锗棚顶纳米线

锗棚顶纳米线是自组织形成的细长 Ge 结构，横截面天然提供强限域，沿线再用栅极切分出空穴量子点。

物理图像与材料生长

锗棚顶纳米线（Ge hut wire）是 Si(001) 表面 Stranski–Krastanow 自组织生长的一种准一维 Ge 结构。其生长路线采用分子束外延（MBE）：先在 Si 缓冲层上生长一层 Ge，再做高温退火。应变使表面形成三种典型 Ge 团簇——棚顶型（hut）、圆顶型（dome）、金字塔型（pyramid）——高度约 20 nm、直径约 80 nm，最外层覆盖约 2 nm Si 后由自然氧化形成 SiO₂ 帽层。位置控制技术（site-control technique）可以在预光刻的 Si 凹槽边缘让棚顶型团簇沿面内 [100] 或 [010] 方向延展成微米级长线。

棚顶型纳米线的横截面是类三角形——这是它与锗硅核壳纳米线最关键的形貌差异。线高约 2 nm，侧边倾斜角约 11.3°，长度可达数 μm。文献还报道了”定位型（position-controlled）“变体：在预刻槽的 Si 衬底凹槽边缘，沿初始形成的 SiGe 层选择性生长，纳米线的位置、长度、间距可由光刻图形预先确定，从而可获得方形、T 形或紧密平行的阵列。

生长流程决定了它天然的几何与电学优势：

1. 面内生长、无需转移：与气–液–固（VLS）生长的核壳纳米线不同，棚顶线直接在 Si(001) 衬底上长出，不需要转移步骤，可与 CMOS 工艺兼容；
2. 三角截面带来重空穴–轻空穴能级劈裂：低能态几乎是纯重空穴（heavy hole，HH），减弱了 HH–LH 混合造成的非 Ising 型超精细耦合；
3. 应变来自 Ge/Si 晶格失配（约 4.2%），使空穴被强束缚在 Si 覆盖层下方的 Ge 量子阱中；
4. 缺少核自旋：⁷⁰Ge、⁷²Ge、⁷⁴Ge、⁷⁶Ge 等同位素自旋为 0，⁷³Ge（自然丰度 7.7%）是唯一带核自旋的稳定同位素，类比 ²⁸Si/³⁰Si 同位素纯化有希望大幅延长退相干时间。

代价也写在材料生长里：自组织位置随机，器件间的位置、长度、长短难以控制；源漏接触（常用 Pd/Al，厚度 30 nm 量级）只能落在随机选中的线上；超精细耦合虽然减弱，但 ⁷³Ge 在自然丰度下仍带来不可忽略的低频噪声。

锗硅核壳型纳米线横截面、能带结构与透射电子显微镜照片

横向限域与量子点的栅控定义

棚顶线沿生长方向本身已被强限域（厚度方向 ~2 nm），只在一维方向上需要用电学手段切分量子点。栅控定义空穴量子点的标准做法是：在 Ge 线上除去自然氧化层后，蒸镀 30 nm 厚的 Pd 作为源漏电极；接着用原子层沉积（ALD）生长 30 nm Al₂O₃ 作为绝缘层；最后在绝缘层上制备 3/25 nm Ti/Pd 顶层栅极。栅极宽 ~30 nm、间距 ~35 nm，五个栅极（一对势垒、一对 plunger、一个中间势垒）即可在线上形成电学定义的空穴单、双量子点。

因为横向势阱已经由 Ge 三角截面提供，纵向只需要三五根栅极，远少于 GaAs 二维电子气（2DEG）量子点所需的十几根栅极。这是”Ge 棚顶线减少定义量子点所需栅极数量”的来源，也是早期双量子点 EDSR 实验首先在棚顶线上实现的工艺前提。

价带结构：强自旋轨道耦合的根源

棚顶线是非中心反演对称结构——其三角截面天然打破反演对称，使得在外电场（栅压、源漏偏压）作用下，空穴的自旋自由度与轨道自由度通过 Rashba 自旋轨道耦合相互耦合。这是棚顶线作为空穴自旋比特平台的核心物理动机：相对 GaAs、Si 等电子型体系，它一方面避开了核自旋带来的超精细退相干（⁷³Ge 丰度低），另一方面又具有足够强的自旋轨道强度，使得电偶极自旋共振（electric dipole spin resonance, EDSR）成为可能。

