猫码

猫码（cat code）把量子比特编码在谐振子中两只相反相干态的叠加上，由 Cochrane、Milburn 与 Munro 等在 1990 年代末提出纠错用途，现代范式则由 Mirrahimi、Leghtas 与 Devoret 等在 2013–2014 年奠定：双光子驱动耗散把码空间钉在猫流形上，单光子损耗变成一类可监测、可纠正的逻辑错误，而两井之间的翻转随平均光子数指数压低。这一"偏置噪声"结构让猫码只需配一个重复码外码即可同时对付两类错误——Alice & Bob 与 AWS Ocelot 的整条工业化路线由此展开。

图:(a) 双光子过程:逻辑基取偶/奇猫 $|C_{\alpha }^{\pm }⟩$,Bloch 球 $Z$ 轴为宇称;(b) 四光子过程:逻辑基取 4 分量猫 $\{|C_{\alpha }^{(0\mathrm{mod}4)}⟩,|C_{\alpha }^{(2\mathrm{mod}4)}⟩\}$,单光子损耗把态移入奇宇称子空间待宇称监测纠正(来源:QE170)

定义：相干态叠加与码字族

相干态（coherent state）$|\pm \alpha ⟩$ 是湮灭算符的本征态：$\hat{a}|\pm \alpha ⟩=\pm \alpha |\pm \alpha ⟩$，重叠 $|⟨\alpha |-\alpha ⟩{|}^2=e^{-4|\alpha {|}^2}$ 随 $\bar{n}=|\alpha {|}^2$ 指数减小。偶/奇猫态（two-component cat）

$$|C_{\alpha }^{\pm }⟩={\mathcal{N}}_{\pm }\left(|\alpha ⟩\pm |-\alpha ⟩\right)$$

分别是光子数宇称 $\hat{\Pi }=e^{i\pi \hat{n}}$ 的 ±1 本征态，Fock 支集落在偶/奇光子数上。更一般地，$2N$ 分量猫 $|C_{\alpha }^{(j\mathrm{mod}2N)}⟩\propto {\sum }_k{e}^{i\pi kj/N}|\alpha e^{i\pi k/N}⟩$ 的 Fock 支集满足 $n\equiv j(\mathrm{mod}2N)$——4 猫的两个逻辑基取 $n\equiv 0$ 与 $n\equiv 2(\mathrm{mod}4)$，单光子损耗后落入 $n\equiv 1,3$ 的正交错误子空间，宇称监测即可识别Mirrahimi et al. 2014 (NJP)。

损耗→逻辑错误的映射推导

偶/奇猫基下（Mirrahimi 版）：由 $\hat{a}|C_{\alpha }^{\pm }⟩=\alpha ({\mathcal{N}}_{\mp }/{\mathcal{N}}_{\pm })|C_{\alpha }^{\mp }⟩$，量子跳变 $\hat{a}$ 严格把偶猫打到奇猫、奇猫打到偶猫——在逻辑基 $\{|C_{\alpha }^{+}⟩,|C_{\alpha }^{-}⟩\}$ 下这就是X 型比特翻转，速率 $\sim |\alpha {|}^2{\kappa }_1$ 随 $\bar{n}$ 线性增长Mirrahimi et al. 2014 (NJP)。

四相位交错基下（Ofek 版）：取逻辑基 $\{|C_{\alpha }^{+}⟩,|C_{i\alpha }^{+}⟩\}$（两只偶 2-猫，相位差 $\pi /2$），对任意编码态直接演算Ofek et al. 2016 (Nature)：

$$\hat{a}(c_0|C_{\alpha }^{+}⟩+c_1|C_{i\alpha }^{+}⟩)=c_0|C_{\alpha }^{-}⟩+i{c}_1|C_{i\alpha }^{-}⟩,$$ $$\hat{a}(c_0|C_{\alpha }^{-}⟩+i{c}_1|C_{i\alpha }^{-}⟩)\propto c_0|C_{\alpha }^{+}⟩-c_1|C_{i\alpha }^{+}⟩.$$

$c_1$ 前的系数依次变 $i$、变 $-1$：每损失一个光子，逻辑态绕 $Z_c$ 轴转 $\pi /2$，四次跳变转满 $2\pi$ 回到原态，同时态在偶/奇宇称子空间间循环。宇称测量计错后，纠正只是软件里转坐标——无需回填光子。码内有效错误算符只有 $\hat{I}$ 与 $(\hat{I}+i{\hat{\sigma }}_z)/\sqrt{2}$，$\bar{n}\approx 2$ 的编码也只把码内错误率抬高约 2 倍，这是猫码”硬件高效”的根源。

相干态基下（Alice & Bob/Ocelot 版）：取 $|0{⟩}_L\approx |\alpha ⟩$、$|1{⟩}_L\approx |-\alpha ⟩$，跳变 $\hat{a}$ 给出 $d_0|\alpha ⟩+d_1|-\alpha ⟩\to \alpha (d_0|\alpha ⟩-d_1|-\alpha ⟩)$——只翻转 $|-\alpha ⟩$ 分量的符号，是Z 型相位翻转。

