库仑阻塞｜学位论文知识库

库仑阻塞的本质是能量守恒：即使量子点与源漏之间存在隧穿通道，若加入或移走一个载流子的能量不在偏压窗口内，顺序隧穿仍会停止。

物理图像

库仑阻塞（Coulomb blockade）是介观物理中最基础的单电子效应：当一个导体岛（这里是半导体量子点）通过两个隧穿势垒与源极（source）、漏极（drain）电子库相连时，岛内的载流子数 $N$ 只能取整数。一旦岛上已有 $N - 1$ 个电子，再填入第 $N$ 个电子需要支付电化学势 $μ (N) = U (N) - U (N - 1)$ ；只要这个能量高于源、漏两侧的费米面，即

μ (N - 1) < μ_{D} < μ_{S} < μ (N)

电子就既不能从源极跳入、也不能从漏极跳出，顺序隧穿（sequential tunneling）被禁止，源漏电流降为零，量子点上的电子数被锁定为一个确定的整数。反之，当某个 $μ (N)$ 落入源漏费米面之间（ $μ_{D} < μ (N) < μ_{S}$ ）时，电子按”源极 $\to$ 量子点 $\to$ 漏极”的顺序逐个通过，称为单电子隧穿（single electron tunneling），电流大小由进、出两侧的隧穿率 $Γ_{S}$ 、 $Γ_{D}$ 决定。

栅极电压可以连续地平移 $μ (N)$ 相对源漏费米面的位置，因此随着栅压扫描，系统在”阻塞”与”导通”之间周期性切换，测到一列分立的电流峰——库仑振荡（Coulomb oscillation）：峰顶对应 $μ_{S} = μ (N) = μ_{D}$ 的共振对齐点，峰间谷底就是阻塞区。阻塞区电子数固定不变，这使得实验上可以逐个数出并排空量子点中的电子，直到最后一个——量子点也因此被称为”人造原子”（artificial atom）。

单量子点器件与库仑阻塞输运示意图

理论模型：常相互作用模型

库仑阻塞的定量描述基于常相互作用模型（constant interaction model, CI 模型），它包含两条假设：

量子点中电子之间、以及电子与外界电极之间的库仑相互作用，全部压缩为一个常数总电容

C_{Σ} = C_{S} + C_{D} + C_{G}

即点与源、漏、栅电容之和； 2. 点内单粒子能级 $E_{n}$ 由束缚势决定（可含磁场依赖），与电子填充数无关。

源极施加 $V_{S D}$ 、漏极接地、栅压 $V_{G}$ 时，含 $N$ 个电子的量子点总能量为

U (N) = \frac{[ - ∣ e ∣ ( N - N _{0} ) + C _{S} V _{S D} + C _{G} V _{G} ] ^{2}}{2 C _{Σ}} + n = 1 \sum N E_{n} (B)

其中 $N_{0} ∣ e ∣$ 补偿异质结施主离子的正电荷背景。第 $N$ 个电子进入量子点所需的最小能量即电化学势：

μ (N) = U (N) - U (N - 1) = (N - N_{0} - \frac{1}{2}) E_{C} - \frac{E _{C}}{∣ e ∣} (C_{S} V_{S D} + C_{G} V_{G}) + E_{N}

其中 $E_{C} = e^{2} / C_{Σ}$ 为充电能（charging energy）。相邻电荷态的间距为加电子能（addition energy）：

E_{add} = μ (N + 1) - μ (N) = E_{C} + Δ E

$Δ E = E_{N + 1} - E_{N}$ 是单粒子能级间隔。对百纳米量级的门控量子点， $C_{Σ}$ 很小， $E_{C}$ 远大于 $Δ E$ ，因此电化学势近似等间距排列，库仑峰近似等周期出现。

从模型到可观测量

上式中 $μ (N)$ 对栅压 $V_{G}$ 是线性的，斜率直接给出杠杆臂（lever arm）的微观定义：

\frac{d μ ( N )}{d V _{G}} = - \frac{E _{C}}{∣ e ∣} C_{G} = - ∣ e ∣ \frac{C _{G}}{C _{Σ}} \equiv - ∣ e ∣ α

