Si/SiGe 异质结｜学位论文知识库

Si/SiGe 用一层受双轴张应变的硅量子阱承载二维电子气，以低核自旋环境和可同位素纯化换取长相干，同时保持栅控量子点与半导体工艺的兼容性；代价是能谷自由度必须被稳定劈裂，且器件尺度被有效质量压到几十纳米。

物理图像

Si/SiGe 异质结（Si/SiGe heterostructure）的核心是一个”三明治”：两层 SiGe 之间夹一层薄硅。硅的导带底低于两侧 SiGe，电子被纵向（生长方向 $z$ ）束缚在硅层内，形成二维电子气（two-dimensional electron gas, 2DEG）。衬底表面的多层金属栅极再在平面内挖出势阱与势垒，把电子横向局域到几十纳米尺度，得到半导体量子点。

因此，一个 Si/SiGe 量子点是”两级限制”的产物：

纵向由能带不连续性提供，来自材料生长，一旦长好就固定；
横向由栅极电场提供，可在实验中连续调节——这正是隧穿耦合、电化学势、交换相互作用全都可以电控的原因。

Si/SiGe 异质结的能带与结构示意图

能带工程：应变与能谷

双轴张应变

SiGe 的晶格常数大于硅： $a_{SiGe} = 5.499 \overset{˚}{A}$ （30% Ge 含量）而 $a_{Si} = 5.431 \overset{˚}{A}$ 。薄硅层外延生长在弛豫的 SiGe 虚拟衬底（virtual substrate）上时，会被迫与下方 SiGe 的面内晶格常数一致，从而承受双轴张应变（biaxial tensile strain）

ε_{∥} = \frac{a _{SiGe} - a _{Si}}{a _{Si}} \approx 1.25%.

应变有两个后果。其一，它进一步压低硅的导带底：仅靠带隙差（Si 的 $1.12 eV$ 略大于 30% Ge 的 SiGe 的 $0.98 eV$ ）并不足以形成电子阱，是应变把硅导带拉到 SiGe 导带以下，才在硅层里凿出一个真正的量子阱。其二，它解除了体硅导带的能谷简并。

谷简并的逐级解除

体硅的导带极小值沿 $⟨ 100 ⟩$ 方向有六个等价谷（valley），在 $k$ 空间表现为六个旋转椭球。简并的谷态给自旋比特提供了额外的泄漏与退相干通道，必须逐级解除：

双轴张应变把六重简并劈成面内四重的 $Δ_{4}$ 与面外二重的 $Γ_{2}$ ，且 $Δ_{4}$ 远高于 $Γ_{2}$ ，实际上退出讨论；
纵向限制与栅极电场破坏 $z$ 方向对称性，把剩下的 $Γ_{2}$ 二重简并劈开，能隙称为谷劈裂（valley splitting, VS），记作 $E_{VS}$ 。

最低谷用于编码单自旋量子比特。电子处于 $Γ_{2}$ 谷后，面内有效质量仅 $m^{*} = 0.19 m_{0}$ ，这是 Si/SiGe 电子迁移率较高的原因之一。

谷劈裂的定量描述可用两个谷态张成的二能级有效哈密顿量：

H_{v} = (0 Δ_{v}^{*} Δ_{v} 0) E_{VS} = 2∣ Δ_{v} ∣

其中谷耦合 $Δ_{v}$ 是界面势在两个谷态之间的矩阵元。这个写法直接解释了实验规律：界面越锐利、纵向电场把波函数压得越紧， $∣ Δ_{v} ∣$ 越大；而 Si 量子阱与 SiGe 间隔层界面上的原子台阶会让不同横向位置的 $Δ_{v}$ 相位不同、相干叠加相消，从而显著抑制谷劈裂。这也是 Si/SiGe 相对 Si-MOS 的主要短板：MOS 的 Si/SiO₂ 界面势垒极陡，谷劈裂天然更大，而 Si/SiGe 的化学界面较”软”， $E_{VS}$ 偏小，需要靠优化基片结构与生长工艺改善。

