振幅阻尼专用码

振幅阻尼专用码是"按信道定制量子码"的第一个范例：Leung、Nielsen、Chuang 与 Yamamoto 在 1997 年指出，当主导噪声过程已知（振幅阻尼），错误基只需覆盖真正会发生的 Kraus 效应，4 个比特即可纠正单比特能量弛豫——打破了 Pauli 基描述下"至少 5 比特"的下界。恢复算符的旋转角显式依赖衰减率 γ，依据的是放宽的近似纠错判据。这一思路是今天偏置噪声码与擦除转换硬件路线的思想源头。

振幅阻尼信道

振幅阻尼（amplitude damping）描述能量弛豫：激发态 $|1⟩$ 以概率 $\gamma$ 衰减到 $|0⟩$，Kraus 算符为

$A_0=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \sqrt{1-\gamma }\end{array}\right)(\text{无衰减}),A_1=\left(\begin{array}{cc}0& \sqrt{\gamma }\\ 0& 0\end{array}\right)(|1⟩\to |0⟩).$

用 Pauli 基展开则是 $A_0=\frac{1}{2}[(1+\sqrt{1-\gamma })I+(1-\sqrt{1-\gamma })Z]$、$A_1=\frac{\sqrt{\gamma }}{2}(X+iY)$Leung et al. 1997 (Phys. Rev. A)。它是超导比特 $T_1$ 过程的标准模型（见error-models）。

计数论证：n+1 对 2n+1

非简并码必须把每种待纠效应映到正交子空间，维数下界由效应个数决定：

• Pauli 基（通用码）：任意单比特错误都要纠，$n$ 比特有 $X/Y/Z$ 共 $2n$ 种非平凡效应加无错，$2n+1$ 个正交子空间 $\Rightarrow n\ge 5$——$[[5,1,3]]$ 因此是通用下限（见five-qubit-code）；
• Kraus 基（专用码）：一阶意义上 $n$ 比特的振幅阻尼只有”哪些比特各衰减一次”共 $n+1$ 种效应（$A_1$ 作用位置 + 全 $A_0$），$2(n+1)\le 2^n\Rightarrow n\ge 3$。

已知主导过程为振幅阻尼时，Pauli 基里”必然为零”的错误分量可以合法省略——4 比特专用码由此可行，这是没有经典对应的量子现象：近似纠错利用了量子态之间”几乎但不完全正交”的自由度Leung et al. 1997 (Phys. Rev. A)。

4 比特码与 γ 定制的恢复

码字取两组 GHZ 型叠加：

$|0_L⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0000⟩+|1111⟩),|1_L⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0011⟩+|1100⟩).$

图:4 比特振幅阻尼码的编码线路(来源:QE062)

恢复分三支：先用综合征线路测两个比特的奇偶得 $(M_2,M_4)\in \{00,10,01\}$，再按结果选择恢复支路 $W_k$。以无衰减支 $(0,0)$ 为例，输出态为

$a\frac{|00⟩+(1-\gamma {)}^2|11⟩}{\sqrt{2}}+b(1-\gamma )\frac{|01⟩+|10⟩}{\sqrt{2}}$

——两个逻辑分量携带不同的振幅因子 $(1-\gamma {)}^2$ 与 $(1-\gamma )$，靠一个旋转角为

$\tan \theta =(1-\gamma {)}^2$

的（受控）旋转把它们重新对齐；其余支路同理，另一支的角度满足 $\cos {\theta }^{\prime }=1-\gamma$。恢复算符显式依赖信道参数 γ：换了信道（或 γ 漂移）就要换恢复角——这是专用码与通用码的本质差别Leung et al. 1997 (Phys. Rev. A)。

图:(A) 综合征检测线路;(B)(C)(D) 三支恢复线路,旋转角 θ,θ′ 由 γ 定制(来源:QE062)

近似 Knill–Laflamme 判据

该码不满足精确判据 $P{E}_a^{†}{E}_{b}P=c_{ab}P$：例如 $P{A}_{0000}^{†}{A}_{0000}P$ 的本征值依赖逻辑态，相差 $O({\gamma }^2)$。Leung 等因此给出放宽版判据：

$\Vert P{E}_a^{†}{E}_{b}P-c_{ab}P\Vert =O({\gamma }^{3/2}),$

并证明满足此条件的码其保真度损失为 $\gamma$ 的二阶小量，同时给出系统的译码/恢复构造程序。近似纠错由此成为面向已知噪声的码设计工具，而非权宜之计Leung et al. 1997 (Phys. Rev. A)（精确判据见knill-laflamme）。

硬件路线的延续

“知道噪声是什么就按它设计码”在 2020 年代成为主流思路：偏置噪声下的 Bacon–Shor 变体（见bacon-shor）；单磁通量子比特把弛豫转换为擦除、从而在擦除信道下译码Liu et al. 2026 (arXiv)；2026 年噪声自适应纠错的盈亏平衡演示则直接延续了本文”按 γ 定制”的精神Joshi et al. 2026 (arXiv)。玻色子一侧的光子损失专用码（二项式码）是同一思想的谐振子版本（见binomial-codes）。

延伸阅读

• error-models
• knill-laflamme
• five-qubit-code
• binomial-codes