自动调控

自动调控把"看图—判断—拧电压"写成闭环：机器采集局部数据，识别当前器件状态，选择下一组安全电压，再验证是否更接近目标。

物理图像与目标

门控半导体量子点的运行，需要把每条柱塞栅、势垒栅的电压调到一组特定的目标值，使每个量子点同时满足少电子、单电子占据与点间隧穿耦合适中三件事。人工调控把这三件事拆成”测相图—对照经验—拧栅压”三步；自动调控（automated tuning）则把它写成”测量—识别—决策—更新—验证”的闭环。在阵列尺度上，调控参数维数等于或超过栅极数（一个 $n$ 量子点线性器件含 $2n-1$ 条势垒、$n$ 条柱塞，二维阵列进一步含中心势垒与传感器栅），人工流程既慢又难复现，自动调控成为唯一可扩展的方案。

调控的目标可量化为一组判据：

• 量子点中最后一条电荷隧穿线已落在扫描窗口内——更小的电压方向不再出现新的隧穿线，称为”少电子区”已锁定；
• 电荷稳定图上的反交叉点（双点对应三相点）张开到可分辨的间距，但不致让两条隧穿线变平行；
• 充电能、点间耦合势垒、SET（single-electron transistor, 单电子晶体管）电荷传感器的灵敏度都已调到工作区。

（2022）把上述判据显式拆为四个工作点：①确认栅极开启与夹断电流曲线（pinch-off curves）正常；②通过传感器或源漏电流扫描得到二维电荷稳定图；③用卷积神经网络（convolutional neural network, CNN）定位少电子区；④迭代势垒电压直到 CNN 给出”适中耦合”的标签。在双点上达到这四个目标后，再配合虚拟电极把同一流程逐点推到 $n$ 量子点阵列。

理论模型

多量子点常相互作用哈密顿量

在常相互作用（CI）模型下，含 $n$ 个量子点的系统静电能为

$$U(\mathbf{N};\mathbf{V})=\frac{1}{2}{\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{C}}^{-1}\mathbf{Q}+f(V_1,V_2,\dots ,V_n)$$

其中 $\mathbf{N}=(N_1,N_2,\dots ,N_n)$ 是各点电子数，$\mathbf{Q}=-e\mathbf{N}$，$\mathbf{C}$ 是含自电容与互电容的电容矩阵，$f$ 描述栅压对系统总能的偏置。进一步把 Hubbard 拓展加上点间隧穿后哈密顿量取

$$H=-\sum _i{\mu }_i(V_i)n_i-\sum _{ij}{t}_{ij}(V_i)(c_i^{†}{c}_j+\text{h.c.})+\sum _i\frac{U_i}{2}{n}_i(n_i-1)+\sum _{ij}{U}_{ij}{n}_i{n}_j$$

其中 ${\mu }_i(V_i)$ 是电化学势，$t_{ij}$ 是隧穿耦合，$U_i$ 是点内充电能，$U_{ij}$ 是点间充电能。把这一公式记为式 1.12，明确点明两点：

1. 栅压 $\mathbf{V}$ 直接调节前两项（电化学势与隧穿耦合），这正是自动调控可写为”$\mathbf{V}$ 的闭环寻优”的物理基础；
2. 多点调控若直接对全电压空间搜索，需要在 $2n$ 维空间内同时兼顾 $\mathbf{\mu }$ 与 $\mathbf{t}$，测量与计算成本随 $n$ 指数增长。把多点系统拆成局部双点、先单独调控、再通过虚拟电极联立，是化解这一困难的物理路径。

电化学势方向：常相互作用 → 虚拟电极

栅压对各量子点电化学势的影响是局域线性的：把电压变化记为 $\Delta \mathbf{V}$，电化学势变化记为 $\Delta \mathbf{\mu }$，杠杆臂归一化后引入归一化电容矩阵 $\mathbf{T}$，有

$$\Delta \mathbf{\mu }=\alpha \mathbf{T}\Delta \mathbf{V}\equiv \alpha \Delta \mathbf{U}$$

其中 $\alpha$ 是由器件杠杆臂（lever arm）决定的标量，$\Delta \mathbf{U}$ 即虚拟电极电压的变化量。取对角元归一化 $t_{ii}=1$，并约定按隧穿线斜率 $r_i=-\Delta V_q/\Delta V_p$ 提取非对角元 $t_{i,p}=-r_i$，则 ${\mathbf{T}}^{-1}$ 直接给出”同时拧动多根物理栅”以使 ${\mu }_i$ 不受扰动的代数规则。在其实验器件上算得的双点实例为

$$\mathbf{T}=\left(\begin{array}{cc}1& 0.125\\ 0.325& 1\end{array}\right),{\mathbf{T}}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1.042& -0.13\\ -0.339& 1.042\end{array}\right)$$

