虚拟电极

物理栅极的电场没有硬边界。虚拟电极通过软件同时改变多根栅压，让某个目标参数变化、其他参数一阶保持不动。

为什么需要虚拟电极

门控定义的半导体量子点中，每根金属栅极产生的电场在空间上没有截断：一根柱塞栅（plunger gate）除了决定”自己的”量子点的电化学势，还会通过寄生电容拉动邻近量子点的电化学势，甚至改变点间势垒的高度。这种栅极串扰（capacitive crosstalk）在电荷稳定图上表现为倾斜的电荷隧穿线——理想情况下某点的隧穿线应只沿自身柱塞栅方向延伸，串扰使其对另一根栅的电压也产生依赖。

单点、双点时代，实验者凭经验手动”回拧”其他栅压即可补偿；但当量子点阵列扩展到数十根栅极时，串扰使控制空间变成一个高维、强耦合的电压空间，人工调节逐渐失去可行性。虚拟电极（virtual gate，又称虚拟栅极）把”同时按精确比例拧动多根物理栅”封装成一个新的软件坐标：每个虚拟电极原则上只影响一个目标参数（某点的电化学势或某势垒的隧穿耦合），而把对其他参数的一阶影响消掉。它最早由代尔夫特理工大学 Vandersypen 组在九点 Fermi–Hubbard 阵列等工作中系统化，2019 年普林斯顿大学 Petta 组又将其发展为自动校准流程的一环，如今已成为阵列级调控与自动调控的标准接口。

理论模型

线性映射与变换矩阵

在一个局部工作点附近，物理栅压变化 $\Delta \mathbf{V}$ 与各量子点电化学势变化 $\Delta \mathbf{\mu }$ 之间是线性关系。把变换矩阵记为 $\mathbf{T}$（即归一化的交叉电容矩阵），有

$$\Delta \mathbf{\mu }=\alpha \mathbf{T}\Delta \mathbf{V}\equiv \alpha \Delta \mathbf{U}$$

其中 $\alpha$ 是由器件杠杆臂决定的常量，$\Delta \mathbf{U}$ 被定义为虚拟电极的电压变化量。写成矩阵形式：

$$\left(\begin{array}{c}\Delta {\mu }_1\\ ⋮\\ \Delta {\mu }_n\end{array}\right)=\alpha \left(\begin{array}{ccc}{t}_{11}& \cdots & t_{m1}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ t_{n1}& \cdots & t_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\Delta V_1\\ ⋮\\ \Delta V_m\end{array}\right).$$

理想情况下 $\mathbf{T}$ 应当近似单位阵——每个虚拟电极分量只驱动一个 $\Delta {\mu }_i$。测量与校准的任务就是求出实际的 $\mathbf{T}$，再用其逆矩阵组合物理栅压：

$$\Delta \mathbf{V}={\mathbf{T}}^{-1}\Delta \mathbf{U}={\alpha }^{-1}{\mathbf{T}}^{-1}\Delta \mathbf{\mu }.$$

在 Si/SiGe 2×2 阵列中采用的写法与此等价：$\mathrm{v}\mathbf{G}=\mathbf{M}\mathbf{G}$，其中 $\mathbf{G}$ 与 $\mathrm{v}\mathbf{G}$ 分别是由物理栅极（P1、B1 等）与虚拟栅极（vP1、vB1 等）构成的列向量，串扰矩阵 $\mathbf{M}$ 的维度达 $11\times 11$（7 根势垒栅 + 4 根柱塞栅），用 ${\mathbf{M}}^{-1}$ 对物理栅压做线性组合即得各虚拟电极。需要强调的是，虚拟电极的电压绝对值没有物理意义，有意义的只是其变化量 $\Delta {\mathrm{vP}}_i$，单位与物理栅压一致。

