单态–三重态量子比特

单态–三重态量子比特把两个电子的联合自旋态 $|S⟩$ 和 $|T_0⟩$ 作为逻辑基，操控轴分别来自交换作用与两点间磁场梯度。

物理图像与编码

在串联双量子点的 $(1,1)$ 电荷区，左右两点各囚禁一个电子。两个自旋 $1/2$ 合成一个单态和三个三重态：

$$|S⟩=\frac{|\uparrow \downarrow ⟩-|\downarrow \uparrow ⟩}{\sqrt{2}},|T_0⟩=\frac{|\uparrow \downarrow ⟩+|\downarrow \uparrow ⟩}{\sqrt{2}},|T_{+}⟩=|\uparrow \uparrow ⟩,|T_{-}⟩=|\downarrow \downarrow ⟩.$$

在弱耦合、零磁场下这四个态近似简并。沿电荷稳定图中 $(1,1)$–$(0,2)$ 反交叉线改变失谐 $\epsilon$（两电荷态的能量差），进入 $\epsilon >0$ 区域后两个电子占据同一点：基态是单态 $S(0,2)$，而三重态 $T(0,2)$ 因泡利不相容原理要求一个电子占据激发轨道，能量高出 $E_{ST}$（GaAs 中一般为数百 $\mu$eV，典型值约 $400\mu$eV），在操控与读出中不参与。施加外磁场 $B_{\mathrm{ext}}$ 后 $T_{\pm }$ 发生塞曼劈裂 $\pm g{\mu }_B{B}_{\mathrm{ext}}$，在 $J(\epsilon )=g{\mu }_B{B}_{\mathrm{ext}}$ 处 $S$ 与 $T_{+}$ 交叉；交叉点一侧 $S$ 与 $T_0$ 构成有效二能级系统，即单态–三重态（$S$–$T_0$）量子比特。选择两个零磁量子数态编码的好处是：均匀磁场对二者产生的塞曼相移相同，比特对全局磁场涨落一阶免疫，剩下的退相干主要来自两点磁场的差值。

泡利自旋阻塞下正/反偏压偏压三角形中电子跃迁通道与能级示意图

这一编码方案的吸引力在于全电控：$z$ 轴旋转只需栅压脉冲调节 $J(\epsilon )$，无需微波磁场，绕开了单自旋方案中金属条带加热与寻址的难题。方案由 Levy 于 2002 年提出，2005 年 Petta 等在 GaAs 双量子点中首次演示 $S$–$T_0$ 相干交换振荡；此后微磁体梯度方案被引入硅基器件（Eriksson 组），两个 $S$–$T_0$ 比特间的纠缠也由 Yacoby 组实现。在比特编码的家族中，它与单自旋量子比特（一个电子）、交换型三电子编码构成按电子数递增的序列。

理论模型

$S$–$T_0$ 比特的理论描述分两层：先由 $(1,1)$–$(0,2)$ 电荷反交叉的两能级模型给出可调交换能 $J(\epsilon )$，再把超精细核场作为准静态微扰加入，得到含两条控制轴的有效二能级哈密顿量。

交换能：从电荷反交叉到 $J(\epsilon )$

点间隧穿保持自旋守恒，因此只有自旋相同的态相互耦合：$S(1,1)$ 与 $S(0,2)$ 耦合，而 $T_{0,\pm }$ 不与 $S(0,2)$ 耦合。在基 $\{S(0,2),S(1,1)\}$ 下

$$H=\left(\begin{array}{cc}-\epsilon & \Delta \\ \Delta & 0\end{array}\right)$$

其中 $\Delta$ 表征隧穿耦合强度。本征能量为 $(-\epsilon \pm \sqrt{{\epsilon }^2+4{\Delta }^2})/2$。$T_0$（能量取为零点）与较低单态本征态的能量差定义为交换相互作用能

$$J(\epsilon )=\frac{\epsilon +\sqrt{{\epsilon }^2+4{\Delta }^2}}{2}$$

在负大失谐极限 $J(\epsilon )\approx {\Delta }^2/|\epsilon |$，即交换能被指数式地压向零。这与 Hubbard 图像一致：在充电能 $U$ 远大于失谐与塞曼差时，$J=\frac{2t_c^2}{U-\epsilon -\Delta E_z}+\frac{2t_c^2}{U-\epsilon +\Delta E_z}\approx \frac{4t_c^2}{U}$，$t_c$ 为隧穿耦合。失谐和势垒栅压都能调节 $J$，但二者对电荷噪声的敏感度不同。