变换后 $(0,1)-(1,0)$ 区电荷隧穿线变成相互垂直——这就是虚拟电极生效的几何判据。

势垒方向：指数律

势垒栅对隧穿耦合的调控不是线性的。（2025）2×2 阵列上实测的指数律为

$$t_{ij}=t_0+t_1\exp ({\beta }_{ij}{\mathrm{vB}}_{ij})$$

其中 ${\beta }_{ij}$ 量化势垒栅的调控能力，${\mathrm{vB}}_{ij}$ 是虚拟势垒栅电压。在 2×2 Si/SiGe 阵列上四个最近邻的 $\beta$ 在 $(1.42$–$6.85)\times 10^{-2}{\mathrm{mV}}^{-1}$ 之间分布，最强者约为最弱者的 5 倍。同一工作中还测出 vB41 对 $t_{34}$ 的交叉调控系数 ${\beta }^{\prime }=-1.03\pm 0.11\times 10^{-2}{\mathrm{mV}}^{-1}$——意味着势垒方向仍存在残余串扰，需要在自动调控里加入专门的补偿步。

双量子点的自动调控流水线

把”测量—识别—决策—更新—验证”展开到双量子点上，得到以下典型顺序。

第一步：栅极初始化与夹断电流拟合

在 20 mK 量级的稀释制冷机内，对每一条栅极单独测量夹断电流曲线

$$I(V)=a(1+\tanh (bV+c))$$

其中 $a$ 是曲线幅值，$b$ 反映曲线随电压变化的快慢，$c$ 是横移量。由曲线的一阶导数与二阶导数极值点确定势垒电极的初始工作点；泵浦电极则取两个拐点之间的电压范围并向外适当扩大（式 3.1）。SET 传感器的栅极取微分信号最大处，使传感器对电荷态变化最敏感。

第二步：电荷稳定图扫描与少电子区定位

二维扫描两根柱塞栅，采集一张电流–电压图或传感器跨导图。扫描步长通常约每像素 1.5 mV，每个子相图切成 $31\times 31\text{像素}$ 的小图（约 45 mV × 45 mV），再插值拉伸到 $51\times 51\text{像素}$ 送入 CNN。

CNN 完成两类独立任务：

• CNN1 输出五元概率向量 $l_a=[l_1,l_2,l_3,l_4,l_5]$，分别对应无点、单点（少线）、单点（多线）、双点（适中耦合）、双点（过耦合）；
• CNN2 输出三元概率向量 $l_b=[l_1,l_2,l_3]$，对应欠耦合、适中耦合、过耦合。

对 CNN1，少电子区的特征是”沿着减小电压的方向不再出现新的隧穿线”——即第一个被识别为双点的像素块所在位置。对 42 块子相图打分后，把概率值高于 80% 的子相图标记为双点，按对应的最小栅压值排序即得到少电子区的中心。

第三步：CNN2 迭代调节势垒电压

CNN2 在少电子区对应的势垒电压附近迭代，步长约 20 mV。在其实验器件上展示的典型轨迹：起始势垒 $V_B=0.23\mathrm{V}$，经 8 次迭代后被推到 $V_B=0.39\mathrm{V}$，最后输出耦合值 0.67，落在适中耦合区间（前 5 次迭代耦合几乎不动，后 3 次出现明显变化——这是势垒方向指数律的体现）。

第四步：传统电压更新与回跳

每一次迭代执行”设势垒 → 扫电荷稳定图 → CNN 判定 → 条件更新”。迭代超出电压范围仍未达标时，回到初始化位置、抬高势垒初值重来，称为回跳机制。

典型结果

双量子点调控完成后，相图可分为四个区域：(1) 无隧穿线的无点区；(2) 单量子点隧穿线的单点区；(3) 适中耦合的少电子区；(4) 过耦合的双点区。报道该流程在双量子点上达到了 90% 量级的少电子区定位准确度。

卷积神经网络架构与训练

自动调控中使用的图像识别模型以 AlexNet 为蓝本，其基本结构由输入层、卷积层（convolutional layer）、池化层（pooling layer）、全连接层（fully connected layer）和输出层组成。