一维 Rashba 哈密顿量

把空穴沿纳米线方向（取为 $y$ 方向）的运动视为一维，Rashba 自旋轨道耦合哈密顿量可写为

$$H_{\mathrm{SO}}={\alpha }_R{\kappa }_y{\sigma }_x$$

其中 ${\alpha }_R$ 为 Rashba 系数，${\kappa }_y=p_y/\hslash$ 是波矢，${\sigma }_x$ 为 Pauli 矩阵。在外磁场 $B=(0,0,B_Z)$ 下，塞曼项

$$H_Z=\frac{1}{2}g{\mu }_B{B}_Z{\sigma }_Z$$

微波电场 $E_y(t)=E_y^0\cos (\omega t)$ 通过自旋轨道耦合产生时间相关的有效磁场 $B_{\mathrm{SO}}(t)$，把 $H_Z+H_{\mathrm{SO}}$ 合在一起写出 2×2 矩阵：

$$H=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}g{\mu }_B{B}_Z& \frac{{\alpha }_{R}m\omega y_0\cos (\omega t)}{\hslash }\\ \frac{{\alpha }_{R}m\omega y_0\cos (\omega t)}{\hslash }& -\frac{1}{2}g{\mu }_B{B}_Z\end{array}\right)$$

其中 $y_0=e{E}_y^0/(m{\omega }^2)$ 是电场引起的位移幅度。微波驱动对角元随时间振荡，相当于在比特 Bloch 球上加一个旋转场，当微波频率 $\omega$ 与塞曼频率匹配时发生 EDSR。 用这套图像拟合了 11.5 GHz 微波功率 –11.5 dBm 下的共振峰，得到半高宽 $\Delta B_{\mathrm{EDSR}}\approx 1.5\mathrm{mT}$，再代入

$$T_2^{\ast }=\frac{2\hslash \sqrt{\ln 2}}{g{\mu }_B\Delta B_{\mathrm{EDSR}}}$$

得到空穴自旋退相干时间 $T_2^{\ast }\approx 8\mathrm{ns}$，作为后续 Rabi、Hahn echo 测量的下限参考。

漏电流与自旋阻塞解除：自旋轨道强度的定量提取

在双量子点的泡利自旋阻塞（Pauli spin blockade, PSB）区，自旋翻转共隧穿与自旋轨道耦合都会让漏电流增大。塞曼 + 自旋轨道共同作用下，外加磁场使 $S$ 态和 $T$ 态混合，阻塞被解除，漏电流在零磁场附近呈现”谷”的双峰结构，这是强自旋轨道耦合的特征指纹。实验测量了 $\epsilon =0$ 处的漏电流 $I(B)$，并用以下公式拟合：

$$I(B)={\Gamma }_{\mathrm{rel}}\frac{(\omega -B^2+{\tau }^2)[\omega (1+4\gamma )+B^2-{\tau }^2]}{6\gamma {\omega }^2+2B^2{\eta }^2{t}^2}$$

其中 $\omega =\sqrt{(B^2-{\tau }^2{)}^2+8B^2{\eta }^2{t}^2}$，$\tau =t\sqrt{1+3{\eta }^2}$，$\eta =t_{\mathrm{SO}}/t$，$\gamma ={\Gamma }_{\mathrm{rel}}/\Gamma$，$t$ 与 $t_{\mathrm{SO}}$ 分别是左右点间的隧穿耦合与自旋轨道耦合强度。拟合得到 $t=45\pm 5\mu \mathrm{eV}$、$t_{\mathrm{SO}}=27\pm 3\mu \mathrm{eV}$，从而定量提取了 $t_{\mathrm{SO}}/t\sim 0.6$ 的强自旋轨道特征。

库仑阻塞与库仑菱形

把棚顶线单点接入标准的输运电路：在 $V_{\mathrm{SD}}$ 上叠加锁相放大器交流激励，扫描 $V_{\mathrm{SD}}$ 与栅压 $V_G$，记录 $dI/d{V}_{\mathrm{SD}}$，得到以 $V_{\mathrm{SD}}$–$V_G$ 为自变量的微分电导图。