核磁场与有效二能级哈密顿量

在 GaAs 中，每个电子通过超精细相互作用与约 $10^6$ 个核自旋耦合。核自旋动力学远慢于电子，可采用准静态近似，把核自旋库等效为冻结的有效磁场（奥弗豪泽场）。记两点电子感受到的平均场与差场分别为

$$B=B_{\mathrm{ext}}+\frac{B_{\mathrm{nuc},l}+B_{\mathrm{nuc},r}}{2},dB=\frac{B_{\mathrm{nuc},l}-B_{\mathrm{nuc},r}}{2}$$

总哈密顿量为

$$H=g{\mu }_B[B\cdot (S_l+S_r)+dB\cdot (S_l-S_r)]-J(\epsilon )S_l\cdot S_r.$$

以 $\{|T_{+}⟩,|T_0⟩,|T_{-}⟩,|S⟩\}$ 为基展开（各耦合项符号依赖于基矢相位约定）：

$$\frac{H}{g{\mu }_B}=\left(\begin{array}{cccc}{B}_z& 0& 0& \frac{d{B}_x-id{B}_y}{2}\\ 0& 0& 0& -d{B}_z\\ 0& 0& -B_z& -\frac{d{B}_x-id{B}_y}{2}\\ \frac{d{B}_x+id{B}_y}{2}& -d{B}_z& -\frac{d{B}_x+id{B}_y}{2}& -\frac{J(\epsilon )}{g{\mu }_B}\end{array}\right).$$

可见：平均场的 $z$ 分量劈裂 $T_{\pm }$；两点核场差的 $z$ 分量 $d{B}_z$ 耦合 $S$ 与 $T_0$；差场的横向分量耦合 $S$ 与 $T_{\pm }$。当 $B_z\gg B_{\mathrm{nuc}}$ 时 $T_{\pm }$ 被塞曼能移出，$\{|T_0⟩,|S⟩\}$ 子空间的有效哈密顿量为

$$H_{\mathrm{eff}}=\left(\begin{array}{cc}0& -g{\mu }_{B}d{B}_z\\ -g{\mu }_{B}d{B}_z& -J(\epsilon )\end{array}\right)$$

这就是 $S$–$T_0$ 比特的工作哈密顿量：对角元差 $J(\epsilon )$ 提供 $z$ 轴，非对角元 $g{\mu }_{B}d{B}_z$ 提供 $x$ 轴。类似地，在 $S$–$T_{+}$ 交叉点附近，横向核场差以混合角 $\theta =\arctan [2\Delta /(\sqrt{{\epsilon }^2+4{\Delta }^2}-\epsilon \left)\right]$ 加权后驱动 $S\leftrightarrow T_{+}$，把交叉变成反交叉。

操控：交换轴与梯度轴

在布洛赫球上 $|S⟩$、$|T_0⟩$ 分居南北极，$J=0$ 时的本征态 $|\uparrow \downarrow ⟩$、$|\downarrow \uparrow ⟩$ 定义 $x$ 轴。

$z$ 轴（交换轴）：把系统脉冲到 $J(\epsilon )\gg |g{\mu }_{B}d{B}_z|$ 的失谐位置，态矢量以频率 $J(\epsilon )/h$ 绕 $z$ 轴进动，积累 $S$ 与 $T_0$ 间的相对相位。由于初始化只能制备 $|S⟩$（北极），而交换振荡的可见度在态处于赤道时最大，标准流程借助绝热跟随把初态搬到赤道：在 $(0,2)$ 区初始化 $S(0,2)$ 后，用快速绝热脉冲越过 $S$–$T_{+}$ 交叉进入 $(1,1)$ 区，再缓慢斜坡关闭 $J(\epsilon )$，系统跟随瞬时本征态演化为核场本征态 $|\uparrow \downarrow ⟩$ 或 $|\downarrow \uparrow ⟩$（取决于即时核场）；随后非绝热地打开 $J(\epsilon )$ 进动时间 ${\tau }_E$，最后用反向绝热跟随把 $x$ 轴映射回 $z$ 轴读出。单态概率随 ${\tau }_E$ 与 $\epsilon$ 呈现清晰的振荡条纹，增大点间隧穿耦合可提高振荡频率。

$x$ 轴（梯度轴）：驱动到 $J\approx 0$ 的大失谐处，$g{\mu }_{B}d{B}_z$ 使 $S$ 与 $T_0$ 互相转化。困难在于 GaAs 中核场差是随机的：热涨落使 $x$ 旋转的角度逐次实验抖动，退相干时间 $T_2^{\ast }$ 只有约 $10$ns，与平均旋转周期同量级。可靠的 $x$ 轴操作需要稳定且足够大的磁场梯度，两条主流路线是在量子点旁集成微磁体，或通过动态核自旋极化（dynamic nuclear polarization，DNP）泵浦出稳定的核场梯度。两条不共线轴组合即可合成普适单比特门。