即 $α = C_{G} / C_{Σ}$ ——栅压改变 $1 mV$ 时点内电化学势移动 $α meV$ 。令相邻两个电荷态在同一源漏条件下简并， $μ (N + 1; V_{G}) = μ (N; V_{G} + Δ V_{G})$ ，可得库仑峰的栅压周期

Δ V_{G} = \frac{E _{C} + Δ E}{∣ e ∣ α} = \frac{e}{C _{G}} (1 + \frac{Δ E}{E _{C}}) \approx \frac{e}{C _{G}}

多电子区 $Δ E ≪ E_{C}$ 时峰严格等周期。这解释了为什么栅压扫描中阻塞谷与导通峰交替等距出现，也说明峰周期本身就是栅电容的直接度量。同理， $μ (N)$ 对 $V_{S D}$ 的斜率为 $- ∣ e ∣ C_{S} / C_{Σ}$ ，源、漏、栅三个方向斜率的差异正是库仑菱形倾斜边界的来源。

阻塞出现的两个条件

温度足够低： $E_{C} ≫ k_{B} T$ 。当环境热涨落大于充电能时，电子可以靠热激活越过充电势垒，库仑阻塞便无法维持。 $E_{C} = 1.5 meV$ 对应 $E_{C} / k_{B} \approx 17 K$ ，因此清晰的阻塞输运通常要求稀释制冷机量级的电子温度。
势垒足够封闭：连接量子点与电子库的量子点接触电导须满足 $G ≪ 2 e^{2} / h$ ，使电子以隧穿方式逐个进出；等价地，隧穿引起的能级展宽 $ℏΓ$ 须远小于 $E_{C}$ ，否则离散充电被抹平。

顺序隧穿速率

在最低阶（顺序隧穿）近似下，电子进、出量子点的速率由费米黄金定则（Fermi golden rule）给出，并受费米–狄拉克占据因子调制：

Γ_{α}^{in} = Γ_{α} f (μ (N) - μ_{α}, T_{e}), Γ_{α}^{out} = Γ_{α} [1 - f (μ (N) - μ_{α}, T_{e})]

其中 $α \in {S, D}$ ， $f$ 为费米–狄拉克函数， $T_{e}$ 为电子温度。阻塞条件 $μ (N) > μ_{S}, μ_{D}$ 正对应 $Γ^{in}$ 被占据因子指数压制；对存在塞曼劈裂 $E_{z}$ 的自旋分辨能级，只需把 $μ (N)$ 替换为相应的自旋能级，即可得到自旋选择的进、出速率，这是单发读出速率方程的出发点。

偏压窗口与库仑菱形

有限源漏偏压 $V_{S D}$ 在源漏费米面之间打开宽度为 $e V_{S D}$ 的偏压窗口（bias window）。只要 $μ (N)$ 落入窗口就有电流；栅压与偏压联合扫描时，允许输运的区域在 $V_{G}$ – $V_{S D}$ 平面上展开为一个个关于 $V_{S D} = 0$ 对称的菱形——库仑菱形（Coulomb diamond）。菱形内部电子数固定、无电流；菱形顶点对应 $e ∣ V_{S D} ∣ \approx E_{C}$ ，偏压窗口超过充电能后任何栅压下都有能级留在窗口内，阻塞彻底解除。

库仑菱形是单量子点的”参数提取器”：

菱形沿栅压方向的宽度 $Δ V_{g}$ 对应一个电子的填充，给出栅电容 $C_{G} = e /Δ V_{g}$ ；
菱形半高给出充电能 $E_{C}$ ，进而得总电容 $C_{Σ} = e^{2} / E_{C}$ ；
菱形两条边分别对应点能级与源极、漏极对齐，由斜率 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 可得栅极的电压–能量转换系数（杠杆臂，lever arm） $α = 1/ (1/ k_{1} + 1/ k_{2})$ ；零偏压测量中亦可直接用 $α = ∣ V_{S D} ∣/Δ V_{g}$ 标定；
窗口进一步增大时，激发态能级进入窗口，电子可经基态或激发态两条路径隧穿，菱形外出现与边平行的激发态电导线；当 $μ (N)$ 与 $μ (N + 1)$ 同时落入窗口，两个电子可同时参与输运。由此可从菱形图直接读出 $E_{add}$ 与激发态间距 $Δ E$ 。