• 输入：彩色（或灰度化）的电荷稳定图，尺寸 $227\times 227\times 3$；
• 第一层卷积：卷积核 $k=11$，步长 $s=4$，共 96 个核；池化后长宽减半；
• 第二段：卷积—池化—卷积—卷积—卷积—池化（保持长宽不变、深度增加）；
• 全连接：经多次卷积与池化后，特征图变为 $6\times 6\times 256$，展开为多个 4096 维的全连接层；
• 输出：softmax 给各类概率，输出”取到数值大的一项更高被取到的概率，同时保证数值小的一项也有一定概率被取到”。

训练采用有监督学习：预先为每个样本分配标签 $l$，通过比较预测结果与训练样本逐层优化权重 $w_i$ 与偏置量 $b_i$，响应函数形式为

$$y_i=f(w_i{x}_i+b_i)$$

其中 $f$ 通常取非线性激活函数。损失函数通过反向传播最小化，常用 Adam 或交叉熵。

训练集构建的关键问题是真实器件标签稀缺、电荷跳变与传感器伪影难模拟。采用的折中是用模拟相图扩充标签，同时加入 Laplace 算子对图像锐化以突出隧穿线、抑制背景波动；少量真实样本混入训练还可减少过拟合，因为含噪声的样本对特征畸变更鲁棒。

阵列扩展：虚拟电极与量子点遍历

从双点到 $n$ 点的策略

自动调控在双点上并不比人工有压倒性优势；真正的优势体现在阵列上。两个核心技术：

1. 虚拟电极：把栅极串扰矩阵求逆，使每个量子点只与对应的虚拟电极耦合；
2. 量子点遍历（quantum dot switching）：把阵列拆为多个双量子点子系统依次调控，矩阵按乘法规则复合更新 ${\mathbf{M}}_n={\mathbf{M}}_n^{\text{update}}{\mathbf{M}}_{n-1}$。

隧穿线斜率的自动提取

虚拟电极的建立等价于求解交叉电容矩阵的逆矩阵。沿某量子点隧穿线移动时其电化学势不变，即 $\Delta {\mu }_i=0$，于是

$$\Delta {\mu }_i=\alpha (t_{i,q}\Delta V_q+t_{i,p}\Delta V_p)=0⟹t_{i,p}=-\frac{\Delta V_q}{\Delta V_p}\equiv -r_i$$

$r_i$ 就是电荷隧穿线在 $(V_p,V_q)$ 平面的斜率。在实测相图上，隧穿线可能残缺、被背景遮挡，直接拟合斜率容易出错。采用霍夫线变换（Hough line transform）从稳定图中检测线段：对超过阈值的所有像素点 $(x_i,y_i)$，在极坐标 $(\rho ,\theta )$ 下取

$$\rho =x\cos \theta +y\sin \theta$$

同一直线上的所有点会在极坐标中收敛到一个 $({\rho }_0,{\theta }_0)$，由此自动给出线段位置与斜率。配合 CNN 的相图分类，虚拟电极的建立可在无人工干预的条件下完成。

四量子点示例： 15 栅器件

器件含 15 条可调控栅极（5 条势垒 $B_i$ + 4 条柱塞 $P_i$ + SET 的栅极 $S{B}_1,S{B}_2,SP$ + 端栅），共 4 个量子点与 2 个 SET。流程按 ${\text{QD}}_1{\text{-QD}}_2\to {\text{QD}}_2{\text{-QD}}_3\to {\text{QD}}_3{\text{-QD}}_4$ 顺序推进：

• 第一步完成 ${\text{QD}}_1{\text{-QD}}_2$ 的调控，建立虚拟电极 ${\text{VP}}_1{\text{-VP}}_2$；
• 加入 ${\text{QD}}_3$ 时，把势垒电极 $B_3$–$B_4$ 设回默认初始电压，${\text{VP}}_1$ 保持调好的参数不变，把 ${\text{QD}}_2{\text{-QD}}_3$ 作为新的双点开始调控。共用的 ${\text{QD}}_2$ 因少电子区所需电压在第一步已经找到、且基本固定，因此在新一轮调控中起过渡作用；
• 完成 ${\text{QD}}_2{\text{-QD}}_3$ 后，对变换矩阵做一次乘法更新加入 ${\text{VP}}_3$；
• ${\text{QD}}_4$ 的加入保持 ${\text{VP}}_2$ 不变，再把 ${\text{QD}}_3{\text{-QD}}_4$ 作为新双点调控。

