LZSM 干涉

LZSM 干涉把一次 Landau–Zener 跃迁当作分束器：两条量子路径在反交叉之间积累不同相位，第二次相遇时相长或相消；扫描足够多周期时，整张图样退化成参数空间的干涉条纹图。

物理图像

LZSM 干涉（Landau–Zener–Stückelberg–Majorana interference）的出现场景是：含时二能级系统的失谐 $\epsilon (t)$ 在时间上做周期性或往返扫描，使系统多次经过同一个避免交叉。每次经过反交叉，瞬时本征能级之间的 Landau–Zener（LZ）跃迁以概率 $P_{\mathrm{LZ}}$ 把入射态”分束”成沿两条瞬时本征能级继续演化的两个分量；在两次穿越之间，两个分量沿不同能级 $E_{+}(t)$ 与 $E_{-}(t)$ 积累不同的动力学相位；当下一次反交叉再次把它们合束时，相位差决定了相长还是相消。这一过程在形式上与光学 Mach–Zehnder 干涉仪完全同构：

• 反交叉处的 LZ 跃迁 = 分束器；
• 两次穿越之间的绝热演化 = 两条长度不同的光路；
• 最终在反交叉处再次相遇 = 第二个分束器/合束器。

该图像的三个关键推论是：

1. 条纹周期由相位累积条件 $\varphi ({\epsilon }_0,A,t_r)=2N\pi$ 给出，$N$ 为整数；
2. 条纹可见度 $V=4P_{\mathrm{LZ}}(1-P_{\mathrm{LZ}})$ 完全由单次穿越的LZ 跃迁概率决定，因此可见度本身是测 $P_{\mathrm{LZ}}$ 的工具；
3. 条纹位置对静态失谐 ${\epsilon }_0$、驱动幅度 $A$ 与扫描时间 $t_r$ 高度敏感，且对退相干不改变周期、只衰减幅度——这使 LZSM 干涉同时成为相干操控手段与噪声谱学探针。

模型哈密顿量与瞬时本征态

以双量子点的左右电荷态 $|L⟩$、$|R⟩$ 为裸基，体系含时哈密顿量（见LZ 跃迁条目）

$$H(t)=\frac{\epsilon (t)}{2}{\sigma }_z+\Delta {\sigma }_x$$

给出瞬时本征值

$$E_{\pm }(t)=\pm \frac{1}{2}\sqrt{\epsilon (t{)}^2+4{\Delta }^2}$$

其中 $\epsilon =E_R-E_L$ 为失谐，$2|\Delta |$ 为反交叉处最小能隙（亦称隧穿耦合，由隧穿耦合给出）。瞬时本征态

$$|\pm (t)⟩=\cos \frac{\theta }{2}|L⟩\pm \sin \frac{\theta }{2}|R⟩,\tan \theta (t)=\frac{2\Delta }{\epsilon (t)}.$$

远离反交叉（$|\epsilon |\gg 2|\Delta |$）时 $|\pm ⟩$ 与裸态重合；在反交叉处 $\theta =\pi /2$，两条能级在能量上最近但身份互换。后续讨论中 $2\Delta$ 取正值（具体约定依文献而异，需与LZ 跃迁条目约定一致）。

单次穿越的演化矩阵

把演化分成”远离反交叉的绝热段”与”反交叉附近的脉冲段”两段（绝热–脉冲模型），单次反交叉的演化矩阵可写为

$$U_{\mathrm{LZ}}=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{1-P_{\mathrm{LZ}}}{e}^{i{\phi }_{\mathrm{LZ}}}& i\sqrt{P_{\mathrm{LZ}}}\\ i\sqrt{P_{\mathrm{LZ}}}& \sqrt{1-P_{\mathrm{LZ}}}{e}^{-i{\phi }_{\mathrm{LZ}}}\end{array}\right)$$

其中混合角 ${\theta }_{\mathrm{LZ}}=2{\sin }^{-1}\sqrt{P_{\mathrm{LZ}}}$，相位

$${\phi }_{\mathrm{LZ}}={\phi }_S-\frac{\pi }{2},{\phi }_S=\frac{\pi }{4}+\arg \Gamma (1-i\delta )+\delta (\ln \delta -1)$$