参数与量级

量	典型值	来源
横向量子点尺寸	$\sim 200 nm$ （GaAs 二维电子气门控定义）
量子点尺度	百纳米量级， $E_{C} ≫ Δ E$ ，化学势近似等间距
总电容 $C_{Σ}$	$113 aF$ （浅刻蚀 GaAs 单点实测）
充电能 $E_{C}$	$1.5 meV$ （同器件， $E_{C} = e^{2} / C_{Σ}$ ）
杠杆臂 $α$	$0.027$ – $0.06 meV/mV$ （不同电极、不同器件）
输运电导	$G ≪ 2 e^{2} / h$ （阻塞 regime 前提）

实验特征与测量

标准测量方案是在直流偏压 $V_{S D}$ 上叠加微伏量级交流激励（如锁相放大器输出的 $20 μ V$ 、几十 Hz 信号），扫描 $V_{S D}$ 与栅压并记录微分电导，直接成像库仑菱形。零偏压的栅压扫描给出库仑振荡：多电子区各电子的充电能几乎相等，峰间距均匀；用杠杆臂把峰间距换算成能量即得 $Δ μ_{N}$ 。利用阻塞区电子数严格整数的性质，逐个排空电子直至最后一个，是标定量子点绝对电子数的常规手段。

阻塞并不只出现在输运通道本身：紧邻量子点的电荷传感器（QPC 电荷传感或射频反射测量）同样依靠”阻塞区电子数突变改变邻近电导”来感知电荷态。此外，阻塞区零平均电流下的低频 $1/ f$ 噪声仍可通过静电耦合被测量，是表征器件电荷噪声环境的手段之一。

阻塞之外：高阶输运

“阻塞”禁止的只是顺序隧穿，并非绝对零电导：

共隧穿（cotunneling）：电子经虚占据中间态一次性穿过量子点，属于更高阶过程，在阻塞谷中产生弱但有限的电流；
近藤效应（Kondo effect）：当点内净自旋为 $1/2$ （电子数为奇）时，点自旋与电子库传导电子在低温下屏蔽成单态。把量子点映射为安德森杂质模型（Anderson impurity model）。

哈密顿量写作

H = H_{R} + H_{L} + H_{Q D} + H_{I}, H_{Q D} = σ \sum ϵ_{d} d_{σ}^{†} d_{σ} + U n_{↑} n_{↓}

H_{I} = k σ \sum V_{R k σ} [c_{R k σ}^{†} d_{σ} + h.c.] + k σ \sum V_{L k σ} [c_{L k σ}^{†} d_{σ} + h.c.]

其中 $U$ 即点内库仑相互作用。系统在 Kondo 温度

T_{K} = U Γ exp [- \frac{π ∣ ϵ _{d} ∣ ( ϵ _{d} + U )}{2 U Γ}]

以下于阻塞谷中央产生零偏压电导峰（zero-bias peak, ZBP）——在原本 $d I / d V = 0$ 的阻塞区出现电导。实验判据有二：加平行磁场后峰按塞曼能劈裂为二；升温后峰高下降直至消失；

光子辅助过程：强微波驱动下，电子可吸收光子能量跨越失谐，在阻塞区诱导光子辅助隧穿（photon-assisted tunneling）边带。

因此，“库仑阻塞”总是相对特定的输运阶次、温度与测量分辨率而言的。

与其他概念的关系

充电能 $E_{C}$ 是阻塞的能量根源；阻塞条件 $E_{C} ≫ k_{B} T, ℏΓ$ 定义了其可观测窗口。
电化学势 $μ (N)$ 是否落入偏压窗口，是判断阻塞与否的直接判据。
常相互作用模型给出阻塞区边界、峰周期与菱形尺寸的定量预言。
有限偏压下阻塞区展开为库仑菱形；在双量子点中，两个点各自的阻塞条件与点间能级对齐共同编织出电荷稳定图的蜂窝结构。
隧穿势垒的透明度由隧穿耦合控制，它同时决定阻塞的”封闭程度”与库仑峰的高度。

参考文献

库仑阻塞与单/双点输运的权威综述：van der Wiel et al., RMP 74, 801 (2002)。
硅体系中的库仑阻塞与 charge sensing：Zwanenburg et al., RMP 85, 961 (2013)。

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