最终结果：$B_2$ 从 0.6 V 降至 0.56 V（QD1–QD2 初始耦合过大），$B_3$ 从 0.23 V 升至 0.37 V（QD2–QD3 初始耦合过小），$B_4$ 从 0.35 V 升至 0.51 V（QD3–QD4 初始耦合过小）。前后对比 ${\text{VP}}_1{\text{-VP}}_2$ 相图，少电子区位置几乎不动，证明虚拟电极对既有电荷态具有保护能力。

多量子点电荷稳定图的复杂性

$n$ 量子点系统完整的电荷稳定图维数为 $n$，$n\ge 4$ 时无法用二维图直接展示。将其投影到任意两根栅压轴上，会同时出现 4 种斜率的隧穿线（每个量子点贡献一种），且反交叉点形状由近邻与次近邻相互作用共同决定——这正是多点系统人工调控困难的根源。虚拟电极通过独立控制每个 ${\mu }_i$，把高维相图”打散”为可单独处理的二维相图，从根本上回避了高维可视化与识别的困难。

为什么必须闭环

器件存在三类不可建模的扰动，使离线一次预测无法保证最终状态：

1. 电荷跳变（charge jump）：势阱中载流子的突然重排会瞬间改变局部电势，让”已调好”的电压配置不再有效；
2. 漂移（drift）：温度、电磁环境、应力引起的低频慢变；
3. 随机电报噪声（random telegraph noise）：双能级系统缺陷产生的双态翻转，使每个测量点都带有不可预测的偏置。

自动调控系统应对这些扰动的方式有两种：一是 CNN 同时输出概率而非硬标签，并在概率低于阈值时缩小步长或重新测量；二是回跳机制把每次迭代纳入电压范围检查与失败回退。概率阈值的选取本身也是设计参数：对 42 块子相图打分后观察到 CNN 输出概率主要分布在 80% 以上与 20% 以下两个区间，50%–80% 之间几乎为空，因此 80% 阈值既能筛掉不确定样本又留有余量。

置信度（confidence）和分布外（out-of-distribution, OOD）检测因此被反复强调为自动调控的核心属性：当输入图像与训练分布显著偏离（例如出现训练集中没有的杂点、隧穿线消失、或背景剧烈漂移），CNN 输出概率应同时变低或偏向空值，触发重新扫描而非强行迭代。

从双点到二维阵列

双量子点的成功可被推广到 1D 线性阵列，再推广到 2D 阵列。以（2025）的 Si/SiGe 2×2 阵列为例：四个量子点共含 11 根有效栅极（7 势垒 + 4 柱塞），串扰矩阵 $\mathbf{M}$ 为 $11\times 11$；先把所有点单独排空、再按 ${\text{QD}}_1{\text{-QD}}_2$、${\text{QD}}_2{\text{-QD}}_3$、${\text{QD}}_3{\text{-QD}}_4$、${\text{QD}}_4{\text{-QD}}_1$、${\text{QD}}_1{\text{-QD}}_3$、${\text{QD}}_2{\text{-QD}}_4$ 的顺序两两成双点建立虚拟栅极，最终得到每个量子点充电能 2.83/5.02/3.05/4.63 meV、平均杠杆臂 $\alpha \approx 0.12eV/V$、最近邻隧穿耦合可从约 $25\mu \mathrm{eV}$ 调到超过 $200\mu \mathrm{eV}$。

二维阵列引入两个新变量：中心势垒栅 CB 与次近邻隧穿耦合 $t_{\text{nnn}}$。CB 上的电压独立调节 $t_{\text{nnn}}$，可用于表面码（保留最近邻、抑制次近邻）与 Hubbard 量子模拟（保留特定次近邻）。$t_{\text{nnn}}$ 通过相图反交叉点的双曲线拟合提取，无需做完整的 $n$ 维电荷稳定图。