${\phi }_S$ 为斯托克斯相位（Stokes phase），$\delta ={\Delta }^2/(\hslash v)$ 为绝热参数，$\Gamma$ 为伽玛函数。绝热极限 $\delta \to \infty$ 时 $P_{\mathrm{LZ}}\to 0$、${\phi }_S\to 0$；突发极限 $\delta \to 0$ 时 $P_{\mathrm{LZ}}\to 1$、${\phi }_S\to \pi /4$。在 Bloch 球上一次 LZ 跃迁可分解为 $U_{\mathrm{LZ}}=R_z(-{\phi }_{\mathrm{LZ}})R_x({\theta }_{\mathrm{LZ}})R_z(-{\phi }_{\mathrm{LZ}})$。

两次穿越之间的绝热演化

两次穿越之间的绝热演化只产生绕 ${\sigma }_z$ 轴的相位，其算符为

$$U_{\varphi }=\exp \left(-i\frac{\varphi }{2}{\sigma }_z\right)$$

相位 $\varphi$ 等于两条本征能级曲线之间在演化区间内所围的面积

$$\varphi =\frac{1}{\hslash }{\int }_{t_1}^{t_2}[E_{+}(t)-E_{-}(t)]dt=\frac{1}{\hslash }{\int }_{t_1}^{t_2}\sqrt{\epsilon (t{)}^2+4{\Delta }^2}dt.$$

这正是光学 Mach–Zehnder 干涉仪中的”光程差”角色。

两次穿越：从分束到干涉

把两次 LZ 跃迁与中间绝热演化串联，可得总演化算符

$$U=U_1{U}_{\mathrm{LZ}}{U}_2{U}_{\mathrm{LZ}}=e^{-i{\varphi }_1{\sigma }_z/2}{U}_{\mathrm{LZ}}{e}^{-i{\varphi }_2{\sigma }_z/2}{U}_{\mathrm{LZ}}.$$

以 $|-⟩$ 入射、$|+⟩$ 出射的概率幅为

$$p_{+}=i{e}^{i{\varphi }_1/2}\cos \left(\frac{{\varphi }_2}{2}-{\phi }_{\mathrm{LZ}}\right)\sin {\theta }_{\mathrm{LZ}}$$

最终测量到的跃迁概率

$$P_{+}=2P_{\mathrm{LZ}}(1-P_{\mathrm{LZ}})[1+\cos ({\varphi }_2-2{\phi }_{\mathrm{LZ}})]$$

是 ${\varphi }_2-2{\phi }_{\mathrm{LZ}}$ 的余弦调制——这一相位被称作 Stückelberg 相位 ${\phi }_{\mathrm{St}}$。两个极端情形清晰可读：

• 当 ${\phi }_{\mathrm{St}}=2N\pi$ 时 $P_{+}$ 取极大值 $4P_{\mathrm{LZ}}(1-P_{\mathrm{LZ}})$，相长干涉；
• 当 ${\phi }_{\mathrm{St}}=(2N+1)\pi$ 时 $P_{+}=0$，相消干涉。

条纹可见度 $V=4P_{\mathrm{LZ}}(1-P_{\mathrm{LZ}})$ 只取决于单次穿越的 $P_{\mathrm{LZ}}$，在 $P_{\mathrm{LZ}}=1/2$ 时取最大值 $1$。这意味着只要测出 LZSM 条纹的可见度，就能反推 $P_{\mathrm{LZ}}$，进而独立检验 LZ 公式。

尖脉冲极限：把”控制参数”显式化

以高斯型尖锐脉冲为例：脉冲幅度 $A$、上升沿时间 $t_r$，初始失谐 ${\epsilon }_0$，扫速 $v=A/t_r$。在 $\Delta /v\ll 1$ 的尖脉冲极限下，绝热演化相位简化为

$${\varphi }_i=\frac{(A-{\epsilon }_0{)}^2}{A}\cdot \frac{t_r}{\hslash }$$

相长干涉条纹出现在

$${\epsilon }_0^{(N)}=A-\sqrt{\frac{2\pi \hslash AN}{t_r}}$$

即失谐位置随条纹阶数 $N$ 以平方根压缩——这是 LZSM 条纹区别于一般拉比振荡的指纹。

总演化在 Bloch 球上的合成旋转为

$$\phi =\frac{(A-{\epsilon }_0{)}^2{t}_r}{A\hslash },\theta =2{\theta }_{\mathrm{LZ}}=4{\sin }^{-1}\exp \left(-\frac{2\pi {\Delta }^2{t}_r}{\hslash A}\right).$$

由于 $A$、$t_r$、${\epsilon }_0$ 与 $\Delta$ 均独立可调，一次 LZSM 序列即可实现 Bloch 球上任意角度的旋转，对应普适单比特操控——这正是 GaAs 双量子点电荷比特上曹刚等人 2013 年的实验（Cao et al., Nature Communications 4, 1401）所演示的过程。

