Jaynes–Cummings 模型

Jaynes–Cummings 模型把复杂杂化器件约化成一个二能级和一个腔模，直接给出共振交换、真空 Rabi 劈裂和色散频移。

历史与物理图像

1963 年，E. T. Jaynes 与 F. W. Cummings 为比较量子与半经典辐射理论，提出了一个二能级原子与单模量子化光场相互作用的最小模型，即今天的 Jaynes–Cummings 模型（Jaynes–Cummings model，JC 模型）。模型预言：当原子跃迁频率与腔模频率匹配且损耗足够小时，激发态原子会与腔内真空涨落场相干地吸收、辐射光子；这一真空 Rabi 振荡（vacuum Rabi oscillation）于 1996 年在里德堡原子（Rydberg atom）实验中首次被观测。

在电路量子电动力学（cQED）中，“原子”由超导电路或半导体量子点中的人工二能级（电荷、自旋或杂化比特）扮演，“腔”由微波谐振腔扮演。JC 模型因此成为理解量子点–腔杂化系统全部核心现象——真空 Rabi 劈裂、色散读出、腔介导耦合——的共同语言。

从 Rabi 模型到 JC 哈密顿量

出发点是与单个谐振模式偶极耦合的二能级系统，由量子 Rabi 模型（quantum Rabi model）描述：

$$H_{\mathrm{Rabi}}/\hslash ={\omega }_r{a}^{†}a+\frac{{\omega }_q}{2}{\sigma }_z+g\left(a^{†}+a\right)\left({\sigma }_{+}+{\sigma }_{-}\right)$$

其中 $a^{†}$、$a$ 是腔光子的产生、湮灭算符，${\omega }_r$ 是腔模频率，${\omega }_q$ 是比特跃迁频率，${\sigma }_z$、${\sigma }_{\pm }$ 是比特的泡利算符与升降算符，$g$ 是单光子耦合强度。相互作用项展开后含两类过程：$a^{†}{\sigma }_{-}+a{\sigma }_{+}$ 描述激发在比特与腔之间的相干交换（总激发数守恒）；$a^{†}{\sigma }_{+}+a{\sigma }_{-}$ 描述比特与光子同时激发或同时弛豫的反旋项（counter-rotating terms）。

当系统满足旋转波近似（rotating-wave approximation，RWA）条件

$$g\ll {\omega }_q,{\omega }_r,|{\omega }_q-{\omega }_r|\ll |{\omega }_q+{\omega }_r|$$

反旋项以约 ${\omega }_q+{\omega }_r$ 的频率快速振荡、平均为零，可以略去，得到 JC 哈密顿量：

$$H_{\mathrm{JC}}/\hslash ={\omega }_r{a}^{†}a+\frac{{\omega }_q}{2}{\sigma }_z+g\left(a^{†}{\sigma }_{-}+a{\sigma }_{+}\right).$$

在相互作用绘景中，交换项显出失谐依赖：$H_I/\hslash =g\left(a{\sigma }_{+}{e}^{i\Delta t}+a^{†}{\sigma }_{-}{e}^{-i\Delta t}\right)$，其中 $\Delta ={\omega }_q-{\omega }_r$ 为比特–腔失谐。对半导体量子点体系，$g$ 需要由器件微观参数计算：以双量子点电荷比特为例，$g_{\mathrm{eff}}=g_0\sin \theta =2t_c{g}_0/(\hslash {\omega }_q)$，其中 $\theta$ 是混合角，$t_c$ 是点间隧穿耦合；而全局耦合强度 $g_0=\frac{1}{2}\beta {\omega }_r\sqrt{Z_r/(\pi \hslash )}$ 正比于谐振腔特征阻抗 $Z_r$ 的平方根——这正是高阻抗谐振腔路线提升耦合强度的理论依据。