库仑振荡

在零偏压 $V_{\mathrm{SD}}=0$ 下扫描栅压，量子点在阻塞与谐振之间切换，呈现一列分立的电流峰，称为库仑振荡（Coulomb oscillation）。峰顶对应空穴的电化学势 $\mu (N)$ 与源漏费米面对齐。两种输运方法——直流（DC）与交流（AC）锁相——得到的峰位置完全对应，但 AC 模式的信噪比更高，在直流信号难以辨认的区域仍可看到峰。

库仑菱形与参数提取

联合扫描 $V_{\mathrm{SD}}$ 与 $V_G$ 则呈现菱形阻塞区——库仑菱形（Coulomb diamond）。在常相互作用模型（CI 模型）框架下，文献对棚顶线给出标准的提取流程：

• 充电能 $E_C$：菱形半高对应 $E_C=e|V_{\mathrm{SD}}^{\mathrm{tip}}|$，棚顶线单点实测 $E_C=4$–$6\mathrm{meV}$；
• 栅–点电容 $C_G$：菱形沿栅压方向的宽度 $\Delta V$ 给出 $C_G=e/\Delta V$；
• 杠杆臂 $\alpha$：$\alpha =E_C/\Delta V=1/(1/k_1+1/k_2)$，其中 $k_1$、$k_2$ 是菱形两条边（与源极、漏极对齐的边界）的斜率；棚顶线实测 $\alpha =0.20$–$0.25eV/V$；
• 隧穿展宽 $\Gamma$：从菱形尺寸与温度展宽联合给出 $\Gamma \approx 1.5\mathrm{meV}$，库仑排斥 $U\approx 5\mathrm{meV}$。

这些 $C_{\Sigma }$、$E_C$、$\alpha$、$\Gamma$、$U$ 又直接决定后面与微波腔耦合时的电荷压缩系数 $\chi =\partial ⟨N⟩/\partial \epsilon$——空穴–腔有效耦合 $g_{\mathrm{eff}}=g_C\sin \theta$ 中的混合角 $\theta$ 即由此而来。

磁场下的菱形与朗德 $g$ 因子

在 0–6 T 范围沿菱形边缘扫描磁场 $B$，奇偶空穴数下的基态/激发态能级呈现不同的 Zeeman 劈裂模式：

• 奇数空穴：基态劈裂为自旋向上、向下两条线，激发态也劈裂；
• 偶数空穴：基态不劈裂，三重激发态劈裂为三条。

这种奇偶分辨是确认空穴数的常规手段。在 0–6 T 范围内沿磁场等间距提取能级间距 $E_Z$，按

$$E_Z=g{\mu }_{B}B$$

线性拟合即可得朗德 $g$ 因子。文献给出棚顶线单点的 $g\approx 4.3$；另一组在双量子点 EDSR 谱中得到 $g\approx 3.5$，两者一致地体现棚顶线 $g$ 因子大、各向异性强（$g_{\parallel }/g_{\perp }$ 可达 ~18）的特征。

双量子点与电荷稳定图

沿棚顶线制备五栅结构（G1、G2、G3、G4、G5，分别调节势垒/左点/中势垒/右点/势垒），即可定义高度可调的双量子点。典型的测量流程：在固定 $V_{\mathrm{SD}}=0.5\mathrm{mV}$ 与 $V_{G1}$、$V_{G5}$ 的条件下，扫描 $(V_{G2},V_{G4})$ 得到电荷稳定图（charge stability diagram）；增大中间栅压 $V_{G3}$ 的负偏压可以把左右点间的隧穿耦合 $t_C$ 从几乎关断调到打开，相图从分立三相点演化成典型蜂窝结构；$V_{\mathrm{SD}}=2\mathrm{mV}$ 时则看到排列整齐的偏压三角形。

由偏压三角形可读取：

• 栅–点电容：$C_{G2}=|e|/\Delta V_{G2}=6.7\mathrm{aF}$，$C_{G4}=6.2\mathrm{aF}$；
• 杠杆臂：${\alpha }_L=0.14$，${\alpha }_R=0.13$；
• 总电容：$C_L\approx 47.8\mathrm{aF}$，$C_R\approx 47.7\mathrm{aF}$；
• 充电能：$E_{CL}\approx 4.3\mathrm{meV}$，$E_{CR}\approx 4.6\mathrm{meV}$；
• 自旋阻塞：在反偏压三角形底边观察到抑制的电流，证明泡利自旋阻塞成立；
• $S$–$T$ 劈裂 ${\Delta }_{ST}\approx 1.1\mathrm{meV}$：从自旋阻塞区的能级失谐中读出。

