双变量自行车码

双变量自行车码（bivariate bicycle code，BB 码）由 IBM 的 Bravyi、Cross、Gambetta、Maslov、Rall 与 Yoder 六人在 2023 年提出、2024 年发表于 Nature：校验矩阵由群环上两个三项多项式生成，校验重量恒为 6。旗舰码 $[[144,12,12]]$（昵称 gross code）配 7 层 CNOT 的综合征电路与 BP-OSD 译码，达到 0.8% 的电路级阈值、以 288 物理比特守住 12 个逻辑比特——同等性能表面码需要约 3000 比特。它是 IBM Starling 路线与后续一大批工作的基石。

图:上为表面码与 BB 码的 Tanner 图对比;下为 $[[144,12,12]]$ 码 Tanner 图的环面嵌入——蓝/橙为两块数据比特,每个顶点 4 条短程(NESW)边+2 条长程边,虚/实线是两层平面子图(来源:QE120)

构造：环面上的两个移位算符

设 $S_j$ 为 j 阶循环移位矩阵，定义 ℓ×m 环面上的两个对易移位算符

$$x=S_{\ell }\otimes I_m,y=I_{\ell }\otimes S_m,xy=yx,x^{\ell }=y^m=I.$$

取各含三个单项式的多项式 $A=A_1+A_2+A_3$、$B=B_1+B_2+B_3$（每个 $A_i,B_j$ 是 x 或 y 的幂），定义

$$H_X=[A|B],H_Z=[B^{\mathsf{T}}|A^{\mathsf{T}}].$$

CSS 条件一行证毕：由 $AB=BA$，

$$H_X{H}_Z^{\mathsf{T}}=AB+BA=0(\mathrm{mod}2).$$

等价地，$A,B$ 是群环 ${\mathbb{Z}}_2[x,y]/(x^{\ell }-1,y^m-1)$ 上的三项式（两项理想 $⟨x^{\ell }-1,y^m-1⟩$ 的商环；特征 2 下 + 与 − 同，不写成单关系 $x^{\ell }-y^m-1$）。谱系上，BB 码是 Kovalev–Pryadko 广义自行车码（GB）→ 两块群代数（2BGA）家族在阿贝尔群 ${\mathbb{Z}}_{\ell }\times {\mathbb{Z}}_m$ 上的特例，原文明确指出它也是提升积构造的特例Bravyi et al. 2023 (Nature)。

参数公式与对称性

引理 1：码参数为 $n=2\ell m$、$k=2\dim (\ker A\cap \ker B)$，且 $d^X=d^Z$——X/Z 距离相等来自一个显式的符号反转置换 C 把 $H^X$ 与 $H^Z$ 联系起来的对称性（$H^Z=C{H}^X\left[\begin{array}{cc}0& C\\ C& 0\end{array}\right]$ 型），秩相等加距离对偶。

为什么恰好 6 项校验：$A,B$ 各三个单项式 ⇒ $H_X$ 每行恰 $3+3=6$ 个非零元，每个量子比特参与 6 个校验（3 个 X 型 + 3 个 Z 型）。Tanner 图是度 6 图，但厚度 θ≤2（引理 2）：边集可分成两个平面子图（各度 3）——一般度 6 图厚度可达 3，BB 码的环面移位结构保证 2 层可平面嵌入，这是超导芯片上下两层布线的可行性来源。每个量子比特的 6 个连接中 4 条短程（东南西北）+2 条长程。

码表与 gross code

原文给出的小码族（均为权重 6、厚度 2、7 层综合征电路）Bravyi et al. 2023 (Nature)：

码参数	$(\ell ,m)$	$A$	$B$	净码率 $r=k/2n$
$[[72,12,6]]$	(6,6)	$x^3+y+y^2$	$y^3+x+x^2$	1/12
$[[90,8,10]]$	(15,3)	$x^9+y+y^2$	$1+x^2+x^7$	1/23
$[[108,8,10]]$	(9,6)	$x^3+y+y^2$	$y^3+x+x^2$	1/27
$[[144,12,12]]$	(12,6)	$x^3+y+y^2$	$y^3+x+x^2$	1/24
$[[288,12,18]]$	(12,12)	$x^3+y^2+y^7$	$y^3+x+x^2$	1/48
$[[360,12,\le 24]]$	(30,6)	$x^9+y+y^2$	$y^3+x^{25}+x^{26}$	1/60
$[[756,16,\le 34]]$	(21,18)	$x^3+y^{10}+y^{17}$	$y^5+x^3+x^{19}$	1/95

$[[144,12,12]]$ 即 gross code：复合指标 $k{d}^2/n=12\cdot 144/144=12$，对比任意距离 d 的表面码 $k{d}^2/n=1$——同距离下”单位比特效率”高一个数量级。两份 $[[360,12,\le 24]]$ 拼成 $[[720,24,\le 24]]$，参数上优于 Panteleev–Kalachev 的 $[[882,24,\le 24]]$。

端到端容错存储协议

BB 码的分量不止于码本身：(i) 综合征电路——每码长 n 配 n 个校验量子比特（共 2n 物理），整个测量周期恒 7 层 CNOT（与 n 无关），利用循环移位对称性把所有 CNOT 排到”Tanner 图近邻”；(ii) 译码——BP-OSD（Panteleev–Kalachev 提出）扩展到电路级噪声，兼用于距离数值估计（MILP 精确验证给出上界）；(iii) 性能——小码伪阈值 0.48%–0.69%（Table 1），144/288 码观测伪阈值接近 0.7%，摘要级阈值为 0.8%；$p=10^{-3}$ 时 $[[144,12,12]]$ 的每周期逻辑错误率 $p_L\approx 2\times 10^{-7}$（288 比特），同性能的表面码方案需近 3000 物理比特——>10× 节省（结论部分给出同抑制水平下近 15×）Bravyi et al. 2023 (Nature)。逻辑寻址与测量靠移位自同构门与 ZX-对偶（详见qldpc-logical-ops），使 BB 码可作为 load-store 存储单元。

理论后续：存在性、渐近坏性与变体

Postema 与 Kokkelans 给出 BB 码的代数结构理论Postema & Kokkelans 2025 (IEEE-IT)：互素情形维数有闭式 $k=2\mathrm{deg}g(z)$（中国剩余定理化单变量），一般情形用 Gröbner 基；三项式 ansatz 下 $k\ge 2$ 的存在条件归结为素数整除判据（直接指导搜索剪枝）；$A\equiv B$ 时 $d=2$、$A^2\equiv B$ 时 $d=4$ 的平凡码先排除。最重要的是渐近坏性定理：权重 6 的 BB 码序列等价于维度 D≤5 的局域 CSS 码，广义 Bravyi–Terhal 界迫使 $d/n\le O(n^{-1/5})$——BB 码族不可能渐近好；但中长码（数百比特）的实用价值不受影响，$k{d}^2/n$ 在该区间远超表面码。变体家族沿多个方向扩张：权重 8 版本Lu et al. 2026 (arXiv)、子系统化Liang & Chen 2026 (arXiv)、单变量自行车码Rabeti & Mahdavifar 2026 (arXiv)、三变量推广Galimova 2026 (arXiv)、自对偶版本携带横传 Clifford 门Liang & Chen 2025 (arXiv)，以及把群正则作用推广到陪集作用的陪集基码Aydin, Tamo & Barg 2026 (arXiv)（见qldpc-frontier-2026）。架构侧的延伸见qldpc-hardware与qldpc-vs-surface。

延伸阅读

• lifted-product
• qldpc-hardware
• qldpc-vs-surface
• qldpc-logical-ops
• bp-osd-decoding