本征态与 JC 阶梯

RWA 之后总激发数 $\hat{N}=a^{†}a+{\sigma }_{+}{\sigma }_{-}$ 与哈密顿量对易，希尔伯特空间按激发数 $n$ 分解为相互独立的二维子空间 $\{|g,n⟩,|e,n-1⟩\}$（外加基态 $|g,0⟩$）。逐块对角化得到缀饰态（dressed states）：

$$\begin{array}{rl}|+,n⟩& =\sin {\varphi }_n|g,n⟩+\cos {\varphi }_n|e,n-1⟩,\\ |-,n⟩& =\cos {\varphi }_n|g,n⟩-\sin {\varphi }_n|e,n-1⟩\end{array}$$

混合角 ${\varphi }_n=\frac{1}{2}\arctan \left(2g\sqrt{n}/\Delta \right)$，相应本征能量

$$E_{g,0}=-\frac{\hslash \Delta }{2},E_{\pm ,n}=n\hslash {\omega }_r\pm \frac{\hslash }{2}\sqrt{4n{g}^2+{\Delta }^2}.$$

这组随激发数逐层排列的本征态称为 JC 阶梯（Jaynes–Cummings ladder）。第 $n$ 层的劈裂 $\hslash \sqrt{4n{g}^2+{\Delta }^2}$ 随 $\sqrt{n}$ 增长，这一非线性标度是 JC 模型区别于两个经典耦合振子的标志性量子特征。

共振耦合：真空 Rabi 振荡与劈裂

按 $g$ 与 $\Delta$ 的相对大小，耦合行为分为共振区（$|\Delta |<g$）、准色散区（$g<\Delta <10g$）与色散区（$|\Delta |>10g$）。

共振（$\Delta =0$）时缀饰态是最大混合态 $|\pm ,n⟩=(|g,n⟩\pm |e,n-1⟩)/\sqrt{2}$，能级劈裂为 $2g\sqrt{n}$。若初态制备为 $|e,0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|+,1⟩-|-,1⟩)$，系统演化为

$$|\psi (t)⟩=\cos (gt)|e,0⟩+i\sin (gt)|g,1⟩$$

即一个激发以速率 $g$ 在比特与空腔之间往返——真空 Rabi 振荡。频域上，$|\pm ,1⟩$ 之间 $2g$ 的间隔表现为透射/反射谱中的真空 Rabi 劈裂，是实验提取 $g$ 的最直接手段；在自旋比特体系中测得的劈裂可达 $2g_s/2\pi =43.5$ MHz，在电荷比特体系中全局耦合可达 $g_0/2\pi =175$ MHz。观察到劈裂还要求谱线可分辨，即进入强耦合区 $g>\kappa ,\gamma$；此时系统的有效总耗散为 ${\Gamma }_{\mathrm{eff}}=(\kappa +\gamma )/2$。

色散耦合：腔频移动与量子非破坏读出

大失谐 $|\Delta |\gg g$（实用判据 $|\Delta |>10g$）时，比特与腔不再交换实光子。以 $g/\Delta$ 为小量做二阶微扰（Schrieffer–Wolff 变换），JC 哈密顿量化为色散形式

$$H_{\mathrm{disp}}/\hslash \approx \left({\omega }_r+\frac{g^2}{\Delta }{\sigma }_z\right)a^{†}a+\frac{1}{2}\left({\omega }_q+\frac{g^2}{\Delta }\right){\sigma }_z.$$

定义色散频移 $\chi =g^2/\Delta$。从腔的角度看，腔频依比特态移动 $\pm \chi$：比特处于基态（$⟨{\sigma }_z⟩=-1$）与激发态（$+1$）时腔频偏移方向相反。测量腔的透射或反射相位即可推断比特态，且该测量算符与比特哈密顿量对易，构成量子非破坏测量（quantum nondemolition measurement，QND），是色散读出的理论基础。

把同一哈密顿量按比特项整理

$$H_{\mathrm{disp}}/\hslash \approx {\omega }_r{a}^{†}a+\frac{1}{2}\left({\omega }_q+2\chi a^{†}a+\chi \right){\sigma }_z$$

可见比特频率也获得两项修正：与腔内光子数成正比的 $2\chi n$ 称为交流斯塔克频移（ac Stark shift），可用来标定腔内光子数；与光子数无关的 $\chi$ 来自真空涨落，称为兰姆频移（Lamb shift）。能从谱上分辨比特态（或光子数）要求 $\chi >\kappa ,\gamma$，满足此条件的系统称为处于强色散区（strong dispersive regime）。