掺杂 GaAs/AlGaAs 异质结层结构与垂直能带图

理论模型

纵向限制：量子阱与二维电子气

未掺杂的 Si/SiGe 在接近绝对零度时本征载流子几乎为零，电子由离子注入区经引导栅（lead/accumulation gate）引入。给表面栅极加正电压使导带倾斜，当量子阱导带底被拉到费米面 $E_{F}$ 以下时，电子在阱中聚集。电子在 $z$ 方向被量子阱顶部的三角势阱限制、能级分立，在 $x$ – $y$ 平面内准自由运动——这就是 2DEG。

横向限制：谐振子势与轨道能

栅极在平面内造出的束缚势通常近似为对称谐振子势

V (r) = \frac{1}{2} m^{*} ω_{0}^{2} r^{2} Δ_{orb} = ℏ ω_{0} l_{orb} = \frac{2ℏ}{m ^{*} ω _{0}}

$Δ_{orb}$ 为最低两个轨道的间距， $l_{orb}$ 为势阱特征长度。用量子点物理尺寸 $l$ 作粗估，轨道能标为

E_{orb} \sim \frac{ℏ ^{2}}{m ^{*} l ^{2}} .

代入 $m^{*} = 0.19 m_{0}$ ： $l = 30 nm$ 给出 $E_{orb} \approx 0.45 meV$ ， $l = 20 nm$ 给出约 $1 meV$ 。这条关系同时解释了硅基器件的加工压力： $m^{*}$ 比 GaAs 大得多，要拿到同样的轨道能标，量子点必须做得更小（Si/SiGe 约 $60 nm$ ，Si-MOS 约 $30 nm$ ）。

电荷自由度：常相互作用模型

量子点的充放电由常相互作用模型描述，充电能为

E_{C} = \frac{e ^{2}}{C _{Σ}}

$C_{Σ}$ 是量子点总电容。相邻库仑阻塞峰的间距对应加电子能

E_{add} = E_{C} + E_{orb} + E_{spin}

其中 $E_{spin}$ 为自旋（塞曼）劈裂。可分辨的库仑峰要求两个条件： $E_{C} ≫ k_{B} T_{e}$ ，以及量子点与源漏的隧穿电阻 $R_{t} ≫ h / e^{2}$ 。Si/SiGe 量子点的 $E_{C}$ 通常约 $3 meV$ （对应 $E_{C} / k_{B} \approx 35 K$ ），而液氦温度 $4.2 K$ 已相当于 $362 μ eV$ 的热涨落——所以 $4.2 K$ 下通常看不到清晰库仑峰，实验必须在 $10$ – $20 mK$ 的稀释制冷机中进行。

自旋比特与 EDSR

外磁场 $B_{0}$ 下电子自旋塞曼劈裂 $E_{z} = g μ_{B} B_{0}$ ，以拉莫尔频率 $ω_{0} = E_{z} /ℏ$ 进动。加一个垂直于 $B_{0}$ 的交变磁场后

H (t) = \frac{ℏ ω _{0}}{2} σ_{z} + ℏ Ω_{R} cos (ω_{1} t + φ) σ_{x} Ω_{R} = \frac{g μ _{B} B _{ac}}{ℏ} .

转到驱动场的旋转坐标系并作旋波近似：

H_{rot} = \frac{ℏΔ ω}{2} σ_{z} + \frac{ℏ Ω _{R}}{2} [cos φ σ_{x} - sin φ σ_{y}] Δ ω = ω_{0} - ω_{1} .

$Δ ω$ 给出绕 $z$ 轴的旋转， $φ$ 选定赤道面内的旋转轴，二者合起来就是普适单比特操作：共振（ $Δ ω = 0$ ）且 $φ = 0$ 时得到绕 $x$ 轴的拉比振荡， $φ = π /2$ 得到绕 $y$ 轴的旋转。

硅的本征自旋–轨道耦合很弱，Si/SiGe 因此不像应变锗那样能直接电驱自旋，而要在栅极之上集成微磁体人为造出磁场梯度，用电偶极自旋共振（EDSR）操控。微波电场推动电子波函数在横向梯度场中往复振荡，等效交变磁场为