可调 $t_C$ 是后续 EDSR 与腔耦合实验的关键——只有把 $t_C$ 调到与微波光子能量匹配的位置，混合角 $\theta =2t_C/\hslash {\omega }_q$ 才能最大化比特–腔耦合。

空穴–微波腔耦合与电荷比特读出

把棚顶线上的双量子点与反射式超导微波腔耦合，可用腔的幅值 $|S_{11}|$ 与相位 $\arg (S_{11})$ 信号探测隧穿线，得到与直流输运一致的稳定图，但在直流信号微弱区域依然清晰。 相关实验都采用 Jaynes–Cummings（JC）框架描写电荷–腔耦合：

$$H=\hslash {\Delta }_0{a}^{†}a+\frac{\hslash \Delta }{2}{\sigma }_Z+\hslash g_{\mathrm{eff}}({\sigma }_{+}a+{\sigma }_{-}{a}^{†})$$

其中 ${\Delta }_0={\omega }_0-\omega$（腔–探测失谐）、$\Delta =\Omega -{\omega }_0$（比特–腔失谐）、$\Omega =\sqrt{(2t_C{)}^2+{\epsilon }^2}$（双量子点电荷杂化能）、$g_{\mathrm{eff}}=g_C\sin \theta$（$\sin \theta =2t_C/\Omega$，$g_C=\alpha V_{\mathrm{rms}}/\hslash$）。电荷比特压缩系数 $\chi$ 描述库仑阻塞区平均空穴数随失谐的响应：

$$\chi =\frac{\partial ⟨N⟩}{\partial \epsilon }$$

其中 $⟨N⟩$ 由式 (4-14) 给出。棚顶线器件实测 $\Gamma =1.5\mathrm{meV}$、$U=5\mathrm{meV}$、$\alpha =0.20$–$0.25eV/V$，由此计算 $\chi$ 并把腔信号换成量子点隧穿率。

的拟合结果给出隧穿线区域电荷比特参数：

• 双量子点隧穿率 $2t_C/h=6.20\mathrm{GHz}$；
• 电荷–腔耦合 $g_C/2\pi =15\mathrm{MHz}$；
• 电荷比特退相干率 $\gamma /2\pi =0.28\mathrm{GHz}$。

改变 $V_{G3}$ 可在 6.2–8.5 GHz 范围内调节 $2t_C/h$，饱和于 ~6 GHz 附近，饱和由样品中残余缺陷/杂质电荷限制而非空穴温度 $T_h\approx 125\mathrm{mK}$。

自旋–光子耦合的间接通道

棚顶线本身没有直接把微波腔磁场与空穴自旋磁矩耦合（单自旋磁耦极子直接耦合 $g_M/2\pi \sim 10\mathrm{Hz}$）。在强自旋轨道体系里，自旋–光子耦合可通过两条路径实现：

1. 混合角路径：失谐量 $\epsilon =0$ 处双量子点作为整体比特工作，$g_S\approx 2g_C(E_Z\Delta E_0/E_{\mathrm{qb}}^2)(L/{\lambda }_{\mathrm{SO}}{)}^2\eta$，其中 $E_{\mathrm{qb}}\approx 2t_C$，$\eta =s/\sqrt{1-s^2}$，$s=e^{-L/l}$；
2. 大失谐路径：$\epsilon \ne 0$ 时每个点单独限制空穴，等效为单量子点自旋–光子耦合 $g_S\approx g_C(E_Z/\Delta E_0)(l/{\lambda }_{\mathrm{SO}})$。