周期驱动与 Floquet 描述

实际实验中常给失谐施加单色微波 $\epsilon (t)={\epsilon }_0+A_d\sin (2\pi {\nu }_{d}t)$。每个驱动周期两次穿越反交叉，多次 LZ 跃迁叠加出稳态干涉图样；此时需要用Floquet 理论系统化处理。

含时薛定谔方程 $H(t)|\psi ⟩=i\hslash {\partial }_t|\psi ⟩$ 在周期驱动下存在准能量（quasienergy）$\mu$ 与周期性的准能量态 $|{\varphi }_{\alpha }(t)⟩=|{\varphi }_{\alpha }(t+T)⟩$ 满足

$$[H(t)-i\hslash {\partial }_t]|{\varphi }_{\alpha }(t)⟩={\mu }_{\alpha }|{\varphi }_{\alpha }(t)⟩$$

把含时问题化为 Sambe 空间 ${\mathcal{H}}_0\otimes {\mathcal{H}}_T$ 中的本征值问题

$$H_F|\varphi ⟩=\mu |\varphi ⟩$$

矩阵元为

$$⟨\alpha ,n|H_F|\beta ,m⟩=H_{\alpha \beta }^{(n-m)}+m\hslash {\omega }_d{\delta }_{\alpha \beta }{\delta }_{nm}.$$

求解得到准能量具有类似固体能带的一维周期性（布里渊区），相邻 Floquet 态在布里渊区边界处发生”免交叉”，对应实验中观测到的 Floquet 谱线。Floquet 态的占据概率 $p_{\alpha }$ 由 Bloch–Redfield 主方程的稳态给出：在免交叉点附近 $p_0\approx p_1\approx 1/2$，远离免交叉点则集中占据在平均能量较低的 Floquet 态上。

对受驱电荷比特，受腔的相位平均磁化系数（phase-averaged susceptibility）表征腔响应

$${\chi }^{(0)}(\nu )=(p_0-p_1)\sum _k\frac{|Z_{10,k}{|}^2}{2\pi \nu -2\pi \mu /\hslash +2\pi k{f}_d+i\gamma /2}$$

其中 $Z_{10,k}$ 是偶极算符 ${\tau }_z$ 在 Floquet 态间的第 $k$ 阶傅里叶分量。腔反射信号幅值 $|S_{11}|$ 因此能直接读出 Floquet 布居与干涉相位。

双共振条件与”月牙”孔洞

当 Floquet 态间的跃迁共振条件 $\mu /h=k{f}_d$（$k$ 为整数）与腔辅助跃迁条件 $\mu /h={\nu }_r+k^{\prime }{f}_d$ 同时满足，即双共振条件

$$k{f}_d=\mu /h={\nu }_r+k^{\prime }{f}_d(k\ne k^{\prime })$$

对应驱动频率 $f_d={\nu }_r/2,{\nu }_r/3,\dots$ 时，干涉图样出现新现象：每个干涉条纹从中部被劈开，出现”月牙”形孔洞（crescent-shaped hole），孔洞中心腔反射信号被强烈抑制。物理解释是：在准能量免交叉附近 Floquet 态布居数重新分布，$p_0-p_1$ 接近 0，${\chi }^{(0)}$ 与腔响应同步塌陷。该现象与光学烧孔类似，在 GaAs 双量子点–高阻抗 SQUID 阵列腔（$2t_c/h=6.2$ GHz、${\nu }_r=6.51$ GHz、$f_d=3.3$ GHz）上被直接观测到（论文第 6 章）。

量子点体系的具体实现

电荷比特：脉冲扫过反交叉

电荷量子比特把单个电子在双量子点中的位置 $|L⟩$/$|R⟩$ 编码为基矢，失谐由栅压脉冲控制。在 GaAs/AlGaAs 双量子点（电极几何约 250 nm、2DEG 在表面下 95 nm、密度 $3.2\times 10^{11}$ cm${}^{-2}$、迁移率 $1.5\times 10^5$ cm${}^2$/V·s）中，调节栅压把反交叉能隙调至 $2\Delta =20.7\mu$eV（$\approx 5$ GHz，由拉比频率标定），用 Agilent 81134A 脉冲码型发生器经 Anritsu K251 T 型偏置器叠加直流偏置施加在电极 A3 上，样品装载于 Oxford Triton 400 无液氦稀释制冷机中（T=30 mK），由量子点接触（QPC）作为电荷传感器读取电荷分布。固定脉冲形状后扫描静态失谐 ${\epsilon }_0$，占据概率随 ${\varphi }_i\propto (A-{\epsilon }_0{)}^2$ 周期性振荡；相长干涉条纹位置 ${\epsilon }_0^{(N)}=A-\sqrt{2\pi \hslash AN/t_r}$ 与理论预言定量吻合。