B_{eff} = \frac{e E _{ac} l _{orb}^{2} ∣ b _{sl} ∣}{Δ _{orb}} \propto \frac{e E _{ac} ∣ b _{sl} ∣}{Δ _{orb}^{2}}

其中 $E_{ac}$ 是微波电场幅值， $b_{sl} = \partial B_{x} / \partial z$ 是微磁体的横向磁场梯度。把 $l_{orb}^{2} = 2ℏ/ (m^{*} ω_{0})$ 与 $Δ_{orb} = ℏ ω_{0}$ 代入即得

B_{eff} = \frac{2 e E _{ac} ∣ b _{sl} ∣}{m ^{*} ω _{0}^{2}} = \frac{2 ℏ ^{2} e E _{ac} ∣ b _{sl} ∣}{m ^{*} Δ _{orb}^{2}}

也就是说驱动效率对轨道能隙是平方反比的：势阱越软、量子点越大，同样功率能翻转得越快。这条标度是翻转模式量子比特的直接动机——把电子放到双量子点失谐零点，电偶极矩显著增大，Si/SiGe 中曾用此法把驱动效率提高近三个数量级。

交换相互作用与两比特门

两个各占据一个电子的相邻量子点构成海森堡自旋对：

H = J S_{1} \cdot S_{2} + g μ_{B} (B_{1} \cdot S_{1} + B_{2} \cdot S_{2}) .

在直积基 ${∣ ↑↑ ⟩, ∣ ↑↓ ⟩, ∣ ↓↑ ⟩, ∣ ↓↓ ⟩}$ 下可写成

H = \overset{ˉ}{E}_{z} 000 0 - J /2 + Δ E_{z} J /2 0 0 J /2 - J /2 - Δ E_{z} 0 000 - \overset{ˉ}{E}_{z}

$\overset{ˉ}{E}_{z} = g μ_{B} (B_{z 1} + B_{z 2}) /2$ 为平均塞曼能， $Δ E_{z} = g μ_{B} (B_{z 1} - B_{z 2}) /2$ 为塞曼能差——在 Si/SiGe 中它由微磁体的纵向梯度提供，正是比特寻址的依据。

在 Hubbard 极限下，交换强度为

J = \frac{2 t ^{2}}{U - ϵ - Δ E _{z}} + \frac{2 t ^{2}}{U - ϵ + Δ E _{z}} U ≫ ϵ, Δ E_{z} \frac{4 t ^{2}}{U}

$t$ 为点间隧穿耦合， $U$ 为平均充电能， $ϵ = μ_{1} - μ_{2}$ 为失谐。

$J$ 与 $Δ E_{z}$ 的比值决定可用的门类型。Si/SiGe 自旋比特实验通常处于 $J ≪ Δ E_{z}$ ：本征态近似为直积态，打开 $J$ 后反平行态能级下移 $J /2$ ，一个比特的共振频率依赖另一个比特的自旋态，由此可做受控旋转乃至CNOT 门。若不加微波，只开关 $J$ 让相位累积 $ϕ_{1 (2)} = J t / (2ℏ)$ ，取 $t = π ℏ/ J$ 并补两个单比特 $Z$ 旋转即得 CZ 门：

U_{CZ} = Z_{1} (\frac{π}{2}) Z_{2} (\frac{π}{2}) U_{CPhase} (\frac{π ℏ}{J}) = diag (1, 1, 1, - 1) .

实验上调 $J$ 有两条路：改失谐 $ϵ$ ，或在 $ϵ = 0$ 处改点间势垒。后者称为对称操作（symmetric operation）——失谐零点处自旋比特对电荷噪声一阶不敏感，因此是抑制退相干的首选工作点。