所引论文用实验测得的 $g_C$ 与典型参数（$E_Z=13.1\mu \mathrm{eV}$、$\Delta E_0=1\mathrm{meV}$、$l=70\mathrm{nm}$、${\lambda }_{\mathrm{SO}}=28$–$57\mathrm{nm}$、$m^{\ast }=0.28m_e$）估算出 $g_S/2\pi =2$–$4\mathrm{MHz}$。另一组实验用同样公式在双量子点失谐量 $\epsilon =0$ 处估算 $g_S/2\pi \sim 3\mathrm{MHz}$，在 $\epsilon \ne 0$ 处 $g_S/2\pi \sim 0.22\mathrm{MHz}$。两者都指出目前 $g_S$ 与 $\kappa$、$\gamma$ 同量级（$\kappa /2\pi \sim 7\mathrm{MHz}$），但仍不足以跨过强耦合门槛 $g_S>\kappa ,\gamma$。提升方向包括：高阻抗腔（SQUID 阵列腔可将耦合提升 ~6 倍）、同位素纯化（类比 ²⁸Si 把 $T_2^{\ast }$ 从 360±30 ns 提升到 270 μs，~5500 倍）、更高磁场（铝腔失超阈值 ~10 mT，铌腔可达 ~100 mT 量级）。

两代材料的实验路线

第一代是自组织棚顶线（self-assembled Ge hut wire），线位置随机，源漏电极与栅极只能落在选定的单根线上；器件间差异较大，但工艺最简单，2015 年前后首次实现 EDSR 与双量子点。第二代是定位型（position-controlled）棚顶线， 在同一芯片上用两根相距 200 nm、宽 80 nm、高 15 nm、长 4 μm 的平行棚顶线分别制备双量子点：其中一根作为待测双量子点，另一根作为电荷感应器（QPC 电荷传感），间距靠自然电容耦合提供读取。两代材料共享同一价带物理，区别只在可扩展性：定位型让”单线做量子点、邻线做电荷传感器”的扩展式器件成为可能，并保留了单空穴/少空穴区域电荷感应相比直流输运更高的灵敏度。

维度	自组织棚顶线	定位型棚顶线
位置控制	随机	由光刻预刻槽决定
单线/双线集成	单线、双量子点	双线集成（双点+电荷感应器）
工艺难度	低（不需转移）	中（需图形化 Si 衬底）
器件均匀性	较差	高
已有实验	EDSR、JC、双点–腔耦合	输运、电荷感应、隧穿率可调
主要限制	位置随机、线长短不一	凹槽边缘生长，线型受限

参数与量级

量	典型值	来源
纳米线高度	~2 nm
侧边倾斜角	11.3°
纳米线长度	数 μm
定位型线宽/高/长	80 nm / 15 nm / 4 μm
生长方向	[100]、[010]（面内）	本站论文（定位型生长）
重空穴有效质量	$0.28m_e$
充电能 $E_C$（单点）	4–6 meV
充电能 $E_C$（双点）	4.3–5.4 meV
杠杆臂 $\alpha$（单点）	0.20–0.25 eV/V
杠杆臂 $\alpha$（双点）	0.13–0.18
隧穿展宽 $\Gamma$	1.5 meV
库仑排斥 $U$	5 meV
朗德 $g$ 因子	3.5–4.3	、
$g$ 因子各向异性 $g_{\max }/g_{\min }$	~18
自旋轨道耦合 $t_{\mathrm{SO}}$（双点拟合）	$27\pm 3\mu \mathrm{eV}$
自旋轨道强度 ${\Delta }_{\mathrm{SO}}$	35–50 μeV
自旋轨道长度 ${\lambda }_{\mathrm{SO}}$	28–57 nm
双点隧穿率 $2t_C/h$	6.20 GHz（可调 6.2–8.5 GHz）
空穴–腔耦合 $g_C/2\pi$	15 MHz
电荷比特退相干率 $\gamma /2\pi$	0.28 GHz
估算自旋–腔耦合 $g_S/2\pi$	0.22–4 MHz	、
$S$–$T$ 劈裂 ${\Delta }_{ST}$	~1.1 meV
腔耗散 $\kappa /2\pi$（自旋比特系统）	~7.37 MHz
微波腔色散读出灵敏度	直流微弱区仍清晰
双点栅电容 $C_G$	6.2–7.0 aF
总点电容 $C_L$/$C_R$	~47.8 aF / ~47.7 aF
源漏接触	30 nm Pd
栅极（顶层）	3/25 nm Ti/Pd，宽 30 nm、间距 35 nm
绝缘层	30 nm Al₂O₃
微波驱动功率	−11.5 dBm
测量温度	~240 mK（He-3 制冷机）