单态–三重态比特的 $S$–$T_{+}$ 反交叉

单态–三重态量子比特中，核场横向分量把 $S$–$T_{+}$ 交叉变成反交叉，可用相同的 LZSM 框架做相干控制：

• 单次以速率 $v$ 穿过反交叉，停留在 $S$ 的概率为 $|A_S{|}^2=P_{\mathrm{LZ}}=e^{-2\pi {\Delta }_{ST}^2/\hslash v}$；
• 中间停留 ${\tau }_S$ 后沿失谐 $\epsilon$ 演化，相位累积

$$\varphi =\frac{1}{\hslash }\int [E_S(\epsilon (t))-E_{T_{+}}(\epsilon (t))]dt;$$

• 第二次穿越再次经过反交叉并发生干涉。在 $P_{\mathrm{LZ}}=1/2$ 的理想工作点，每次穿越等效于一个 Hadamard 门，中间相位累积等效于绕 $z$ 轴旋转，二者合成普适单比特操作；
• 同一反交叉的”绝热穿过、非绝热返回”循环每圈翻转一个核自旋，实现动态核自旋极化（DNP），在两点间建立稳定的磁场梯度（论文第 2.2.4 节）。

周期微波驱动与腔探测

把微波以电极方式耦合到失谐 $\epsilon (t)={\epsilon }_0+A_d\cos (2\pi {\nu }_{d}t)$ 时，每次驱动周期内两次穿越反交叉，相当于对 Stückelberg 相位 ${\phi }_{\mathrm{St}}$ 做周期性扫描。在 GaAs 双量子点–SQUID 阵列高阻抗腔体系（论文第 6 章）中：

• 隧穿耦合速率 $2t_c/h=6.2$ GHz，谐振腔 ${\nu }_r=6.51$ GHz；
• 耦合强度 $g_c/2\pi \approx 70$ MHz，超过退相干速率 $\gamma /2\pi \approx 50$ MHz 与腔耗散速率 $\kappa /2\pi \approx 65.2$ MHz，处于强耦合区；
• 在 $f_d=3.3$ GHz（$\approx {\nu }_r/2$）驱动下，干涉条纹中部劈开为月牙孔洞，腔反射信号幅值在孔洞处被显著抑制。

强周期驱动的另一表现：与光子辅助隧穿（PAT）共享同一实验条件。在双量子点 PAT 实验（15 GHz 微波）中，峰高随功率在某些功率点几乎归零、峰位等间距、高功率下出现更多阶数的峰——这三个特征正是 LZSM 干涉区别于单光子 PAT 的指纹。

参数与量级

量	典型值	体系 / 来源
反交叉能隙 $2\Delta$	$20.7\mu$eV（$\approx 5$ GHz，由拉比频率标定）	GaAs/AlGaAs 双量子点电荷比特
量子点几何尺寸	$\approx 250$ nm；2DEG 位于表面下 95 nm	同上
2DEG 电子密度 / 迁移率	$3.2\times 10^{11}$ cm${}^{-2}$ / $1.5\times 10^5$ cm${}^2$/V·s	同上
稀释制冷机温度	$30$ mK（Oxford Triton 400）	同上
脉冲源	Agilent 81134A + Anritsu K251 偏置 T	同上
微波驱动频率	$15$ GHz（PAT/LZS 实验）	章节引用
$S$–$T_{+}$ LZS 工作磁场	数十至上百 mT	GaAs 自旋比特
强耦合腔辅助 LZSM	${\nu }_r=6.51$ GHz、$2t_c/h=6.2$ GHz、$g_c/2\pi \approx 70$ MHz	GaAs 双点–SQUID 阵列腔
双共振频率	$f_d\approx {\nu }_r/2=3.3$ GHz	同上
Bloch 球单比特门操作保真度	$\sim 68\%$（振幅控制）	双电荷比特 CNOT 中由 LZS 实现控制比特相位