交换振荡在实验上表现为 QPC 微分电导随失谐 $\epsilon$ 与演化时间 ${\tau }_E$ 的二维条纹图：固定失谐做线切即得阻尼正弦的振荡曲线，频率给出 $J(\epsilon )/h$；增大点间隧穿耦合 $2t_c$，振荡明显加快。这组”频率–失谐”数据同时是标定 $J(\epsilon )$ 曲线、与自旋漏斗结果互相校验的手段。

初始化、读出与表征

初始化：在 $(0,2)$ 区等待远大于弛豫时间的时长，系统弛豫到基态 $S(0,2)$，再脉冲分离到 $(1,1)$ 区即得 $|S⟩$。分离脉冲需满足”快速绝热”条件：既要快于核场引起的 $S$–$T$ 混合时间（避免被核场翻转），又要慢于隧穿劈裂对应的绝热极限（避免激发到高能态）——这一时间窗口是整条操控流水线的基准。

读出（自旋–电荷转换）：在 $(1,1)$–$(0,2)$ 反交叉的正失谐一侧，单态基态为 $(0,2)$ 电荷构型而三重态基态仍为 $(1,1)$。操作结束后把系统快速驱动到读出窗口（$\epsilon <E_{ST}$）：末态为单态则跃迁到 $S(0,2)$，末态为三重态则因 $T(0,2)$ 能量过高而被”阻塞”在 $(1,1)$——这就是泡利自旋阻塞（Pauli spin blockade）。两种自旋由此映射为两种电荷构型，可由QPC 电荷传感器或射频单电子晶体管分辨，是单发读出的基础。

实验上观测阻塞有两种方式。输运法：在源漏间加偏压，反偏压下输运循环 $(0,1)\to (1,1)\to (0,2)\to (0,1)$ 在形成三重态时中断，偏压三角形内电流被抑制，而正偏压下循环 $(0,1)\to (0,2)\to (1,1)\to (0,1)$ 只经过 $S(0,2)$，电流畅通——正反偏压的不对称（整流特征）即自旋阻塞的指纹；该法要求点间与点–库耦合都适中，并非所有样品都能测到。脉冲栅法：不依赖电流，先在 $(0,1)$ 区初始化，再移到加载点无自旋选择地装入第二个电子（$S$ 与三个 $T$ 近似等概率），最后脉冲到 $(0,2)$ 区内的测量点停留大部分周期；当测量点落在由三条电荷跃迁（延长）线围成的”阻塞三角形”内时，QPC 信号介于 $(1,1)$ 与 $(0,2)$ 两种构型之间，表明部分时间系统被阻塞在 $(1,1)$。由三角形内信号随脉冲周期的指数衰减可提取三重态弛豫时间，论文样品上测得约 $70\mu$s。

$J(\epsilon )$ 的标定（自旋漏斗）：把 $S(0,2)$ 快速绝热地脉冲到失谐 $\epsilon$ 处等待 ${\tau }_S\gg T_2^{\ast }$（保证与核场充分混合）再返回读出。当脉冲尖端落在 $S$–$T_{+}$ 交叉线上（$J(\epsilon )=g{\mu }_B{B}_{\mathrm{ext}}$）时，核场横向分量驱动 $S$–$T_{+}$ 混合，单态概率下降；在 $(\epsilon ,B_{\mathrm{ext}})$ 平面上呈现漏斗状特征，沿漏斗线即可逐点提取 $J(\epsilon )$。

$S$–$T_{+}$ Landau–Zener–Stückelberg 干涉：$S$–$T_{+}$ 反交叉可用Landau–Zener 跃迁做相干控制。单次以速率 $v$ 穿过反交叉时，停留在 $S$ 的振幅满足 $|A_S{|}^2=P_{LZ}=\exp (-2\pi {\Delta }_{ST}^2/\hslash v)$（${\Delta }_{ST}$ 为反交叉能隙）；在两次穿越之间于失谐 $\epsilon$ 处停留 ${\tau }_S$，积累相位 $\phi =\frac{1}{\hslash }\int \{E_S[\epsilon (t)]-E_{T_{+}}[\epsilon (t)]\}dt$，返回时发生干涉。理想情形 $P_{LZ}=1/2$ 时每次穿越等效于一个 Hadamard 门，相位积累等效于绕 $z$ 轴旋转，二者合成普适单比特操作——这是LZSM 干涉在自旋比特中的形态。此外，反复”绝热穿过、非绝热返回” $S$–$T_{+}$ 反交叉，每循环翻转一个核自旋，可实现动态核自旋极化，在两点间建立稳定梯度供 $x$ 轴操作使用。