参数与量级

量	典型值	来源
稀释制冷机电子温度	$20\mathrm{mK}$ 量级
栅极数（双量子点示例）	5 条势垒 + 2 条柱塞 + 3 条 SET 栅
栅极数（四量子点示例）	15 条（5 势垒 + 4 柱塞 + SET 栅）
栅极数（2×2 阵列示例）	11 根有效栅极（7 势垒 + 4 柱塞）
夹断电流拟合	$f=a(1+\tanh (bV+c))$
电荷稳定图扫描步长	约 1.5 mV/像素
CNN 输入子图尺寸	$31\times 31\text{px}$（≈45 mV×45 mV）
CNN 拉伸后尺寸	$51\times 51\text{px}$
双量子点少电子区定位准确度	约 90%
双量子点 CNN1 概率阈值	80%
势垒电压迭代步长	约 20 mV
势垒电压迭代次数	8 次（适中耦合）
隧穿线斜率实例	$r_1=-8$、$r_2=-0.325$（GaAs 双点）
${\mathbf{T}}^{-1}$ 实测值	$\left(\begin{array}{cc}1.042& -0.13\\ -0.339& 1.042\end{array}\right)$
势垒指数律调控系数 ${\beta }_{ij}$	$(1.42$–$6.85)\times 10^{-2}{\mathrm{mV}}^{-1}$
交叉调控系数 ${\beta }^{\prime }$	$-1.03\pm 0.11\times 10^{-2}{\mathrm{mV}}^{-1}$（vB41→$t_{34}$）
四点充电能 $U_i$	2.83 / 5.02 / 3.05 / 4.63 meV
平均杠杆臂 $\alpha$	$\approx 0.12eV/V$
最近邻隧穿耦合调节范围	约 $25\mu \mathrm{eV}$ 到 $>200\mu \mathrm{eV}$
阵列迭代势垒电压	$B_2:0.6\to 0.56$ V；$B_3:0.23\to 0.37$ V；$B_4:0.35\to 0.51$ V
锁相激励频率/幅值（参考）	73 Hz / 0.5 mV 分压

实验特征

• CNN 同时输出概率：少电子区子图打分后，$\gtrsim 80\%$ 的子图标记为双点并按电压大小排序，$<20\%$ 的子图被弃置；介于二者之间的样本极少，这本身就是”分类器学到有用特征”的证据。
• 势垒电压与耦合强度的非线性：迭代前 5 次耦合几乎不动、后 3 次突跃——势垒指数律 $t\sim e^{\beta V_B}$ 的直接体现。
• 加入新点后少电子区几乎不动：是虚拟电极生效的判据，证明既有 ${\mu }_i$ 不被新栅极扰动。
• 物理量直接驱动 CNN 标签：网络学到的不是”图好看不好看”，而是隧穿线斜率、反交叉点形状、隧穿线是否存在这三类与器件状态一一对应的特征。
• 可失败回退：每次迭代都伴随电压范围检查；超出范围即回跳到初始化位置重新尝试。
• 可直接对接 QTT 仿真器：先用 Python qtt 程序包建模预测、再以真实测量迭代修正，是当前大规模阵列常用的混合策略。

与其他概念的关系

• 电荷态识别是自动调控的”感知层”：CNN 把图像转为”少电子/适中耦合”等标签，自动调控据此决定电压更新方向；二者差异在时间尺度——前者是一次性识别，后者是闭环迭代。
• 虚拟电极是自动调控在阵列上的关键代数接口：通过把交叉电容矩阵求逆，把高维强耦合控制空间对角化为可单独处理的低维坐标。
• 交叉电容矩阵是虚拟电极的物理输入；条件数过大时反演会放大噪声，自动调控此时要么用正则化伪逆、要么加入额外的校准步骤。
• 量子点阵列与二维阵列是自动调控的目标器件；自动调控是它们从”实验室单件”走向”可重复批量制备”的关键技术。
• 电荷稳定图是自动调控的”地图”：隧穿线是否存在决定少电子区位置，斜率给出串扰矩阵元素，反交叉点张开程度决定耦合强度判定。
• 常相互作用模型为自动调控提供电压–电化学势的线性映射前提；偏离 CI 时（如次近邻耦合显著、势垒指数律主导）需在算法中显式纳入补偿。
• 交换相互作用与隧穿耦合 $t_{ij}$ 直接相连：自动调控在势垒方向的精度直接决定双比特门参数 $J$ 的稳定性。
• 单发读出与Rabi 振荡等操控层概念对自动调控提出了隐含约束：少电子区定位必须满足比特工作点对 $\epsilon$ 与 $t$ 的精度要求，否则后续比特操作无法开展。
• 电荷噪声是自动调控必须容忍的扰动源；自动调控的回跳、阈值与置信度机制都是对低频漂移与随机电报噪声的工程化应对。

参考文献

• 自动调点的机器学习流水线代表作：Kalantre et al., npj QI 5, 21 (2019)。

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