参数与量级

量	典型值	来源
Si 量子阱厚度	$10 nm$	、
SiGe 间隔层厚度	$30 nm$ （常用区间 $30$ – $60 nm$ ）
Si 帽层 / SiGe 缓冲层 / 渐变缓冲层	$2 nm$ / $500 nm$ / $\sim 3 μ m$
Ge 组分 $x$	$0.30$ – $0.33$	、
晶格常数	$a_{Si} = 5.431 \overset{˚}{A}$ ， $a_{SiGe} = 5.499 \overset{˚}{A}$
面内有效质量	$m^{*} = 0.19 m_{0}$
量子点尺寸	$\sim 60 nm$
充电能 $E_{C}$	$\sim 3 meV$ （2×2 阵列实测 $2.68$ – $3.74 meV$ ）
杠杆臂 $α$	$\approx 0.12 eV/V$
最近邻隧穿耦合 $t_{ij}$	约 $25$ – $200 μ eV$ 连续可调，平均值可推到近 $300 μ eV$
次近邻隧穿耦合	零附近 → $> 100 μ eV$ （中心栅调控）
比特频率	$19.2771$ / $19.2354 GHz$ （ $B_{ext} = 500 mT$ ，含微磁体贡献）
自旋弛豫 $T_{1}$	$116 ms$ / $94 ms$
退相干 $T_{2}^{*}$ （自然硅）	$0.9 μ s$ / $0.7 μ s$
Hahn echo $T_{2}^{Hahn}$	$15.5 μ s$ / $11.3 μ s$
Rabi 频率	随驱动幅值线性增长，最高约 $10 MHz$
门保真度（自然硅）	单比特 $> 99%$ ，CZ $\approx 91%$

材料生长与器件工艺

异质结用化学气相沉积（CVD）生长，顺序是：P 型 Si(100) 衬底 → Ge 组分渐变的 SiGe 缓冲层（约 $3 μ m$ ，降低穿透位错）→ 化学机械抛光（CMP）平整界面 → 固定组分 SiGe 虚拟衬底（ $500 nm$ ）→ Si 量子阱（ $10 nm$ ）→ SiGe 间隔层（ $30 nm$ ）→ Si 帽层（ $2 nm$ ，防氧化）。

三个厚度是折中出来的：

量子阱过厚会超过临界厚度、应变弛豫，过薄则显著降低迁移率；
间隔层过薄会引入远端散射降低迁移率，过厚则削弱栅极对量子点的控制力；
界面锐利度直接决定谷劈裂，原子台阶必须尽量抑制。

器件侧，Si/SiGe 采用重叠栅极（overlapping gate）结构，逐层铝栅之间靠等离子体氧化生成的约 $5 nm$ 致密氧化铝绝缘，层间保持约 $20 nm$ 厚度差以免爬坡断裂。栅极按功能分三层：屏蔽栅（screening gate，定义一维导电沟道）、能级栅与引导栅（plunger / lead gate，调电化学势并把离子注入区的电子引入）、势垒栅（barrier gate，控制点间与点–库隧穿）。做自旋比特时再加一层微磁体，共四层电子束曝光。

绝缘层做了差异化设计：场氧层约 $15 nm$ （保证栅极与离子注入区绝缘），栅氧层约 $7 nm$ （更薄以减少氧化铝中的电荷缺陷，抑制电荷噪声）。核心区用电子束光刻（最小线宽可达 $20 nm$ ，套刻精度优于 $\pm 10 nm$ ），外围扇出电极用激光直写，两者以金属”补丁”互连，兼顾精度与效率。

实验特征与测量

降温前后的常规表征。 先测沟道开启与逐栅夹断（pinch-off）曲线确认每个栅极都能关断沟道；再扫能级栅看库仑阻塞峰。因为 $E_{C} \sim 3 meV$ 相对 $4.2 K$ 的热涨落不够大，液氦温区一般看不到清晰库仑峰，必须进稀释制冷机。

单点参数。 输运测量给出库仑菱形，从中提取充电能与杠杆臂；库仑峰宽度可反推电子温度。二维四点阵列的实测显示四个点都能排空到零电子区， $α$ 一致在 $0.12 eV/V$ 附近，而 $E_{C}$ 在 $2.68$ – $3.74 meV$ 之间浮动，差异主要来自屏蔽栅形状。

