多模玻色子码（multimode bosonic code）把一个逻辑比特摊到两个以上谐振子上。动机有二：单模码的相位翻转率随 线性增长，限制了能用的猫尺寸——把光子分摊到多模可以”人人少吃光子”；某些错误结构（同时损耗、增益）在单模里无法区分，在多模里天然可检测。家族成员包括 pair-cat 码、多模 GKP 格态、量子球码、无级联的 tiger 码与 2026 年的群论多模旋转码；双模 Fourier 猫码则从协变编码视角给出同一图景的群论表述。
pair-cat 码：光子数差做综合征
Albert 等（Quantum Sci. Technol. 4, 035007）提出用四阶过程稳定 pair-coherent（Barut–Girardello）态流形Albert et al. 2019 (QST)：
稳态流形 = 满足 的态对，两模光子数被”成对”钉住而光子数差 自由——它正是综合征：单模任意光子损耗改变 ，连续监测 即可跟踪并纠正（两模同时损耗才不可纠，是领先错误）。三个结构性优势：
- 测量与稳定化兼容： 是双线性算符，cross-Kerr 耦合 与耗散 对易——测量期间保护不断；单模猫的宇称测量必须关掉稳定化才能做，这是 pair-cat 独有的;
- 低阶非线性即可：跳跃算符是四次多项式，所需非线性阶数低于同保护水平的单模方案；
- 比特翻转（相位漂移型）指数免疫，单模损耗靠 监测纠正，所需每模光子数低于同保护水平单模猫。
M 模推广（非对角稳定子形式）可纠 M−1 个模的任意损耗或单模任意损耗 + 增益；领先不可纠错误是 （对比：单模猫为 、pair-cat 为 ）。
多模格态：GKP 的推广
Royer–Singh–Girvin（PRX Quantum 3, 010335）把 GKP 的格构造推广到任意多模：在 维相空间取任意辛格（矩形、六角乃至一般格），码空间是格平移的不变子空间，单模 square GKP 与”双模压缩 GKP”（把位移噪声重整到少数方向）都是特例Royer, Singh & Girvin 2022 (PRX Quantum)。多模格的价值在于噪声整形：对空间相关的位移噪声（例如同时打所有模的共模涨落），可以选格使共模方向恰好是码的”厚”方向——比逐模独立编码多挤出若干 dB 的容差。格论工具（辛形式、）见gkp-codes。
量子球码：相干态星座的欧氏几何
Jain–Iosue–Barg–Albert（Nature Physics 20, 1300）把逻辑比特编码在多模相干态的星座（constellation）上：在 模相干态空间（ 维实空间）里放若干个相干态矢量，码字是它们的等权叠加，设计变量是星座的几何构型Jain et al. 2024 (Nat. Phys.)。关键判据是欧氏距离：纯损耗信道下单光子跳变的错误区分度由相干态两两距离决定，星座的最小欧氏距离越大、损耗容忍越高——经典通信里球装码（spherical code）的几何直觉直接迁移过来（名字”quantum sphere code”即由此来）。构造上，量子球码统一并推广了猫码（两点星座）与 pair-cat（超星座结构），给出在给定模数与能量预算下最大化距离的系统搜索程序。
tiger 码：不要级联层
Xu–Wang–Vuillot–Albert（PRX 15, 041025）提出 tiger 码：单层多模编码直接纠正多阶损耗，不需要”玻色内码 + 比特外码”的级联Xu et al. 2025 (PRX)。构造是 BCH 型（Bose–Chaudhuri–Hocquenghem，见bch-codes）的多模推广：把多模 Fock 空间的光子数结构组织成经典码能描述的代数对象，稳定子/恢复条件沿二分树结构递归设计，损耗阶数在树深度里累加。卖点是架构简洁——省掉内外码之间的接口与译码往返；代价是门组与 syndrome 提取比级联方案（猫×重复码那样成熟的偏置保持工具链）欠开发。它与 qldpc-frontier-2026 记录的”玻色×qLDPC”路线互补：一个往单层深里做，一个往级联高码率做。
群论多模旋转码与双模 Fourier 猫
Ahmed–Udupa–Ferrini（PRResearch 8, 023194）用群论统一构造多模旋转对称码：把rotation-symmetric-codes的单模 结构推广为多模旋转群的不可约表示，码空间按群表示分类，Fock 支集与相空间对称性由群结构一次性读出——猫、pair-cat、多腿码都成为特例Ahmed, Udupa & Ferrini 2026 (PRResearch)。Leverrier 的玻色傅里叶码（Quantum，2025）给出对偶视角：编码幺正 = 有限群 的逆量子傅里叶变换，物理表示 π 实现逻辑门 g（协变性）。Pauli 群实例是双模 Fourier 猫码：基于 （ 最优），对纯损耗信道一阶满足 Knill–Laflamme 条件（六相干态星座的最大-最小距离最优）；π(X)、π(Z) 由被动光学直接横传，Hadamard 用码变形实现，同时编码 1 逻辑比特 + 1 个 gauge 比特Leverrier 2025 (Quantum)。
批判性小结
多模不是免费的午餐：每加一模多一条损耗信道与一套控制线， 类综合征的测量需要模间耦合（cross-Kerr 或参量过程），门组普适性普遍弱于单模猫的偏置保持工具链（见bias-preserving-gates）。目前的分工大致是：追求工程成熟度走单模猫×重复码（Ocelot、Alice & Bob），追求理论极限（单层多阶纠错、噪声整形）走多模构造——后者在 2025–2026 年才刚从构造阶段进入性能数值评估阶段。