实验特征与测量方法

输运测量。 直流 $I$–$V$ 曲线配合锁相放大器交流激励（典型值 $\sim 20\mu \mathrm{V}$、几十 Hz）扫描微分电导 $dI/d{V}_{\mathrm{SD}}$，是给出库仑菱形、偏压三角形与电荷稳定图的标准手段。零偏压栅压扫描给出库仑振荡。

Zeeman 劈裂读 $g$ 因子。 沿菱形边缘逐点加垂直磁场 0–6 T，提取能级间距 $E_Z$ 对 $B$ 的线性拟合斜率，按 $E_Z=g{\mu }_{B}B$ 得 $g$。该方法可同时分辨奇偶空穴数。

泡利自旋阻塞读漏电流。 在双量子点反偏压三角形底边测量漏电流随 $B$ 与 $\epsilon$ 的演化，用式 $I(B)$ 拟合提取 $t$ 与 $t_{\mathrm{SO}}$；漏电流的”谷”形特征是强自旋轨道耦合的指纹。

EDSR 读 Rabi、Larmor。 在自旋阻塞区施加微波，通过 G4 等栅极把微波电场注入双量子点，漏电流峰值给出共振条件；固定微波频率沿磁场扫描给出 EDSR 谱，斜率即 Larmor 频率与 $g$ 因子。微波脉冲时间扫描则给出 Rabi 振荡，固定脉冲间隔给出 Ramsey 干涉；外加 Hahn echo 可把 $T_2^{\ast }$ 从 ~65 ns 推到 ~523 ns。

腔读出。 在固定微波探测频率于腔的本征谐振点时，扫描 $V_{\mathrm{SD}}$ 与栅压，幅值 $|S_{11}|$ 与相位 $\arg (S_{11})$ 完整复现库仑菱形与电荷稳定图；在直流信号几乎消失的少空穴区域，腔信号仍可读出，这是色散读出（dispersive readout）的典型优势。

电荷感应。 定位型器件中以相邻纳米线上的量子点作为电荷感应器，测量其微分电导随待测双量子点栅压的变化，可在少空穴区得到清晰的相图。

与其他概念的关系

• 材料对比：与 GaAs/AlGaAs 比，Ge 缺少稳定同位素核自旋（⁷³Ge 丰度 7.7%），超精细耦合弱；与 Si/SiGe 比，Ge 空穴来自 $p$ 轨道，自旋轨道耦合更强、不需要微磁体或微带线；与 应变锗空穴平台 比，棚顶线是三角截面的纳米线，应变锗是平面异质结二维空穴气，两者共享 Ge 空穴物理但提供不同的器件几何（线 vs 面）。
• 基础输运：库仑振荡与库仑菱形来自库仑阻塞与库仑菱形；参数提取全程建立在常相互作用模型与电化学势之上，充电能决定菱形高度，栅电容决定宽度，隧穿耦合与双量子点的可调性来自电荷稳定图的蜂窝结构。
• 空穴自旋比特：棚顶线提供 空穴自旋量子比特最关键的两个条件——强自旋轨道与弱超精细——并以 EDSR 实现全电操控；自旋阻塞是 单态-三重态比特读取的物理基础；Rabi 振荡频率可达 690 MHz 量级；Hahn echo 把退相干从 65 ns 推到 523 ns。
• 量子点–腔复合结构：与 微波谐振腔 的耦合由 JC 模型 描写，电荷–光子耦合 直接来自栅极杠杆臂，自旋–光子耦合 借助自旋轨道耦合间接实现，目标是把 色散读出 与强耦合 推到空穴自旋体系；自旋–光子耦合强度按 $\sqrt{Z_r}$ 与 高阻抗谐振腔 提升，电路量子电动力学 的整体框架直接适用。
• 量子比特扩展：定位型棚顶线把单线扩展到双线集成（量子点 + 电荷感应器），并展示了基于交叉电容矩阵与虚拟门的可扩展调控前景。
• 缺陷与噪声：自然丰度的 ⁷³Ge 核自旋与界面缺陷是电荷噪声的主要来源；⁷³Ge 的同位素纯化与 SiO₂/Si 界面工程是降低低频噪声的路径。

参考文献

• 锗空穴体系的快速门与阵列扩展：Hendrickx et al., Nature 577, 487 (2020)、Hendrickx et al., Nature 591, 580 (2021)。

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