于猫码，对不可纠错误的码率约为 Chuang 等双模码的三分之一。

实验：频梳综合征检测

图:最低阶二项式码的 QEC 流程:码空间 $\{(|0⟩+|4⟩)/\sqrt{2},|2⟩\}$ 与单光子跳变后的错误空间 $\{|3⟩,|1⟩\}$ 正交,宇称检测区分二者,逻辑态在 Bloch 球上不受扰动(来源:QE182)

Ni 等（清华，Nature 616, 56）用 $\{|0_L⟩=(|0⟩+|4⟩)/\sqrt{2},|1_L⟩=|2⟩\}$ 编码：单光子跳变把码空间打到正交错误空间 $\{|0_E⟩=|3⟩,|1_E⟩=|1⟩\}$。频梳宇称检测是这项工作的控制亮点：在辅助 transmon 上施加含 2M 个频率分量的连续脉冲，把偶/奇宇称映射到辅助比特的 g/e——QND、且驱动频率瞄准错误空间而逻辑态不受扰动；连续驱动天然平均掉辅助比特退相干，且不要求码/错误空间有确定宇称，可推广到高阶码Ni et al. 2023 (Nature)。

图:频梳宇称检测:多频连续脉冲把宇称信息相干累积到辅助比特上,对不同 Fock 间隔的码字天然兼容——单频方案则需逐态寻址(来源:QE182)

单层与双层 QEC 循环的最优等待时间 $t_w\approx 90\mu \mathrm{s}$（二光子损耗与检测操作错误的权衡），双层循环把逻辑寿命做到 805 µs——超过系统最好物理比特（Fock 态编码的 break-even 基准）16%，详见bosonic-experiments。误差预算逐项核算（本征二光子损耗 / 检测 / 恢复 / 热激发）与实测吻合，是玻色码实验里账目最清楚的一批Ni et al. 2023 (Nature)。

延伸阅读

• rotation-symmetric-codes
• cat-codes
• bosonic-experiments
• knill-laflamme
• amplitude-damping-codes