双点与阵列。 用邻近的单电子晶体管（SET）作电荷传感测电荷稳定图，蜂窝的反交叉给出点间耦合。栅极之间存在电容串扰，隧穿线并不与坐标轴平行，需要先建立虚拟栅极（由串扰矩阵定义）才能独立调节各点电化学势。在 2×2 二维阵列中，两次”同步扫描”即可一次看到四对双点的反交叉，实验相图与 Hubbard 模型模拟（平均 $E_{C} = 3 meV$ 、最近邻 $t = 0.1 meV$ 、最近邻库仑 $V = 0.2 meV$ 、次近邻 $t = 0$ 、 $V = 0.05 meV$ 、 $α = 0.12 eV/V$ ）相符。势垒栅对 $t_{ij}$ 的调控呈指数依赖；对角与反对角（次近邻）耦合在中心栅零压时接近零，正好满足表面码只要最近邻耦合的拓扑要求。

自旋比特。 微磁体产生的杂散场使比特频率有约 $1 GHz$ 的不确定度，而共振峰宽仅 $\sim 1 MHz$ ，逐点扫频效率极低；实用做法是先用 chirp 波形（如 $50 MHz$ 带宽、 $20 μ s$ ）粗扫出 EDSR 峰，再降功率精扫。判据是改变外磁场时峰按 $g μ_{B} / h \approx 28 MHz/mT$ 移动—— $B_{ext}$ 增加 $10 mT$ 时实测峰移 $295 MHz$ ，与理论 $280 MHz$ 相符。由共振峰半高全宽 $σ_{f}$ 可初估

T_{2}^{*} = \frac{2 ln 2}{π σ _{f}} .

在 $B_{ext} = 500 mT$ 下测得两个比特频率 $19.2771$ 与 $19.2354 GHz$ ：两者相差 $41.7 MHz$ ，正是微磁体纵向梯度带来的寻址间隔；而 $19.28 GHz$ 对应总场约 $690 mT$ ，说明微磁体贡献了近 $190 mT$ 的纵向场。

相干性测量。 $T_{1}$ 用” $π$ 脉冲 + 等待”的指数衰减拟合； $T_{2}^{*}$ 用Ramsey 干涉，包络为高斯

P^{↑} (τ) = A sin (2 π Δ f τ + ϕ) exp [- (\frac{τ}{T _{2}^{*}})^{2}] + B;

动力学解耦的最简形式 Hahn echo 用

P^{↑} (τ) = A exp [- (\frac{τ}{T _{2}^{Hahn}})^{1 + α^{'}}] + B

拟合，衰减指数 $α^{'}$ 指示噪声谱型： $α^{'} = 0$ 对应白噪声， $α^{'} = 1$ 对应准静态噪声。

相干性与噪声

Si/SiGe 的相干优势来自核自旋：硅天然富集零核自旋同位素，还可进一步同位素纯化。历史节点上，2012 年 Si/SiGe 量子点中的自旋比特首次做到 $T_{2}^{*} = 360 ns$ ，已是同期 GaAs 的 40 倍。

但纯化并不是万能解。自然硅 Si/SiGe 器件实测 $T_{2}^{*} \approx 0.7$ – $0.9 μ s$ ；Hahn echo 只把它拉长十几倍到 $11$ – $16 μ s$ ，而若噪声纯粹来自核自旋，回波理论上应能提升数百倍。衰减指数指向接近 $1/ f^{2}$ 的谱型，说明除核自旋外还有显著的低频电荷噪声。更关键的是，纯化硅器件里 $T_{2}^{*}$ 同样普遍只有几微秒——微磁体在带来可寻址梯度场的同时，也把电荷噪声通过杂散梯度场”翻译”成了磁噪声。因此 Si/SiGe 的相干性瓶颈已经从核自旋转移到电荷噪声与微磁体设计的耦合上，抑制路径包括优化微磁体几何、减薄栅氧以减少氧化铝中的电荷缺陷（界面缺陷），以及在失谐零点作对称操作。

