码参数与距离

量子码用三元组 $[[n,k,d]]$ 刻画：$n$ 个物理量子比特，编码 $k$ 个逻辑量子比特，码距离 $d$ 度量可靠性。它是选码时的第一张规格表——码率 $k/n$ 说开销，距离 $d$ 说能纠几个错——但两个数字经常互相顶牛，于是也有把三者捏成单一指标的尝试（如 $k{d}^2/n$）。本词条给出这些参数的严格定义、由定义直接推出的纠错能力公式，以及跨码族比较时需要注意的坑。

图:跨码族比较的复合指标——${\mathbb{Z}}_p$ 环面码族($p=2,3,5,7,11$)的 $k{d}^2/n$ 对 $n\ln p$ 作图,五族数据近似落在同一条直线上(来源:QE034)

记号：从 $[n,k,d]$ 到 $[[n,k,d]]$

经典线性码记作 $[n,k,d]$：块长 $n$、维数 $k$、最小距离 $d$。Gottesman 在稳定子理论中引入双方括号 $[[n,k,d]]$ 以区分量子码——量子情形下 $k$ 是逻辑量子比特数（码空间维数 $2^k$），$d$ 的定义也与经典不同（见下节）。稳定子码的参数从群结构直接读出：$n$ 个物理比特、秩 $m$ 的稳定子给出 $k=n-m$（每个独立生成元把空间砍半，见stabilizer-formalism）。

距离的定义

经典码的最小距离是码字间的最小汉明距离；直接照搬到量子码会失败——量子码字之间没有”最小间距”概念（叠加态有无穷多个码字）。正确的定义换到逻辑算符上：

$d=\min \{\mathrm{wt}(E):E\in N(S)\setminus S\},$

即最小权重的”与稳定子对易但不在稳定子内”的 Pauli 算符——最短的能把一个码态变到另一个码态（或产生不可检测相位）的操作。等价地，用 KL 条件 的语言：$d$ 是使”所有权重小于 $d$ 的错误对 $E_a^{†}{E}_b$ 都满足恢复条件”的最大临界值。权重 $\mathrm{wt}(E)$ 指 $E$ 的支撑大小（非恒等位置数）。对 CSS 码可以再细分：纯 X 型逻辑算符给出 $d_X$、纯 Z 型给出 $d_Z$，任何逻辑算符 $X^{\mathbf{a}}{Z}^{\mathbf{b}}$ 的支撑是 $\mathrm{supp}(\mathbf{a})\cup \mathrm{supp}(\mathbf{b})$，不小于两者中较重者，故 $d=\min (d_X,d_Z)$。

纠错、检错与擦除能力

从距离定义出发，三个能力公式都能用一行推出（球装填/三角不等式论证）：

• 纠 $t=\lfloor (d-1)/2\rfloor$ 个错：设 $\mathrm{wt}(E_a),\mathrm{wt}(E_b)\le t$。若 $E_a,E_b$ 都该被纠正，则需要它们可区分（或简并等价）。关键不等式：

$\mathrm{wt}(E_a^{†}{E}_b)\le \mathrm{wt}(E_a)+\mathrm{wt}(E_b)\le 2t\le d-1<d,$

而 $N(S)\setminus S$ 中元素权重都 $\ge d$，故 $E_a^{†}{E}_b\notin N(S)\setminus S$——要么落在 $S$ 内（两错误简并等价，同一恢复即可），要么根本不保持码空间（可检测）。$t+1$ 个错则无此保证，$2t=d-1$ 是紧的。

• 检 $d-1$ 个错：任何权重 $<d$ 的错误都不在 $N(S)\setminus S$ 中，要么与稳定子反对易（测生成元即报警），要么落在 $S$ 内（对码无作用）。
• 纠 $d-1$ 个擦除：擦除位置已知时，只需区分”哪些错误落在已知支撑上”，可区分性要求从 $d$ 减半到 $\lceil d/2\rceil$（KL 擦除定理的另一半：纠 $t$ 错 $⟺$ 纠 $2t$ 擦除）Knill & Laflamme 1997 (PRA)。

码率与开销

• 码率 $R=k/n$：每个物理比特装多少逻辑比特。Shor 码 $[[9,1,3]]$ 的 $R=1/9$；五比特码 $[[5,1,3]]$ 的 $1/5$ 是距离 3 的最优码率；表面码 $L\times L$ 格子约 $2L^2$ 个比特编码 1 个逻辑比特、距离 $L$，$R\to 0$ 但 $d\to \infty$Terhal 2015 (RMP)。
• 开销 $n/k$：容错计算资源估计的第一项（完整账本见ft-resource-overhead）。渐近地追求”高码率 + 线性距离”（$k=\Theta (n),d=\Theta (n)$）正是 qLDPC 好码的定义（见good-quantum-codes）。

复合指标与局域性惩罚

三参数相互制约，跨码族比较常用两个抓手：

1. 码率—距离平面：量子 Gilbert–Varshamov 界给出可达区域 $R\ge 1-2H_2(\delta )$（$\delta =d/2n$），Hamming/Singleton 界给出禁区，详见quantum-bounds。
2. $k{d}^2/n$：把容量与可靠性捏成单一数字。它的流行有个结构原因：2D 局域稳定子码受 Bravyi–Poulin–Terhal 型限制 $k{d}^2\le cn$（常数 $c$ 依赖局域性定义的细节）——$k{d}^2/n$ 恰是衡量一个码族逼近该上限的程度，因此成为比较环面码族、BB 码等构造的通用标尺Terhal 2015 (RMP)。上图即一例：${\mathbb{Z}}_p$ 环面码族在 $k{d}^2/n$ 对 $n\ln p$ 的图上近似线性增长，说明扭环面构造在增维途中保持了该指标的斜率Liang & Chen 2026 (arXiv)。

需要警惕的坑：距离不等于性能。简并结构（见degeneracy）、译码器质量（见decoding-overview）与噪声偏置（见error-models）都会让同参数的码表现迥异；$k{d}^2/n$ 高的码也未必适合给定硬件的连通性（见qldpc-hardware）。

常见码的参数速查

码	参数	备注
3 比特重复码	$[[3,1,1]]$	只纠 X（或只纠 Z），另一类不设防
Shor 九比特码	$[[9,1,3]]$	第一个完整量子码
Steane 码	$[[7,1,3]]$	CSS，汉明/simplex 构造
五比特码	$[[5,1,3]]$	最小距离 3 码，饱和 Hamming 界
Gottesman 码族	$[[2^j,2^j-j-2,3]]$	饱和量子 Hamming 界（如 $[[8,3,3]]$）[[sources/QE002
Bacon–Shor $4\times 4$	$[[16,1,4]]$	子系统码，规范算符权重 2[[sources/QE017
表面码 $L\times L$	$\approx [[2L^2,1,L]]$	2D 局域，$k{d}^2\le cn$ 的饱和者

延伸阅读

• quantum-bounds
• stabilizer-formalism
• degeneracy
• qudit-codes
• surface-code