容错资源开销

容错资源开销（resource overhead）回答"跑一个算法到底要多少量子比特、多少时间"。一本完整的账有四类科目：存数据的码 patch、造魔法态的蒸馏或培育厂、连接各处的路由走廊，以及把逻辑错误率压到目标的码距选择。标杆案例是 RSA-2048 因子分解：Gidney 与 Ekerå 2019 年的估计是 2000 万噪声比特、8 小时；Gidney 2025 年压到 100 万比特以内、一周以内——六年间 20 倍的缩减来自算法、编码与容错协议的接力。

账本科目

以表面码架构为例（各组件的词条见交叉链接）：

• 数据 patch：距离 $d$ 的方形 patch 含 $2(d+1{)}^2$ 个物理比特（数据加测量）Litinski 2019 (Quantum)；码距由”逻辑错误率 ≤ 目标”反解，资源估计常用每比特每轮 $10^{-15}$ 级目标Gidney 2025 (arXiv)。
• 魔法态供给：蒸馏厂（15-to-1 及其改进版，见magic-state-distillation）或培育厂（见magic-state-injection）；蒸馏的输入态数以 ${\log }^{\gamma }(1/ϵ)$ 标度。
• 路由走廊：可扩展布局必须留白——Horsman 论文的布局只有约四分之一的面存数据，其余供 CNOT/手术操作Horsman et al. 2012 (NJP)；Litinski 的贴砖游戏把这类时空成本统一为 $s\cdot t\cdot d^3$ 主阶Litinski 2019 (Quantum)。
• 反应限制：经典反应时间（10 µs 级）约束测量依赖运算的布局Gidney & Ekerå 2021 (Quantum)。

Gidney–Ekerå 2019：2000 万比特、8 小时

假设平面二维近邻、物理门错误 $10^{-3}$、周期 1 µs、反应时间 10 µs，优化链为：Zalka coset 表示（模算术改非模加法器，Toffoli 主项从 $20n_{\mathrm{en}}^2$ 降到 $8n_{\mathrm{en}}^2$）→ 窗口算术（QROM 查表加基于测量的反计算，主项 $24n_{\mathrm{en}}^2/{\lg }^{2}n$）→ oblivious carry runways（加法深度减半）→ 反应限制布局。抽象电路：$3n+0.002n\lg n$ 逻辑比特、$0.3n^3+0.0005n^3\lg n$ 个 Toffoli、$500n^2+n^2\lg n$ 测量深度；容错层用 CCZ 工厂（AutoCCZ 态）与三级区域布局，码距 $d=27$（二级）/17（一级）Gidney & Ekerå 2021 (Quantum)。对比前史：Van Meter 2009 需 6500 万比特、410 天；Fowler 2012 需 1000 万比特、1.1 天；本文以并行化换机器规模，落到 2000 万比特、0.31 天——较此前估计时空体积降 100 倍。

Gidney 2025：100 万比特以内、一周以内

同一标准假设（0.1% 均匀去极化、1 µs 周期、10 µs 反应、平面 2DNN）下的新账本靠三根支柱达成 20 倍缩减Gidney 2025 (arXiv)：

1. 算法侧：CFS24 的 Shor 变体用掩码与相位估计技巧把逻辑比特压到约 $0.5n+O(1)$（本文又把其 Toffoli 代价改善了数量级）；
2. 存储侧：yoked surface codes（上轭表面码）——在数据 patch 下方并联一维/二维奇偶校验码”轭”，冷存储区的存储密度大增（二维轭的抑制增益参数约 150），布局分计算区/热存储/冷存储三区；
3. 魔法态侧：培育加 8T-to-CCZ 蒸馏——培育把 $T$ 态做到 $10^{-7}$ 逻辑误差只需约 3 万物理比特·轮时空，8T-to-CCZ 工厂把错误压制到 $28p^2$、CCZ 误差 $<10^{-12}$；$d=25$ 时晶格手术周期 25 µs 恰与 CCZ 周期匹配。

图:三区物理布局——计算区(蒸馏厂与逻辑运算)、热存储(常规 d patch)与冷存储(yoked 高密度 patch)的版图划分(来源:QE316)

图:冷(yoked)与热存储的成本曲线——二维轭的抑制增益参数约 150,冷存储密度大增使总比特数下修(来源:QE316)

运行时账：单次运行 12.07 小时，按每比特每轮 $10^{-15}$ 的逻辑错误率预算，整轮无错概率 93.3%，期望 9.2 次运行得到一个成功 shot，总时长 4.96 天（报告”一周以内”）、约 $9\times 10^5$ 比特（报告”一百万以内”）Gidney 2025 (arXiv)。

时空权衡与蒸馏成本

Litinski 的三级时空权衡给同一问题的另一组坐标（$10^8$ 个 $T$ 门、$p=10^{-4}$、1 µs 周期）：紧凑布局 5.5 万比特、4 小时；10 个蒸馏块 12 万比特、22 分钟；Fowler 式时间最优并行 3.3 亿比特、1 秒Litinski 2019 (Quantum)。蒸馏本身的成本随目标精度按 $C\sim {\log }^{\gamma }(1/ϵ)$ 增长：Bravyi–Haah 的 15-24-36 协议序列在目标 $10^{-12}$ 时需 $C=187.9$ 个输入态Bravyi & Haah 2012 (PRA)。

图:魔法态蒸馏成本随目标精度的标度——输入态数按 log^γ(1/ε) 增长,协议序列的选择决定常数因子(来源:QE298)

其它平台与码的账本

资源账本不是表面码专利：中性原子加重配置横向门的路线声称用约 $10^4$ 物理比特跑 Shor（东拼西凑的横向门靠原子重排实现，见eastin-knill的绕过方案）2026 (arXiv)；qLDPC 码以更高码率换连通度，批量高率逻辑操作协议给出另一套账（见qldpc-vs-surface与qldpc-hardware）2025 (arXiv)；近期窗口的”够用就好”账本见 FLASQ 成本模型与early-fault-tolerance。

延伸阅读

• early-fault-tolerance
• magic-state-distillation
• magic-state-injection
• lattice-surgery
• qldpc-vs-surface
• threshold-theorem