实验特征与判据

条纹周期对参数的依赖：固定脉冲形状扫描静态失谐，$P_{+}$ 关于 ${\epsilon }_0$ 的振荡周期由

$${\epsilon }_0^{(N)}=A-\sqrt{\frac{2\pi \hslash AN}{t_r}}$$

控制——条纹位置随 $N$ 平方根压缩，与拉比振荡的等周期条纹明显不同，是 LZSM 干涉的指纹特征。

可见度反推 $P_{\mathrm{LZ}}$：理想情形下 $V=4P_{\mathrm{LZ}}(1-P_{\mathrm{LZ}})$；测出 $V$ 即可反推 $P_{\mathrm{LZ}}$，再独立检验 LZ 公式 $P_{\mathrm{LZ}}=e^{-2\pi {\Delta }^2/\hslash v}$。在论文中这一关系被进一步用于模拟 Kibble–Zurek（KZ）机制中的拓扑缺陷密度。

与 KZ 机制的对应：LZSM 干涉与 KZ 机制存在一一对应——扫速倒数 $1/v$ ↔ 淬火时间 ${\tau }_Q$、能级间隔倒数 $1/E_{\Delta }$ ↔ 弛豫时间 $\tau$、LZ 跃迁概率 $P_{\mathrm{LZ}}$ ↔ 归一化拓扑缺陷密度 ${\rho }_d$。在电荷比特上固定脉冲宽度、连续改变脉冲幅度调节扫速 $v$，测出 $P_{\mathrm{LZ}}(v)$ 即可重现 KZ 预言的 ${\rho }_d({\tau }_Q/{\tau }_0)$ 关系（论文第 6 章）。这一对应把 LZSM 干涉的可见度直接连接到非平衡相变的标度律。

退相干的作用：退相干不改变条纹的周期结构，只压低条纹幅度，且高阶条纹衰减更快。把条纹可见度按阶数展开做 Fourier 变换可同时提取 $T_2^{\ast }$（高斯衰减）和 $T_2$（指数衰减）：

$$P_{\mathrm{FT}}(k_A,k_{\epsilon })\propto \exp \left(-\frac{k_{\epsilon }}{T_2}-\frac{k_{\epsilon }^2}{2T_2^{\ast 2}}\right)$$

使 LZSM 干涉成为电荷噪声谱学的内建工具。

双共振驱动的”月牙”孔洞：在双量子点–高阻抗腔杂化系统中，固定 $f_d\approx {\nu }_r/2$ 扫描失谐与驱动功率，干涉条纹中部被劈开为月牙形孔洞，孔洞中心腔反射信号被强烈抑制；这是 Floquet 态布居在准能量免交叉附近重分布的实验特征（论文第 6 章）。

读出方式：在电荷比特中，末态 $|L⟩$/$|R⟩$ 直接由 QPC 传感；在自旋比特中先经泡利自旋阻塞做自旋–电荷转换；在腔杂化系统中则由谐振腔透射或反射信号 $|S_{11}|$ 成像整个干涉相图（见色散读出）。

与其他概念的关系

• 模型哈密顿量与双量子点杂化的两能级描述完全相同，能隙 $2\Delta$ 即隧穿耦合决定的反交叉间隔；工作点位于电荷稳定图的量子点间隧穿线上。
• 与单次穿越的LZ 跃迁互为补充：LZ 条目侧重单次跃迁概率与绝热参数，LZSM 条目侧重多次穿越的相位累积与干涉图样；二者共用同一组绝热–脉冲模型与 Stokes 相位。
• 与驻留反交叉的拉比振荡、相位积累的拉姆齐干涉共同构成二能级系统相干操控的三种基本范式；LZSM 方案的优点是不依赖在 $\epsilon =0$ 处精确定时、对波形失真更鲁棒，缺点是逻辑门由多次穿越拼接。
• 在电荷量子比特、单态–三重态量子比特与单自旋量子比特中分别对应失谐反交叉、$S$–$T_{+}$ 反交叉与自旋翻转避免交叉的扫越操控。
• 强微波驱动下与光子辅助隧穿共享同一实验条件；周期驱动情形的系统化处理见Floquet 动力学；与电路量子电动力学结合可由色散读出直接成相图（见电荷–光子耦合与高阻抗谐振腔）。
• 条纹对比度受电荷噪声限制；可见度与 LZ 概率的对应关系使其成为系统参数谱学探针。
• LZ 跃迁概率与 KZ 机制中拓扑缺陷密度的对应，使 LZSM 干涉成为非平衡相变量子模拟的可控平台（见论文第 6 章）。