参数与量级

参数	典型量级	说明
$(0,2)$ 单态–三重态能级差 $E_{ST}$	数百 $\mu$eV（GaAs 约 $400\mu$eV）	限定读出窗口 $\epsilon <E_{ST}$
交换能 $J(\epsilon )$	近零到反交叉处最大，连续可调	$z$ 轴旋转频率 $J/h$
核场差耦合 $g{\mu }_{B}d{B}_z$（GaAs）	对应 $T_2^{\ast }\approx 10$ns	随机梯度限制 $x$ 轴操控
每个电子耦合的核自旋数（GaAs）	约 $10^6$	准静态奥弗豪泽场的来源
$T_2^{\ast }$（Si 中 $S$–$T_0$ 比特）	$\approx 360$ns	同位素纯化抑制核场涨落
$T_2$（GaAs，动力学解耦）	$\approx 0.87$ms	以门时间为代价抑制低频噪声
三重态弛豫 $T_1$（阻塞窗口内）	数十 $\mu$s（论文样品约 $70\mu$s）	由阻塞信号衰减提取
$S$–$T_{+}$ 交叉条件	$J(\epsilon )=g{\mu }_B{B}_{\mathrm{ext}}$	自旋漏斗与 LZS 的工作点

噪声、相干与对称工作点

$S$–$T_0$ 比特的退相干有两个主要来源。其一是超精细核场：$d{B}_z$ 的准静态涨落使绕 $x$ 轴（以及含 $x$ 分量的任意）旋转的角度逐次抖动，是 GaAs 器件中 $T_2^{\ast }$ 短至约 $10$ns 的原因；改用核自旋为零的Si/SiGe 或 Si-MOS 平台并同位素纯化 ${}^{28}$Si，可把 $T_2^{\ast }$ 延长到数百 ns，配合动力学解耦还可压制低频成分（GaAs 中 $T_2$ 达 $0.87$ms）。其二是电荷噪声：$J(\epsilon )$ 本质上来自 $(1,1)$ 与 $(0,2)$ 单态的杂化，失谐涨落 $\delta \epsilon$ 直接调制比特频率，敏感度正比于 $dJ/d\epsilon$——增大 $J$ 加快门操作的同时必然加大对电荷噪声的敏感度，且 $S$ 态混入 $S(0,2)$ 成分使系统带有电偶极矩。

速度与相干之间的折中因此是 $S$–$T_0$ 比特工程的核心。缓解办法是对称工作点（sweet spot）：$(1,1)$ 同时与 $(0,2)$、$(2,0)$ 耦合，总可以在 $(1,1)$ 区内找到一点使两侧杂化带来的偶极矩相互抵消，此时 $J$ 对失谐一阶不敏感，改为通过隧穿耦合调节 $J$；代价是控制势垒的栅极不可避免地牵动失谐，需要在三个栅极上施加同步补偿脉冲。在此之上，复合脉冲（用分段旋转抵消静态控制误差）与动力学解耦序列（用快速反转平均掉慢噪声）分别从空间和时间两个维度进一步抑制误差，是把门保真度推向容错阈值的常用工具。

与其他概念的关系

与单自旋量子比特相比，$S$–$T_0$ 编码的全部操控可由栅压脉冲（全电控）完成，无需微波磁场或强局域驱动，代价是每个比特占用两个电子、且需要稳定的磁场梯度。其 $z$ 轴与本站交换相互作用词条共享同一微观起源；$x$ 轴所需的梯度与微磁体方案互通。向更多电子数推广，三电子情形给出共振交换量子比特与杂化量子比特，其 $\{|S⟩,|T_0⟩\}$ 子空间结构在两重态–四重态体系中会以相似形式复现。多电子双量子点中还会出现四重态阻塞等超出两电子模型的结构（论文第 3 章），不能简单套用本词条的哈密顿量。两个 $S$–$T_0$ 比特之间可借杂化偶极矩的电容耦合实现纠缠（Yacoby 组已演示）；在硅基阵列中，同一交换哈密顿量在 $J\gg \Delta E_z$ 极限下给出 $\sqrt{\mathrm{SWAP}}$ 类两比特门，与单自旋编码的门集互补。

参考文献

• 单态–三重态编码的脉冲门与弛豫测量：Petta et al., PRB 72, 161301(R) (2005)。
• 两个 ST 比特的纠缠演示：Shulman et al., Science 336, 202 (2012)。

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