从隧穿线斜率提取变换矩阵

变换矩阵的非对角元不需要逐点拟合电容，可直接从电荷稳定图读出。关键观察是：沿量子点 $i$ 的电荷隧穿线移动时，该点的电化学势不变，即 $\Delta {\mu }_i=0$。代入线性映射，并在只扫描两根栅极（横轴 $p$、纵轴 $q$）的二维相图中化简，得

$$\Delta {\mu }_i=\alpha \left(t_{i,q}\Delta V_q+t_{i,p}\Delta V_p\right)=0.$$

约定对角元归一化为 1，则非对角元直接等于隧穿线斜率的相反数：

$$t_{i,i}=1,t_{i,p}=-\frac{\Delta V_q}{\Delta V_p}\equiv -r_i$$

$r_i$ 即量子点 $i$ 的隧穿线斜率。给出的实例中，某双量子点器件测得 $r_1=-8$、$r_2=-0.325$，于是

$$\mathbf{T}=\left(\begin{array}{cc}1& -1/r_1\\ -r_2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0.125\\ 0.325& 1\end{array}\right){\mathbf{T}}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1.042& -0.13\\ -0.339& 1.042\end{array}\right).$$

扫描虚拟电极而非物理栅极重新测量，同一对电荷隧穿线变得互相垂直——两条隧穿线不再相互影响，独立控制即告建立。这一”隧穿线变直/变正交”正是虚拟电极生效的直接实验判据。

多点阵列的迭代更新

把虚拟电极扩展到 $n$ 个量子点时，不需要一次性测量完整的 $n\times m$ 矩阵。相邻双点依次建立局部变换矩阵后，新旧矩阵按乘法复合即可：

$${\mathbf{M}}_n={\mathbf{M}}_{\mathrm{update}}{\mathbf{M}}_{n-1}$$

${\mathbf{M}}_{n-1}$ 为更新前的矩阵，${\mathbf{M}}_{\mathrm{update}}$ 为从新加入双点的电荷稳定图提取的矩阵。其物理基础是：在对新点更新之前，旧虚拟电极对新点的影响与对应物理栅极完全相同，因此新矩阵可以直接在旧坐标下测量。这一递推结构使矩阵更新的测量开销只随阵列规模线性增长，是虚拟电极可扩展性的关键。论文附录给出的矩阵更新实例 ${\mathbf{M}}_3={\mathbf{M}}_2{\mathbf{M}}_1$（耦合增大后重测斜率并复合）是同一规则。

虚拟势垒栅极

同一思想可推广到点间隧穿耦合的独立调节，称为虚拟势垒栅极（virtual barrier gate）。但势垒栅对隧穿耦合的调控不是线性的，而是强指数依赖：

$$t_{ij}=t_0+t_1\exp \left({\beta }_{ij}{\mathrm{vB}}_{ij}\right)$$

${\beta }_{ij}$ 表征该势垒栅的调控能力。在 2×2 阵列中测得四个最近邻势垒的 $\beta$ 值从 $1.42\times 10^{-2}$ 到 $6.85\times 10^{-2}{\mathrm{mV}}^{-1}$ 不等，最弱者仅为最强者的 21%。硅基阵列中最近邻隧穿耦合之间的串扰通常很弱（以 $t_{\mathrm{ref}}=60\mu \mathrm{eV}$ 为参考点表征时基本不动），但并非严格为零：例如增大 ${\mathrm{vB}}_{41}$ 会把 QD4 推离 QD3 而显著压低 $t_{34}$。此时可从数据提取交叉调控系数 ${\beta }^{\prime }=-1.03\pm 0.11\times 10^{-2}{\mathrm{mV}}^{-1}$，在扫 ${\mathrm{vB}}_{41}$ 的同时按此系数补偿 ${\mathrm{vB}}_{34}$，实现对各最近邻耦合的独立控制——这正是指数型”虚拟势垒”的手动实现。

自动化实现

虚拟电极把串扰补偿变成纯代数运算，因此天然适合交给计算机。两个关键环节：

• 斜率自动提取：自动调控流程用霍夫线变换（Hough line transform）从电荷稳定图中检测（可能残缺、被遮挡的）隧穿线段并返回斜率，配合卷积神经网络（电荷态识别）对相图分类，虚拟电极的建立可以完全无人工干预。
• 量子点遍历（quantum dot switching）：阵列调控按”双点为最小重复单元”进行——先把 QD1–QD2 调至少电子区并建立 VP1–VP2，再加入 QD3 组成新双点调控，旧虚拟电极保护已调好的点不受影响；共用的 QD2 因排空电压已知而起过渡作用。每加入一个新点，就按上节的乘法规则更新一次变换矩阵。流程还配有回跳机制：迭代超出电压范围仍未成功时回到初始化位置、抬高势垒初值重来。在一枚含 15 根栅极（5 根势垒栅 + 4 根柱塞栅 + 传感器栅）的四量子点器件上演示了全流程：加入 QD3 前后重测 VP1–VP2 相图，少电子区位置几乎不动，证明虚拟电极对既有电荷态的保护能力。