两套逻辑轴约定的显式消歧

三套文献对同一个物理过程（宇称翻转）贴的逻辑 Pauli 标签不同，读表时必须先对齐：

文献	逻辑基	单光子损耗	指数压低的过程
Mirrahimi 2014（QE170）	$\{|C_{\alpha }^{\pm }⟩\}$（宇称轴 = Z）	X 比特翻转，$\propto {\kappa }_1\bar{n}$	退相干致 $|\alpha ⟩\leftrightarrow |-\alpha ⟩$ 切换 = Z，速率 ${\kappa }_{\varphi }|\alpha {|}^2/[2\sinh (2|\alpha {|}^2)]$
Ofek 2016（QE171）	$\{|C_{\alpha }^{+}⟩,|C_{i\alpha }^{+}⟩\}$	Z(π/2) 旋转（可追踪纠正）	相空间旋转 $\pi /2$ = X 比特翻转
A&B / Ocelot / Lescanne 系	$\{|\pm \alpha ⟩\}$	相位翻转，${\Gamma }_X=2{\kappa }_1^{\mathrm{eff}}\bar{n}$	两井切换 = 比特翻转，${\Gamma }_Z=A{e}^{-\gamma \bar{n}}$

要点：A&B 系实验把速率按衰减的可观测量命名——${\Gamma }_Z$ 是 $⟨Z⟩$（布居差）的衰减率，即俗称的比特翻转；${\Gamma }_X$ 是 $⟨X⟩$（恰为光子宇称）的衰减率，即相位翻转。它与 Mirrahimi 的约定恰好差一个 Hadamard（X↔Z 对调），而 Ofek 的 $Z_c$ 轴数的是相位空间旋转次数。物理不变量只有两条：损耗引起宇称翻转、速率线性于 $\bar{n}{\kappa }_1$（永远是被外码纠正的那一类）；两井间的切换/大角度旋转被指数压低。

偏置标度律与压缩猫

对标准（非压缩）耗散猫，比特翻转率满足 ${\Gamma }_Z\sim e^{-\gamma \bar{n}}$ 且理论指数上界 $\gamma \le 2$（来自相干态重叠 $e^{-2\bar{n}}$ 的 Arrhenius 型激活），相位翻转率线性 ${\Gamma }_X\sim \bar{n}$：偏置随 $\bar{n}$ 指数拉大，但 ${\Gamma }_X$ 的线性增长又限制 $\bar{n}$ 上限（外码有阈值），两条曲线的夹角就是猫架构的资源预算Rousseau et al. 2025 (arXiv)。

图:标准猫(左两栏)与压缩"月亮猫"(右)的 Wigner 函数:黑实线圈出基态范围,虚线为未压缩猫的范围——压缩把基态在重叠方向压窄,间距不变而重叠骤减(来源:QE189)

Alice & Bob 的”moon cat”实验在耗散猫上叠加纵向泵引入的压缩形变（形变参数 λ），压窄基态宽度而不增 $\bar{n}$：实测 $\gamma$ 从 1.8（λ=0）升至 4.3（λ=1.04），每加一个光子比特翻转再降 ×74；在 $T_X=1.3\mu \mathrm{s}$ 的同等相位翻转时间下，$T_Z$ 从 138 ms 增至 22 s（×160，$\bar{n}=4.1$）。代价是 ${\kappa }_1^{\mathrm{eff}}$ 增加约 1.4 倍（λ=1.04 时），相对量级增益可忽略；遗留问题是低于 10 mHz 的比特翻转饱和地板（疑似宇宙线电离冲击）Rousseau et al. 2025 (arXiv)。

图:(E)相位翻转率随 $\bar{n}$ 线性增长,半斜率给出 ${\kappa }_1^{\mathrm{eff}}$;(F)比特翻转率对数坐标下随 $\bar{n}$ 指数下降,内嵌图给出标度指数 $\gamma (\lambda )$:从 1.8 升到 4.3,突破非压缩猫 $\gamma =2$ 的理论上界(来源:QE189)

变体方面：Kerr 猫用双光子驱动 Kerr 非线性哈密顿量的本征流形替代 engineered dissipation，稳定化机制不同但码空间相同Grimm et al. 2020 (Nature)；早期 Lescanne 实验（Nature Physics 16, 509）首次实测了比特翻转的指数压低Lescanne et al. 2020 (Nat. Phys.)；Réglade 等把 $T_Z$ 推过 10 s（Nature 629, 778）Réglade et al. 2024 (Nature)。

级联：猫 × 重复码

由于 ${\Gamma }_X/{\Gamma }_Z$ 偏置巨大，猫比特天然适合与重复码级联：d 只猫比特串成链，$Z_i{Z}_{i+1}$ 稳定子纠正线性增长的相位翻转，比特翻转靠猫自身指数压低而不占纠错资源。Guillaud–Mirrahimi 给出该架构的理论阈值与门组Guillaud & Mirrahimi 2019 (PRX)，Guillaud 进一步核算了重复猫的错误率与开销Guillaud 2021 (PRA)；AWS Ocelot 在 5 数据猫 + 4 辅助 transmon 的微加工芯片上首次做成可扩展演示（见bosonic-experiments与amazon-ocelot），Alice & Bob 的端到端资源估算则给出 secp256k1 椭圆曲线离散对数需 126 133 只猫比特 / 9 小时 / 平均 19 光子的具体数字Gouzien et al. 2023 (PRL)（详见bosonic-frontier-2026）。偏置保持门组见bias-preserving-gates；猫作为旋转对称码 $N=1$ 成员的统一视角见rotation-symmetric-codes。

延伸阅读

• bias-preserving-gates
• autonomous-qec
• bosonic-experiments
• bosonic-frontier-2026
• amazon-ocelot
• error-models