参数与量级

半导体量子点 cQED 实验中的典型参数（取自本站论文中所列工作）：

参数	典型量级	说明
腔频 ${\omega }_r/2\pi$	约 5–7 GHz（如 4.993、7.332 GHz）	需与比特频率匹配
比特频率 ${\omega }_q/2\pi$	2–20 GHz	随器件与编码方式变化
自旋–光子耦合 $g_s/2\pi$	约 7–22 MHz	劈裂 $2g_s/2\pi$ 最大测得 43.5 MHz
电荷–光子耦合 $g_c/2\pi$	约 175 MHz，最大 619 MHz	619 MHz 对应 $g_c/{\omega }_r\sim 0.11$，进入超强耦合区
腔耗散 $\kappa /2\pi$	约 2–8 MHz	高阻抗腔品质因数可达数千
比特退相干 $\gamma /2\pi$	自旋约 2–5 MHz，电荷约 50–100 MHz	决定强耦合判据 $g>\kappa ,\gamma$

实验可观测量

JC 物理通过腔的散射参数进入测量。透射式腔的透射系数

$$S_{21}(\omega )=\frac{-i\sqrt{{\kappa }_1{\kappa }_2}}{{\omega }_r-\omega +g_c{\chi }_c-i\kappa /2}$$

其中比特的响应通过磁化率 ${\chi }_c=g_c/(-\Delta +i\gamma )$ 进入，$\gamma ={\gamma }_1/2+{\gamma }_{\varphi }$ 汇总弛豫与退相位。按实部、虚部分解，比特同时移动腔频与展宽：

$${\omega }_r^{\prime }={\omega }_r-\frac{g_c^2\Delta }{{\Delta }^2+{\gamma }^2},{\kappa }^{\prime }=\kappa +\frac{2g_c^2\gamma }{{\Delta }^2+{\gamma }^2}.$$

色散区（$|\Delta |\gg g_c$）实部主导，$\Delta {\omega }_r\approx g_c^2/\Delta$，与微扰论结果一致；近共振区虚部主导，比特为腔光子打开额外耗散通道，腔线展宽、可见度下降。扫描比特频率穿过腔频时，避免交叉（avoided crossing）的最小间距给出 $2g$；调节双量子点失谐 $\epsilon$ 还会通过 $\sin \theta$ 因子调制耦合，使劈裂在 $\epsilon =0$ 处最大。

适用边界与推广

• 反旋项：当 $g/{\omega }_r$ 达到约 0.1（超强耦合区，ultrastrong coupling），RWA 失效，JC 模型须回到完整 Rabi 模型；电荷比特–腔耦合已在这一边界实现（$g_c/{\omega }_r\sim 0.11\pm 0.01$）。
• 多能级推广：量子点常有多个轨道、谷与电荷态。当耦合强度远小于腔内跃迁能量差时，可直接推广为多能级 JC 模型 $H=H_{\mathrm{dot}}+\hslash {\omega }_r{a}^{†}a+g{\tau }_z(a^{†}+a)$，其中 ${\tau }_z$ 是各点占据数加权的广义偶极算符；配合量子朗之万方程与输入输出理论即可计算腔响应。
• 损耗与驱动：真实拟合必须加入 $\kappa$、弛豫 ${\gamma }_1$ 与退相位 ${\gamma }_{\varphi }$；强周期驱动下的修饰谱需Floquet 描述。
• 多比特共享腔模：在色散区对共同腔模取二阶微扰，可得到比特间的腔介导有效交换作用 $\sim g_1{g}_2/\Delta$。

与其他概念的关系

JC 模型是电路量子电动力学的最小构件：其共振极限对应真空 Rabi 劈裂与强耦合判据；色散极限对应色散读出与 QND 测量。在半导体实现中，“二能级”可以是电荷比特（电偶极强、退相干快）、经微磁体或自旋轨道机制获得电荷混合的自旋比特，以及多量子点杂化编码；耦合的微观大小由电荷–光子耦合的杠杆臂、混合角与腔阻抗决定。