参数与量级

量	典型值	来源
隧穿线斜率实例 $r_1,r_2$	$-8$、$-0.325$（GaAs 双点，对应串扰约 3%–12%）
四量子点器件栅极数	15 根（5 势垒 + 4 柱塞 + 2 个 SET 的栅极）
串扰矩阵维度	$11\times 11$（Si/SiGe 2×2 阵列，7 势垒 + 4 柱塞）
四点充电能 $U_1$–$U_4$	2.83、5.02、3.05、4.63 meV
平均杠杆臂 $\alpha$	$\approx 0.12eV/V$
最近邻隧穿耦合调节范围	约 $25\mu \mathrm{V}$ 到超过 $200\mu \mathrm{V}$
势垒调控系数 ${\beta }_{ij}$	$(1.42$–$6.85)\times 10^{-2}{\mathrm{mV}}^{-1}$
耦合串扰补偿系数 ${\beta }^{\prime }$	$-1.03\pm 0.11\times 10^{-2}{\mathrm{mV}}^{-1}$（vB41→t34）

现实限制与维护

虚拟电极是局部线性化的产物，其有效性有明确边界：

• 工作点漂移：栅压响应随电子数、势垒状态变化，线性矩阵只在建立时的工作点附近成立。增大隧穿耦合会使量子点位置明显移动，原本正交的电荷隧穿线重新倾斜——虚拟电极失效。实验中表现为大幅度扫虚拟势垒电压时，反交叉点位置显著移动。
• 周期性重标定：为维持调控性，需定期重测串扰系数并复合更新矩阵（${\mathbf{M}}_3={\mathbf{M}}_2{\mathbf{M}}_1$）。阵列运行时间越长、耦合调得越强，更新越频繁。
• 非线性自由度：电化学势方向的串扰是电容性的、近似线性，虚拟电极可以干净地消除；但势垒–耦合方向是指数关系，电容矩阵无法完整描述，虚拟势垒栅极常需配合逐点提取的 $\beta$ 系数手动补偿。
• 不均匀性的吸收：各点充电能不一致时，均匀填充需要给虚拟电极加不同的扫描系数 $k_i=U_i/U_0$（以 $U_4=3.00\mathrm{meV}$ 为基准，$k_1$–$k_4$ 取 0.67、0.71、0.97、1.00）；做双点谱学时再换用失谐轴与能量轴 ${ϵ}_{ij}=k_i{\mathrm{vP}}_i-k_j{\mathrm{vP}}_j$、$U_{ij}=k_i{\mathrm{vP}}_i+k_j{\mathrm{vP}}_j$——它们是虚拟电极的进一步线性组合，相当于把相图旋转 45° 并按充电能缩放。

与其他概念的关系

• 交叉电容矩阵是虚拟电极的物理输入：虚拟电极就是该矩阵逆矩阵的行向量，矩阵条件数过大时控制轴近线性相关，反演会放大噪声。
• 变换矩阵元由电荷稳定图上电荷隧穿线的斜率给出；虚拟电极生效的判据也画在同一张图上（隧穿线变正交）。
• 电化学势方向的线性来自常相互作用模型：栅压只通过电容分压平移 ${\mu }_i$。势垒方向则受隧穿耦合的指数律支配，是虚拟电极最薄弱的一环；通过虚拟势垒设定的耦合强度直接决定交换相互作用 $J$。
• 虚拟电极是量子点阵列与二维阵列调控的软件底座：它把高维串扰空间对角化，使自动调控可以逐点、逐双点推进，也是电荷态识别结果转化为调控动作的接口层。

参考文献

• 虚拟栅在对称点运行与阵列控制中的使用：Hendrickx et al., Nature 577, 487 (2020)。

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