在有限相干时间内提高门数量是另一条工程路线：用 Rabi 振荡的品质因子 $Q = T_{2}^{Rabi} / T_{π}$ （ $T_{π} = 1/2 f_{Rabi}$ ）权衡速度与相干性， $Q$ 随驱动幅值先升后降（低功率受限于速度，高功率受限于微波加热），取峰值处的驱动参数。自然硅四点阵列中 $Q$ 可超过 300，对应单 $π$ 脉冲保真度估计 $F \approx 1 - 1/ Q > 99.6%$ ；随机基准测试确认单比特门保真度超过 $99%$ ，CZ 门约 $91%$ ，配合动力学解耦的 DCZ 门可制备平均保真度 $91%$ 的贝尔态。

与谐振腔的杂化

Si/SiGe 的另一条扩展路线是把量子点接到微波腔上，做电路量子电动力学式的远程互连。由于电偶极矩有限，传统 $50 Ω$ 腔难以进入强耦合区；实用做法是用高动态电感薄膜（如 TiN，方块动态电感 $L_{k} = 265.9 pH/ □$ ）做高阻抗谐振腔。真空涨落电压 $\propto Z_{r}$ ，因此耦合强度按

\frac{g}{g _{50Ω}} = \frac{Z _{r}}{50 Ω}

放大： $Z_{r} \approx 3.5 kΩ$ 相对 $50 Ω$ 理论上增益约 $8.4$ 倍。

在 Si/SiGe 三量子点–高阻抗腔器件（ $f_{r} = 4.993 GHz$ ， $κ /2 π = 2.2 MHz$ ）中：

电荷量子比特与腔的全局耦合 $g_{0} /2 π = 175 MHz$ ，比特退相干 $γ_{c} /2 π = 99 MHz$ ，满足 $g_{0} > γ_{c}, κ$ ，可观测到真空拉比劈裂。有效耦合随失谐按 $g = g_{0} (2 t_{c} / ω_{q})$ 变化。
引入微磁体后的自旋–光子耦合为 $2 g_{s} /2 π = 43.5 MHz$ ，此时比特展宽 $γ_{s} /2 π = 4.6 MHz$ 、杂化后腔展宽 $κ^{*} /2 π = 7.5 MHz$ ，同样落在强耦合区。

电荷比特退相干率远高于自旋比特（ $99$ vs $4.6 MHz$ ），这正是 Si/SiGe 混合系统把研究重心从电荷自由度转向自旋自由度的实验理由。

与其他材料平台的比较

平台	量子点尺寸	主要优势	主要挑战
GaAs/AlGaAs	百纳米以上	迁移率极高、加工容易	全部同位素含非零核自旋， $T_{2}^{*}$ 仅纳秒量级
Si/SiGe	$\sim 60 nm$	迁移率高、无序低、可同位素纯化、与产线兼容、易二维扩展	谷劈裂偏小、本征自旋–轨道弱需微磁体、电荷噪声
Si-MOS	$\sim 30 nm$	衬底稳定、与 CMOS 完全兼容、2DEG 贴近表面栅控灵敏	界面缺陷与电荷陷阱多、迁移率低、易形成杂点
Ge/SiGe	百纳米量级	本征自旋–轨道强，无需微磁体即可全电控快速操控	热预算低，与现有产线兼容性受限
Si:³¹P 施主	$\sim 2 nm$	原子级一致性	制备与调控极困难

与其他概念的关系

异质结提供二维电子气，栅极再把它切成量子点、双量子点乃至量子点阵列。
单点性质经库仑阻塞与库仑菱形表征，双点及以上经电荷稳定图表征，参数换算依赖杠杆臂与常相互作用模型。
比特层面：单自旋量子比特由EDSR + 微磁体操控，两比特门经交换相互作用实现；读出用单发读出或色散读出。
扩展层面：虚拟栅极与串扰矩阵是阵列可调性的前提，二维阵列是表面码纠错的物理载体。
杂化层面：高阻抗谐振腔把电荷–光子耦合与自旋–光子耦合推入强耦合区，为远程互连铺路。
限制层面：电荷噪声与界面缺陷是当前相干时间的主要瓶颈。

参考文献

Si/SiGe 量子点测控的代表性实验：Noiri et al., Nature 601, 338 (2022)、Xue et al., Nature 601, 343 (2022)；综述见 Zwanenburg et al., RMP 85, 961 (2013)。

完整文献库（含各篇站内全文页）见参考文献库。

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